专题05 三角形全等模型（压轴题专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题05 三角形全等模型 目录 1 类型一、三角形全等模型之倍长中线模型 1 类型二、三角形全等模型之截长补短模型 4 类型三、一线三等角（K型图）模型（同侧型） 8 类型四、一线三等角（K型图）模型（异侧型） 11 类型五、半角模型之90°-45°型 13 类型六、半角模型之60°-30°型或120°-60°型 16 类型七、等腰三角形中的手拉手模型 18 类型八、角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 21 类型九、角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 24 类型十、角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 25 28 类型一、三角形全等模型之倍长中线模型 【常见模型及证法】 1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则； 2、中点型:如图2，C为AB的中点. 证明思路：若延长EC至点F，使得CE=EC，连结AF，则; 若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则. 3、中点+平行线型：如图3, ，点E为线段AD的中点. 例1．【背景问题】：老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长______（写一个即可）； 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，是的中线，交于E，交于F，．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】： （3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，，，则______． 变式1-1．倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．某同学在学习过程中，遇到这样的一个问题：如图1：在中，，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决方法：延长到点E，使．请根据他们的方法解决以下问题： （1）求的取值范围：_________． 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题： 如图：已知，，，为的中点； （2）如图 2，若A、C、D三点共线，，，求； （3）如图3，若A、C、D三点不共线，，求证：． 变式1-2．综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 变式1-3【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小军在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． （1）【探究发现】图1中，由已知和作图能得到的理由是 ． A．    B．    C．    D． （2）【初步应用】如图2，在中，若，，求得的取值范围是________． A．    B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． （3）【问题解决】如图3，分别以和为边作等腰直角三角形，即在中，，，在中，，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由． 提示：．延长到，使，连接，根据（，，）证明，得，又因为，所以． 类型二、三角形全等模型之截长补短模型 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例2．已知为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，连接、，点、分别在、所在的直线上，连接、． (1)如图①，若，点、在边、上，，则、、之间的数量关系是_______；若，则的周长为______； (2)如图②，点在上，，求证：； (3)如图③，点在边上，点在的延长线上，在（2）的条件下，若，证明：． 变式2-1．已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1， 当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________． (2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________． 变式2-2．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    变式2-3．【问题提出】 （1）如图1，在四边形ABCD中，，，，E、F分别是BC、CD上的点，探究当为多少度时，使得成立． 小亮同学认为：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，则可求出∠EAF的度数为______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC、CD上的点，当∠EAF与∠BAD满足怎样的数量关系时，依然有成立，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，在正方形ABCD中，，若的周长为8，求正方形ABCD的面积． 类型三、一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 例3．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 变式3-1．数学模型（“一线三等角”模型） (1)如图1，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥AD于点D，CE⊥AD于点E．求证：△ABD≌△CAE． (2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．若CE＝a，BD＝b，求DE的长度（用含a，b的代数式表示）； (3)如图3，D，E是直线上的动点，若△ABF和△ACF都是等边三角形，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，试判断△DEF的形状，并说明理由． 变式3-2如图，在中，． (1)如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：． (2)如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！ 变式3-3如图，在 中， ，，点 在线段 上运动 不与 ， 重合，连接，作 ，与交于点． (1)当 时， ；当点 从 向 运动时，逐渐变 (填大或小)． (2)当 时， 与 是否全等？ 请说明理由． (3)在点 的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？ 若可以，请直接写出 的度数；若不可以，请说明理由 类型四、一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【常见模型及证法】 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等 证明思路：+任一边相等 例4．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （模型呈现） （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （模型应用） （2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”） 变式4-1（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果） 变式4-2数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 类型五、半角模型之90°-45°型 【模型展示】 （1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 （2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 例5．【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由； 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．    变式5-1 如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、．    (1)试判断，，之间的数量关系； (2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程． (3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系． 