第24章 解直角三角形 综合检测卷（习题课件）-【一本】2025-2026学年九年级数学上册同步训练（华东师大版）
2025-10-20
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教辅
内容正文：
初中数学
九年级上册·（HDSD版）
第24章 综合检测卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，则sin A的值是( )
A. B.
C. D.
C
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2.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，下列三角函数表示正确的是( )
A.sin A＝ B.tan A＝
C.cos A＝ D.tan B＝
B
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3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，∠B＝36°，则AC的长度为( )
A.10tan 36° B.10cos 36°
C.10sin 36° D.
C
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4.如图，飞机在空中B处探测正下方地面上的目标C，此时飞行高度BC＝1 200 m，从飞机上看地面指挥台A的俯角α的正切值为，则飞机与指挥台之间的距离AB为( )
A.1 200 m
B.1 600 m
C.1 800 m
D.2 000 m
D
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5.在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝10 cm，S△ABC＝60 cm2，则sin C的值为( )
A. B.
C. D.
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6.在△ABC中，若三边BC，CA，AB满足BC∶CA∶AB＝5∶12∶13，则cos B＝( )
A. B.
C. D.
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7.如图，A，B，C，D均在正方形网格线的交点上，线段AB，CD相交于点O，则∠AOC的正切值是( )
A.
B.
C.
D.2
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8.如图，小明想利用“∠A＝30°，AB＝6 cm，BC＝4 cm”这些条件作△ABC.他先作出了∠A和AB，在用圆规作BC时，发现点C出现C1和C2两个位置，那么C1C2的长是( )
A.3 cm
B.4 cm
C.2 cm
D.2 cm
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9.如图，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，BC⊥AD，垂足为C.有下列四个结论： ①sin α＝sin D；②sin β＝sin A； ③sin D＝cos A； ④sin α＝cos β.其中正确的结论有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
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10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，过点A作CD的垂线，分别交BC，CD于点E，F.若tan∠CAE＝，AE＝26，则CD的长为( )
A.39
B.8
C.6
D.19.5
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二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，满分25分)
11.已知直角三角形两直角边长分别为9和40，则较小锐角的正弦值是______.
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12.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，过点D作AB的垂线交AC于点E，AC＝16，cos A＝，则AE的长为______.
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13.已知在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则S△ABC＝________.
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14.已知△ABC是直角三角形，AB＝4 ，tan∠ABC＝1，则AC的长为_________.
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15.某中学体育场看台的侧面如图所示，看台有四级高度相等的小台阶.已知看台高为1.6 m，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长为1 m的不锈钢架杆AD和BC(杆子的底端分别为D，C)，且∠DAB＝60°，则所用不锈钢材料的总长度为_______m.
4.4
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三、解答题(本大题共8小题，满分85分)
16.(8分)计算：
(1)sin 45°·cos 45°＋tan 60°·sin 60°；
解：原式＝×＋×
＝＋
＝2.
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三、解答题(本大题共8小题，满分85分)
16.(8分)计算：
(2)sin 30°－tan245°＋tan230°－cos 60°.
解：原式＝－12＋×()2－
＝－1＋－＝－.
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17.(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，若AC＝15，cos A＝.求BC的长.
解：∵在Rt△ABD中，AB＝AC＝15，
cos A＝，
∴AD＝AB·cos A＝15×＝12，
∴BD＝＝＝9，
CD＝AC－AD＝15－12＝3，
∴在Rt△CBD中，BC＝＝＝3.
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18.(10分)如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝2.求：
(1)BC的长；
解：如图，过点A作AE⊥DC，垂足为E.
∵在Rt△AEC中，cos C＝，AC＝2，
∴EC＝AC·cos C＝2×＝2，
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∴AE＝＝＝2.
∵在Rt△ABE中，tan B＝，
∴BE＝＝＝4，
∴BC＝BE＋CE＝4＋2＝6.
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18.(10分)如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，
AC＝2.求：
(2)sin∠ADC的值.
解：∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝BC＝3，∴DE＝BE－BD＝4－3＝1.
∵在Rt△AED中，AE＝2，
∴AD＝＝＝，
∴sin∠ADC＝＝＝.
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19.(10分)如图1，小山顶建造的风力发电机的主塔AB的高为120 m，在山脚C测得塔顶A的仰角∠ACD＝53°，山坡BC的坡比为1∶3，求小山的高度.
解：如图，延长AB交CD的延长线于点E.
由题意得AE⊥CE.
∵山坡BC的坡比为1∶3，∴＝，
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∴设BE＝x m，则CE＝3x m.
∵AB＝120 m，∴AE＝AB＋BE＝(120＋x)m.
∵在Rt△ACE中，∠ACE＝53°，
∴tan 53°＝＝≈，解得x≈40，
即BE≈40 m.
答：小山的高度约为40 m.
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20.(10分)如图1，吉林省广播电视塔又称“吉塔”.如图2，某直升飞机于空中A处探测吉塔，此时飞行高度AB＝873 m.从直升飞机上看塔尖C的俯角∠EAC＝37°，看塔底D的俯角∠EAD＝45°，求吉塔CD的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
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解：如图2，过点C作CF⊥AB，垂足为F.
∵AB⊥BD，CF⊥AB，DC⊥BD，
∴∠CDB＝∠B＝∠CFB＝90°，
∴四边形CDBF是矩形，
∴BF＝CD，CF＝BD.
