21.2.3解一元二次方程——因式分解法（第2课时）（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十一章 一元二次方程 第二课时 21.2.3 因 式 分 解 法 学 习 目 标 1 2 3 理解配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程的基本原理并掌握其具体方法。 能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择解方程的方法，体会解决问题方法的多样性。 通过探索用不同方法解一元二次方程的过程，培养学生分析问题、解决问题的能力。 2.目标解析 知识回顾 解一元二次方程的主要方法 配方法 公式法 因式分解法 主要方法 ax²=b（a≠0） （x+n）²=p 若A•B=0 则A=0 或B=0 基本思路 降次 转化 一元二次方程 两个一元一次方程 得两个一元一次方程解 原一元二次方程的解 解两个一元一次方程 导入新课 对于不同形式的方程我们如何选择不同的方法解呢？ （1）3x2 - 1 = 0 （2）2x2 = x （3）x2 - 4x = 2 解下列方程一元二次方程 （4）2x2 + 4x = 1 （5）5(m + 2)2 = 8 （6）(x - 2)2 = 2(x - 2) 同一个方程选哪一种方法解更简便呢？ 新知探究 探究点1 一元二次方程不同解法辨析 （1）直接开方法。 可以解ax²=b 型的方程 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解 原理 适合方程 （1）当b＞0时，则x1=，x2= -此时方程有两个不相等的实数根； （2）当b＝0时，则x1=x2，此时方程有两个相等的实数根 （3）当b＜0时，则方程无实数根. 解得情况 （一）配方法 新知探究 探究点1 一元二次方程不同解法辨析 （一）配方法 （2）配方法。 可以解任何一元二次方程 原理 适合方程 利用完全平方式将方程配方成（x+n）²=p形式，再使用直接开平方法。 配方时，建议先二次项系数化为1，再配一次项系数一半的平方. 注意 ①移：将原方程的未知数和常数项分别移到方程的左、右边的形式； ②化：将方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1； ③配：方程两边同时加上一次项系数一半的平方 ④化：再把方程化为左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式； ⑤解：若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解。 主要步骤 典例分析 例1.解一元二次方程，配方后正确的是（ ） 探究点1 一元二次方程不同解法辨析 B C D 解： ∴ 则 ∴ 根的情况 对应的解 新知探究 探究点1 一元二次方程不同解法辨析 （二）公式法 （1）求根公式 一元二次方程 当 方程有两个不等的实数根 （2）根的判别式 方程有两个不相等的实根 方程有两个相等的实根 方程没有的实根 反过来也成立 探究点1 一元二次方程不同解法辨析 （二）公式法 （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤 把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(要注意符号，若系数是分数通常将其化为整数，方便计算) ① 求出b²-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解 ② 如果b²-4ac≥0，将a、b、c的值代入求根公式： ③ 最后求出x1， x2 ④ 新知探究 典例分析 例2 用公式法解方程 解：化为一般式，得： ∴ ∴ ∴ （2）(+ )(+ )= （1） 解：化为一般式，得： ∴ ∴ ∴ 新知探究 探究点1 一元二次方程不同解法辨析 （三）因式分解法 （1）因式分解法 用分解因式法解一元二次方程的理论依据： 两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0 用分解因式法解一元二次方程应注意： ①必须将方程的右边化为0； ②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式，否则可能会漏掉方程的根。 新知探究 探究点1 一元二次方程不同解法辨析 （三）因式分解法 （2）因式分解法解一元二次方程的步骤 一移——使方程的右边为 0； 二分——将方程的左边因式分解； 三化——将方程化为两个一元一次方程； 四解——写出方程的两个解. 右化零，左分解； 两因式，各求解. 简记歌诀 利用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，需通过移项,将方程右边化为0. 典例分析 例3.因式分解法解方程 解：移项，得 提取公因式，得 即 ， (1) (2) 解：移项，得 因式分解得 即 ， 新知探究 探究点2 一元二次方程不同解法灵活应用 1. 