11.5.2 公式法（ 课件 -2026-2027学年华东师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦平方差公式和完全平方公式因式分解，课堂导入通过复习因式分解定义及整式乘法与因式分解的关系，关联已学乘法公式，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是运用“两数是平方，减号在中央”等口诀辨析公式结构，通过“一提二套三查”步骤（如分解“3x² - 12y²”先提公因式再套公式），结合分层例题培养学生抽象能力与运算能力。学生能夯实分解技能，教师可借助系统资源提升教学效率。

华东师大版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月10日 11.5.2 公式法 第11章 整式的乘除 11.5.2 公式法 同步练习题（含解析） 本节习题适配华东师大版八年级上册11.5.2公式法知识点，依托平方差公式、完全平方公式两大核心公式，专项训练公式法因式分解。覆盖公式结构辨析、基础因式分解、提公因式与公式法混合分解、参数求值、化简应用等必考题型，针对性解决公式混淆、分解不彻底、符号错误、漏项等高频易错问题，夯实因式分解综合运算能力。 一、填空题（每空2分，共20分） 1. 平方差公式因式分解：$$a^2-b^2=$$________。 2. 完全平方公式因式分解：$$a^2+2ab+b^2=$$________，$$a^2-2ab+b^2=$$________。 3. 分解因式：$$x^2-25=$$________。 4. 分解因式：$$a^2-8a+16=$$________。 5. 分解因式：$$4x^2-9y^2=$$________。 6. 若$$x^2+kx+9$$是完全平方式，则$$k=$$________。 二、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列多项式能用平方差公式分解的是（） A. $$x^2+4$$ B. $$x^2-4$$ C. $$x^2-2x$$ D. $$x^2+4x+4$$ 2. 下列多项式属于完全平方式的是（） A. $$a^2-2a-1$$ B. $$a^2+4a+4$$ C. $$a^2+2a+2$$ D. $$a^2-4a-4$$ 3. 分解因式$$9x^2-1$$的结果是（） A. $$(9x+1)(9x-1)$$ B. $$(3x+1)(3x-1)$$ C. $$(3x-1)^2$$ D. $$(3x+1)^2$$ 4. 分解因式$$x^2-6x+9$$的结果是（） A. $$(x-3)^2$$ B. $$(x+3)^2$$ C. $$(x-3)(x+3)$$ D. $$x(x-6)+9$$ 5. 分解因式$$2a^2-8$$的最终结果是（） A. $$2(a^2-4)$$ B. $$2(a-2)^2$$ C. $$2(a+2)(a-2)$$ D. $$(2a+4)(a-2)$$ 三、解答题（共50分） 1. 基础公式分解（每题6分，共24分） （1）$$x^2-36$$ （2）$$4a^2-25b^2$$ （3）$$m^2-10m+25$$ （4）$$9x^2+12x+4$$ 2. 混合因式分解（12分）：$$3x^2-12y^2$$ 3. 能力提升求值（14分）：已知$$x+y=4$$，$$x-y=2$$，求代数式$$x^2-y^2$$的值。 四、参考答案与解析 填空题答案：1. $$(a+b)(a-b)$$ 2. $$(a+b)^2$$、$$(a-b)^2$$ 3. $$(x+5)(x-5)$$ 4. $$(a-4)^2$$ 5. $$(2x+3y)(2x-3y)$$ 6. $$\pm6$$ 选择题答案：1.B 2.B 3.B 4.A 5.C 解答题解析：1.（1）原式$$=(x+6)(x-6)$$；（2）原式$$=(2a+5b)(2a-5b)$$；（3）原式$$=(m-5)^2$$；（4）原式$$=(3x+2)^2$$。 2. 原式$$=3(x^2-4y^2)=3(x+2y)(x-2y)$$，先提取公因式，再用平方差公式分解，保证分解彻底。 3. 利用平方差公式变形，原式$$=(x+y)(x-y)$$，代入得$$4\times2=8$$。 核心考点总结：公式法分解核心是识别多项式结构，二项式优先考虑平方差公式，三项式优先考虑完全平方公式；因式分解遵循“先提公因式，再套公式”的顺序，必须分解到不能再分解为止；熟记公式结构、区分两种公式特征，是整式因式分解的核心重难点。 学习目标 1.认识平方差公式、完全平方公式的特点.（重点） 2.会运用这两种公式将多项式分解因式.（难点） 学习目标 复习回顾 1.什么叫多项式的因式分解? 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解. 2. 下列式子从左到右哪个是因式分解? 哪个整式乘法? 它们有什么关系? ② ma+mb+mc=m(a+b+c) ① m(a+b+c)=ma+mb+mc 整式乘法 因式分解 互为相反的变形. 还记得前面学过的乘法公式吗？ 平方差公式： (a+b)(a−b)=a2−b2 两数和(差)的平方公式： (a±b)2=a2±2ab+b2 想一想：多项式 a2 - b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？ 