变式5-2 半角模型探究 如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． (1)求证：； (2)当时，求的长． (3)探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长． 变式5-3 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题．    (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 类型六、半角模型之60°-30°型或120°-60°型 （1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 （2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 例6．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 变式6-1问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 类型七、等腰三角形中的手拉手模型 【模型解读】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型及证法】 等边三角形手拉手模型： 等腰直角三角形手拉手模型： 等腰三角形手拉手模型： 例7（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 变式7-1【初步感知】 如图①，和都是等边三角形，连接．小组同学发现： （1）与全等，依据是__________（填写全等三角形判定定理，用字母表示即可）； （2）线段与的数量关系为__________（不用证明）； 【拓展探究】 如图②，和都是等腰三角形，相交于点． （3）线段与之间是否仍存在（2）中的结论？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （4）直接写出的度数． 变式7-2在探究图形变化规律的过程中，结合数学知识之间的内在联系，通过类比、迁移，可以获得宝贵的数学经验．    【探究1】 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点B，E，F在同一条直线上，则 ； 【探究2】 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，延长交于点D，则 ． 【探究3】 如图3，和均为等腰三角形，，，连接，，延长交于点D，若，则 （用含m的式子表示）． 【探究4】 如图4，和均为等腰三角形，，，连接，，延长交的延长线于点D，若，则 ． 类型八、角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 图1 图2 图3 例8 如图，在中，为边上一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)若，，，则的长为 ． 变式8-1 【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的部分内容． 已知：如图．是的平分线，P是上任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明的过程． 【类比探究】 （1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点M，N分别在和上，连接和，若，求证：； （2）如图③，的周长是12；、分别平分和，于点D，若的面积，则长为________． 变式8-2 已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且．过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系 类型九、角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 例9 如图，已知中，的平分线与的外角平分线交于点D，过点D作于点E． (1)若，求的度数； (2)连接，求证：平分． 变式9-1如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上． (1)求证：； (2)当时，求的面积用含的代数式表示． 类型十、角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 【模型解读与图示】 条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结. 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 例10如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 变式10-1 如图，是的平分线，，点E在上，连接、，过点D作，，垂足分别是F、G． (1)求证：； (2)求证：． 变式10-2 综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 变式10-3 如图，，平分，平分． (1)求证：是的中点； (2)试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 1、 填空题 1．（24-25八年级上·福建福州·开学考试）如图，在中，，，点D在边上，，点E，F在线段上，，若的面积为1.4，的面积为18，则的面积为 ． 2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知如图：，且，于，于，，．连接，．则图中阴影部分的面积为 ． 3．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，中线，则边的取值范围是 ． 4．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． . 二、解答题 5．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线    (1)若，求的度数． (2)若，求中线长的取值范围． 6．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 7．（22-23七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ； （3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 8．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在四边形中，平分，过作于，并且． (1)求证：． (2)求证：． 9．（23-24八年级上·云南昆明·期中）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，可以由________（三角形全等判定原理），得，进而得到； (2)【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，求的度数． 10．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）（1）图1，与均为等腰三角形，分别是底边，且．求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接，填空：的度数为________； （3）拓展探究：如图3，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．求线段之间的数量关系，并说明理由． 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知：，点P是平分线上的一点，点A在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)观察猜想：如图①，当时，和的数量关系是___ (2)探究证明：如图②，当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，之间另外的数量关系． (3)拓展延伸：如图③，当，点B在射线的反向延长线上时，判断线段，及之间的数量关系，并说明理由． 12．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：    (1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 13．（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）数学模型学习与应用： (1)【模型学习】，如图1，，，于点C，于点E，由，得；又，可以通过推理得到，进而得到______， ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (2)【模型应用】：如图2，为等边三角形，，，求证：； (3)【模型变式】：如图3，在中，，，于点E，于点D，，，则 ． 14．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 15．