一般地，当一次项系数为 0 时 (ax2 + c = 0)，宜选用直接开平方法； 2. 若常数项为 0 (ax2 + bx = 0)，宜选用因式分解法； 3. 化为一般式 (ax2 + bx + c = 0) 后，若一次项系数和常数项都不为 0，先看左边是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法， 否则就选用公式法或配方法：此时若二次项系数为 1，且一次项系数为偶数，则可选用配方法； 否则可选公式法. 系数含根式时也可选公式法. 小结：选择方法的顺序是： 直接开平方法 →分解因式法 → 配方法 → 公式法 例4．我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请选用不同的方法解下列一元二次方程． 典例分析 1、 (2x+1)2=64 ( 法） 2、 (x-2)2-4(x+1)2=0 ( 法） 3、(5x-4)2 -(4-5x)=0 ( 法） 4、 x2-4x-10=0 ( 法） 5、 3x2-4x-5=0 ( 法） 6、 x2＋6x-1=0 ( 法） 7、 x2 -x-2=0 ( 法） 8、 y2- y-1=0 ( 法） 分解因式 分解因式 配方 公式 配方 分解因式 公式 直接开平方 请求出这些一元二次方程的解 典例分析 例5.下面的解法正确吗？如果不正确，错误在哪？ ∴ 或 右化零 左分解 ∴ 或 典例分析 例6．己知关于的两个一元二次方程： 方程①：； 方程②： (1)证明方程①总有实数根 (2)若方程②有两个相等的实数根，求的值． (3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式 的值 解：（1） ∴无论k为何值时，方程总①有实数根 典例分析 例6．己知关于的两个一元二次方程： 方程①：； 方程②： (1)证明方程①总有实数根， (2)若方程②有两个相等的实数根，求的值． (3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式 的值 解：（2） ∵方程②有两个相等的实数根， 典例分析 例6．己知关于的两个一元二次方程： 方程①：； 方程②： (1)证明方程①总有实数根， (2)若方程②有两个相等的实数根，求的值． (3)若方程①和②有一个公共根a，求代数式 的值 解：（3） 根据是方程①和②的公共根， ③， ④ ∴ ④×2得 ⑤， ⑤+ ③ 得： ， ∴ ． ∴代数式的值为5． 拓展提升 1．已知关于x的一元二次方程， (1)求证：方程一定有两个实数根； (2)如果a为整数且方程的两个根均为整数，求a的值 （1）证明： ∵关于x的一元二次方程 ∴ ∴方程总有两个实数根； 解： 拓展提升 1．已知关于x的一元二次方程， (1)求证：方程一定有两个实数根； (2)如果a为整数且方程的两个根均为整数，求a的值 解 （2） ∴ 由（1）得： 解得： 或 ∵方程的两个根均为整数 ∴ 为整数 ∴ ∵ ∴ ∴ 2.下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． (1)任务一： ①杨老师解方程的方法是（ ）； A．直接开平方法 B．配方法 C．公式法 D．因式分解法 ②第二步变形的依据是 ； (2)任务二：请你按要求解下列方程： ① （公式法） ② （因式分解法） 等式的基本性质 B 巩固练习 拓展提升 2.下面是杨老师讲解一元二次方程的解法时在黑板上的板书过程：请认真阅读并完成任务． (2)任务二：请你按要求解下列方程： ① （公式法） （2）解： ① （公式法） ∵a=1，b=2 ，c=-3 ， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根， ， ， ② （因式分解法） ② （因式分解法） ， 巩固练习 真题感知 2．（2025九年级上·甘肃定西·阶段测试）三角形的两边长分别是3和4，第三边是方程的解，则这个三角形的周长是（ ） A．13 B．11 C．9或11 D．14和12 解：方程， 分解因式得： （）（）， 可得或， 解得：， ， 当 时，三边长为2，3，4， 此时三角形周长为：2+3+4=9 ； 当时，三边长分别为3，4，4， 此时三角形周长为：3+4+4=11 ． 故三角形的周长为：9或11． C 课堂小结 配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程，这些方法各有优势和适用场景，选择合适的方法取决于方程的具体形式和求解者的偏好。解题时需要综合考虑，灵活运用。 直接开平方法： 可以解ax²=b 型的方程 . 配方法： 可以解任何一元二次方程，需要先配方，再使用直接开平方法。配方时，建议先二次项系数化为1，再配一次项系数一半的平方. 公式法： 可以解任何一元二次方程，计算量稍大． 因式分解法： 可以使用提公因式法、公式法、十字相乘法分解因式的方程． 用合适的方法解一元二次方程 解方程：． 解： 第一步 ，第二步 ， 第三步 ， 第四步 ，． 第五步 $$