是 a，b 两数的平方差的形式 ) )( ( b a b a - + = 2 2 b a - ) )( ( 2 2 b a b a b a - + = - 整式乘法 因式分解 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积. 平方差公式： 运用平方差公式因式分解 1 √ √ × × 辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？ √ √ ★符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2 - ( )2的形式. （1）x2 + y2 （2）x2 - y2 （3） - x2 - y2 - ( x2 + y2 ) y2 - x2 （4） - x2 + y2 （5）x2 - 25y2 ( x + 5y )( x - 5y ) （6）m2 - 1 ( m + 1 )( m - 1 ) ( x + y )( x - y ) ( y + x)( y - x ) = (5x+4y)(5x-4y). 例1 分解因式： a a b b ( + ) ( - ) a2 - b2 = 解：(1)原式 = 5x 4y 5x 5x 4y 4y (2)原式 a b 4y (5x)2 - (4y)2 典例精析 (1) 25x²－16y²； 方法总结：公式中的 a，b 无论表示数，单项式，还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解. 方法总结 例2 分解因式： ………… 一提（公因式） …… 二套（公式） 三查（多项式的因式分解要分解到不能再分解为止） 分解因式的一般步骤 解：(1)原式 = ( x2 )2 - ( y2 )2 = ( x2 + y2 )( x2 - y2 ) = ( x2 + y2 )( x - y )( x - y ). (1) x4－y4； (2) 3x3－12xy2. (2) 原式 = 3x(x²－4y2) = 3x[ x²－(2y)2 ] = 3x(x＋2y)(x－2y). 典例精析 两数和(或差)平方公式： 两数和(或差)平方公式的特点： 1.必须是三项式（或可以看成三项的）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2 倍. 简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. =（a ± b）2 运用两数和(或差)平方公式因式分解 2 凡具备这些特点的三项式，就是两数和(或差)平方公式，将它写成两数和(或差)平方形式，便实现了因式分解. a2 2 a b b2 ± . + . = (a ± b)² 利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，两数和(或差)平方公式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法. 3、x² + 4xy + 4y² = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )² 2、m² - 6m + 9 = ( )² - 2·( )·( ) + ( )² = ( )² 1、a² + 4a + 4 = ( )² + 2·( )·( ) + ( )² = ( )² a 2 a + 2 x x 2y x + 2y 2y 对照公式 a² ± 2ab + b² = (a ± b)² 进行因式分解，你会吗？ m m - 3 3 a 2 m 3 a2 2 a b b2 ± . + . = (a ± b)² 下列各式是不是两数和(或差)平方公式？ （1）a2 - 6a + 9； （2）1 + 4a²； （3）4b2 + 4b - 1； （4）a2 + ab + b2； （5）x2 + x + 0.25. 是 （2）因为它只有两项. 不是 （3）4b² 与 - 1 的符号不统一. 不是 分析： 不是 是 （4）中间项缺 2 倍. 例3 分解因式： （1）16x2 + 24x + 9； （2）-x2 + 4xy - 4y2. 分析：(1)中，16x2 = (4x)2， 9 = 3²，24x = 2·4x·3， 所以 16x2 + 24x + 9 是一个两数和平方公式，即 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2×4x·3 + 32. 2 a b b2 a2 (2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为 -(x2 - 4xy+ 4y2)，然后再利用公式分解因式. 解： (1) 16x2 + 24x + 9 = ( 4x + 3 )2. = ( 4x )2 + 2·4x·3 + ( 3 )2 (2) -x2 + 4xy - 4y2 = -( x2 - 4xy + 4y2 ) = -( x - 2y )2. 例4 把下列各式分解因式： （1）4x3y + 4x2y2 + xy3；（2）(a+b)2 - 12(a + b) + 36. 分析：（1）中有公因式 xy，应先提出公因式，再进一步分解因式； （2）中将 a + b 看成一个整体，设 a + b = m，则原式化为 m2 - 12m + 36. 解：(1)原式 = xy(4x2 - 4xy + y2) = xy(2x - y)2. (2)原式 = (a + b)2 - 2·(a + b)·6 + 62 = (a + b - 6)2. 