∵CF∥BD∥AE，
∴∠EAC＝∠ACF＝37°，∠EAD＝∠ADB＝45°，
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∴BD＝AB＝873 m.
∵在Rt△ACF中，tan∠ACF＝，
∴AF＝tan∠ACF·CF＝tan 37°×873
≈0.75×873＝654.75(m)，
∴CD＝FB＝AB－AF≈873－654.75＝218.25≈218.3(m).
答：吉塔的高度CD约为218.3 m.
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21.(12分)世界第一“大碗”——景德镇
昌南里文化艺术中心主体建筑如图1所
示，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青
斗笠碗，寓意“万瓷之母”.如图2，“大
碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上.经测量ME＝FN＝20.0 m，EF＝40.0 m，BE＝2.4 m，∠ABE＝152°.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 62°≈0.88，cos 62°≈0.47，tan 62°≈1.88)
(1)求“大碗”的口径AD的长；
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解：∵AM⊥MN，DN⊥MN，
∴∠AMN＝∠DNM＝90°.
∵AD∥MN，
∴∠DAM＝180°－∠AMN＝90°，
∴四边形AMND是矩形，
∴AD＝MN＝ME＋EF＋FN＝20.0＋40.0＋20.0＝80.0(m).
答：“大碗”的口径AD的长为80.0 m.
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1.(12分)世界第一“大碗”——景德镇
昌南里文化艺术中心主体建筑如图1所
示，其造型灵感来自于宋代湖田窑影青
斗笠碗，寓意“万瓷之母”.如图2，
“大碗”的主视图由“大碗”主体ABCD和矩形碗底BEFC组成，已知AD∥EF，AM，DN是太阳光线，AM⊥MN，DN⊥MN，点M，E，F，N在同一条直线上.经测量ME＝FN＝20.0 m，EF＝40.0 m，BE＝2.4 m，∠ABE＝152°.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 62°≈0.88，cos 62°≈0.47，tan 62°≈1.88)
(2)求“大碗”的高度AM的长.
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解：如图2，延长CB交AM于点G.
由题意，得BE＝GM＝2.4 m，
BG＝ME＝20.0 m，BG⊥AM，∠EBG＝90°.
∵∠ABE＝152°，
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∴∠ABG＝∠ABE－∠EBG＝152°－90°＝62°.
∵在Rt△ABG中，AG＝BG·tan 62°≈20.0×1.88＝37.6(m)，
∴AM＝AG＋MG≈37.6＋2.4＝40.0(m).
答：“大碗”的高度AM的长约为40.0 m.
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22.(12分)苏州的重元寺被赞誉为“水天
佛国”，给人一种宁静、祥和的感觉.如
图，小希用无人机测量重元寺AB的高度，
测量方案需先将无人机垂直上升至距离地
面198 m的点P，测得重元寺顶端A的俯角为22°；再将无人机向重元寺的方向水平飞行182 m到达点Q，测得重元寺底端B的俯角为45°，求重元寺AB的高度.(结果精确到1 m，参考数据：sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93，tan 22°≈0.40)
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解：如图，延长BA交PQ于点E.
由题意可知，BE⊥PQ，PQ＝182 m，BE＝198 m.
∵在Rt△QEB中，∠EQB＝45°，
∴∠EBQ＝45°，∴EQ＝EB＝198 m，
∴PE＝PQ＋EQ＝380 m.
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设AB＝x m，则AE＝(198－x)m.
∵在Rt△PAE中，tan∠P＝，∠P＝22°，
∴AE＝tan∠P·PE＝tan 22°×380＝0.40×380≈152(m)，
∴198－x≈152.
∴x≈46.
答：重元寺AB的高度约为46 m.
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23.(14分)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 米尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，
其示意图如图所示
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作GH⊥CE于点E，并沿EH方向前进到点F，用米尺测得EF的长为4 m；
③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°；
④用计算器计算得sin 60.3°≈0.87，cos 60.3°≈0.50，tan 60.3°≈1.75，sin 21.8°≈0.37，cos 21.8°≈0.93，tan 21.8°≈0.40
请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)：
(1)求线段CE和BC的长度；
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解：∵GH⊥CE，EF的长为4 m，∠CFG＝60.3°，
∴tan∠CFE＝tan 60.3°＝≈1.75，
∴CE＝EF·tan∠CFE＝4×tan 60.3°
≈4×1.75＝7(m).
∵∠BFG＝45°，∴BE＝EF＝4 m，
∴BC＝CE－BE≈7－4＝3(m).
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23.(14分)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动.
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 米尺、测角仪、计算器等
活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形ABCD，
其示意图如图所示
测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上；
②过点E作GH⊥CE于点E，并沿EH方向前进到点F，用米尺测得EF的长为4 m；
③在点F处用测角仪测得∠CFG＝60.3°，∠BFG＝45°，∠AFG＝21.8°；
④用计算器计算得sin 60.3°≈0.87，cos 60.3°≈0.50，tan 60.3°≈1.75，sin 21.8°≈0.37，cos 21.8°≈0.93，tan 21.8°≈0.40
请根据表格中提供的信息，解决下列问题(结果保留整数)：
(2)求底座的底面ABCD的面积.
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解：如图，过点A作AM⊥GH于点M.
∵∠AFG＝21.8°，AM＝BE＝4 m，
∴tan∠AFG＝tan 21.8°＝≈0.40，
∴MF＝＝≈＝10(m)，
∴AB＝ME＝MF－EF≈10－4＝6(m)，
∴底座的底面ABCD的面积约为3×6＝18(m2).
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