16 例5 利用两数和(或差)平方公式简便计算： (1) 1002 - 2×100×99 + 99²； (2) 342 + 34×32 + 162. 解：(1) 原式 = (100 - 99)² (2) 原式 = (34 + 16)2 本题利用两数和(或差)平方公式分解因式，可以简化计算. = 1. = 2500. 跟踪训练 1.下列四个多项式中，能因式分解的是（ ） A. a²+1 B. a²-6a+9 C. x²+5y D. x²-5y B 2.若关于x的多项式 x²-8x+m² 是完全平方式，则m的值为________. ±4 随堂练习 （1） （2） 3.分解因式： =(3a+2b)(3a-2b) （3） （4） =y(x+2) (x－2) =(4+a²) (2+a) (2－a) 随堂练习 4.把下列多项式因式分解. 随堂练习 5.计算下列各题： 随堂练习 随堂练习 返回 1．课堂上老师在黑板上布置了如框图所示的题目，小聪马上发现了其中有一道题目错了，则错误的题目是(　　) A．(1) B．(2) C．(3) D．(4) B 用平方差公式分解下列各式： (1)－a2＋b2；　　　(2)－a2－b2； (3)36a2－b2c2; (4)16m2n2－25. 考试考法 23 返回 2．若a，b，c是△ABC的三边长，则代数式(a－b)2－c2的值是(　　) A．正数 B．负数 C．零 D．不能确定 B 考试考法 24 返回 3．如果x＋y，x－y，x2－y2，4，m＋n，mn分别对应6个字：鹿，鸣，数，我，爱，学，现将4m(x2－y2)＋4n(x2－y2)分解因式，结果呈现的可能是哪句话(　　) A．我爱鹿鸣 B．爱鹿鸣 C．鹿鸣数学 D．我爱数学 A 考试考法 25 返回 4．下列可以用完全平方公式分解因式的是(　　) A．4a2－4a－1 B．4a2＋2a＋1 C．1－4a＋4a2 D．2a2＋4a＋1 C 考试考法 26 返回 5．一个大正方形被分割成四部分的面积分别为15mn，9n2，25m2，15mn(m>0，n>0)，则大正方形的边长为(　　) A．5m＋9n B．5m－3n C．25m＋9n D．5m＋3n D 【点拨】因为大正方形的面积＝9n2＋15mn＋25m2＋15mn＝25m2＋30mn＋9n2＝(5m＋3n)2， 所以大正方形的边长为5m＋3n.故选D. 考试考法 27 返回 6．将4x2＋1加上一项，使它能写成(a＋b)2的形式，以下是四名学生所加的项，其中错误的是(　　) A．4x B．－4x C．4x4 D．2x D 考试考法 28 返回 7．若多项式4x2－mxy＋9y2能用完全平方公式因式分解，则m的值是________． ±12 考试考法 29 返回 8．利用因式分解计算： (1)992－1＝________． (2)1.222＋2.44×2.78＋2.782＝________． 9 800 16 考试考法 30 9.下面是嘉淇同学把多项式－16my2＋4mx2分解因式的具体步骤： 　－16my2＋4mx2 ＝4mx2－16my2(利用加法交换律变形)① ＝m(4x2－16y2)(提取公因式m)② ＝m[(2x)2－(4y)2](逆用积的乘方公式)③ ＝m(2x＋4y)(2x－4y)(运用平方差公式因式分解)．④ (1)事实上，嘉淇的解法是错误的，造成错误的原因是_____________________________________； 第②步公因式没有提取完全 考试考法 31 返回 (2)请给出这个问题的正确解法． －16my2＋4mx2＝4mx2－16my2＝4m(x2－4y2) ＝4m(x＋2y)(x－2y)． 考试考法 32 10．分解因式： (1)25a2－(4a－3b)2; 　 (2)a2(x－y)＋9(y－x)；   【解】原式＝[5a－(4a－3b)][5a＋(4a－3b)]＝(a＋3b)(9a－3b)＝3(a＋3b)(3a－b)． 【解】原式＝(x－y)(a2－9)＝(x－y)(a＋3)(a－3)． 考试考法 33 返回 (3)(x＋2)(x＋6)＋4; (4)(a2－12)2＋6(a2－12)＋9. 【解】原式＝x2＋8x＋12＋4＝x2＋8x＋16＝(x＋4)2. 【解】原式＝(a2－12＋3)2＝(a2－9)2＝(a＋3)2(a－3)2. 考试考法 34 返回 11．对任意整数n，(2n＋3)2－1都(　　) A．能被2整除，不能被4整除 B．能被3整除 C．既能被2整除，又能被4整除 D．能被5整除 C 【点拨】(2n＋3)2－1＝(2n＋3＋1)(2n＋3－1)＝(2n＋4)(2n＋2)＝4(n＋2)(n＋1)，∵n为任意整数， ∴4(n＋2)(n＋1)既能被2整除，又能被4整除． 考试考法 35 返回 12．小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x□－4y2(“□”表示漏抄的指数)，则这个指数可能的结果共有(　　) A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 D 考试考法 36 公式法因式分解 公式 平方差公式：a2-b2 = (a + b)(a - b) 步骤 一提：公因式； 二套：公式； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. 两数和(或差)平方公式： a2±2ab＋b2 = (a±b)2 课堂小结 $