（23-24八年级上·湖北十堰·阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 16．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，则与的数量关系是__________．如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过A作于D，过B作于，，，则的长___________； (2)【变式运用】如图3，在中，，，．求． (3)【拓展迁移】如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 17．（23-24八年级上·全国·课堂例题）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角形全等模型 目录 1 类型一、三角形全等模型之倍长中线模型 1 类型二、三角形全等模型之截长补短模型 10 类型三、一线三等角（K型图）模型（同侧型） 24 类型四、一线三等角（K型图）模型（异侧型） 31 类型五、半角模型之90°-45°型 40 类型六、半角模型之60°-30°型或120°-60°型 49 类型七、等腰三角形中的手拉手模型 57 类型八、角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 64 类型九、角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 70 类型十、角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 73 80 类型一、三角形全等模型之倍长中线模型 【常见模型及证法】 1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线. 证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则； 2、中点型:如图2，C为AB的中点. 证明思路：若延长EC至点F，使得CE=EC，连结AF，则; 若延长DC至点G，使得CG=DC，连结BG，则. 3、中点+平行线型：如图3, ，点E为线段AD的中点. 例1．【背景问题】：老师提出了如下问题： 如图1，在中，是边上的中线，，，若边的长度为奇数，求的长． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接由已知和作图能得到，所以． （1）请根据小明的方法思考，直接写出可能的长______（写一个即可）； 【感悟方法】：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． （2）如图2，是的中线，交于E，交于F，．探究与的关系，并说明理由． 【深入探究】： （3）如图3，在和中，，，且，连接、，Q为中点，连接并延长交于K，，，则______． 【答案】（1）3或5；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由“”可证，可得，由三角形的三边关系可求解； （2）由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质得出，证出； （3）由“SAS”可证，可得，，由“”可证，可得，，由三角形的面积公式可求解． 【详解】解：（1）延长至点E，使，连接， 则， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴ 即； 边的长度为奇数， 或5； （2），理由如下： 延长到M，使，连接，如图2所示： 是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ∴， ∵， ； （3）延长到R，使得，连接、 点Q是的中点， ， 又，， ∴， ，， ∴， ∴， ，，， ，， ， ∴， ，， ， ， ， 即， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 变式1-1．倍长中线是初中数学一种重要的数学思想．某同学在学习过程中，遇到这样的一个问题：如图1：在中，，，求边上的中线的取值范围，经过和小组同学的探讨，共同得到了这样的解决方法：延长到点E，使．请根据他们的方法解决以下问题： （1）求的取值范围：_________． 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题： 如图：已知，，，为的中点； （2）如图 2，若A、C、D三点共线，，，求； （3）如图3，若A、C、D三点不共线，，求证：． 【答案】（1）；（2）32；（3）见解析 【分析】（1）延长到点E，使，连接，利用全等三角形的判定与性质和三角形的三边关系定理解答即可； （2）延长交延长线于点F，利用平行线的判定与性质和全等三角形的判定与性质得到：，，，利用等高的三角形的面积比等于底的比的性质求得，则，再利用解答即可； （3）延长至点F，使得，连接、、，通过证明和，利用全等三角形的性质，等腰直角三角形的性质解答即可得出结论． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长交延长线于点F， ， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴，， ∵P为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴； （3）证明：延长至点F，使得，连接、、，如图， 由（1）同理易证：， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了三角形的中线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，本题是阅读型题目，掌握倍长中线的方法，恰当的添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 变式1-2．综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，与不平行，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 变式1-3【综合探究】为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小军在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． （1）【探究发现】图1中，由已知和作图能得到的理由是 ． A．    B．    C．    D． （2）【初步应用】如图2，在中，若，，求得的取值范围是________． A．    B．    C．    D． 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． （3）【问题解决】如图3，分别以和为边作等腰直角三角形，即在中，，，在中，，，连接，试探究与的数量关系，并说明理由． 提示：．延长到，使，连接，根据（，，）证明，得，又因为，所以． 【答案】（1）B；（2）C；（3），理由见解析 【分析】（1）由是边上的中线，得出，结合，，可利用证明，得出答案即可； （2）延长到，使，连接，得出，由（1）得，得出，再根据三角形的三边关系得出答案即可； （3）延长到，使得，连接，由（1）得，得，，推出，得出，进一步推出，利用证明，得出，结合，进一步推出即可． 【详解】解：（1）是边上的中线， ， 在和中， ， ， 由已知和作图能得到的理由是， 故选：B； （2）如图，延长到，使，连接， ， 由（1）得， ， 在中，， ， ， ， 故选：C； （3），理由如下： 如图，延长到，使得，连接，    由（1）得， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、倍长中线模型、三角形的三边关系、平行线的判定与性质，灵活运用知识点推理证明是解题的关键． 类型二、三角形全等模型之截长补短模型 【常见模型及证法】 （1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。 例：如图，求证BE+DC=AD 方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE （2）补短：将短线段延长，证与长线段相等 例2．已知为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，连接、，点、分别在、所在的直线上，连接、． (1)如图①，若，点、在边、上，，则、、之间的数量关系是_______；若，则的周长为______； (2)如图②，点在上，，求证：； (3)如图③，点在边上，点在的延长线上，在（2）的条件下，若，证明：． 【答案】(1)，2 (2)见详解 (3)见详解 【知识点】证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题）、等边三角形的判定和性质、全等三角形综合问题 【分析】（1）延长至点，使，结合等边三角形以及垂直平分线性质，证明，然后证明，进行边的等量代换，即可作答．结合的周长，且，即可作答． （2）过点作，因为为等边三角形，点为的垂直平分线上一点，得到为中位线，从而证明，； （3）设，如图：过点作，同理证明，则，故，即可作答． 【详解】（1）解：如图：延长至点，使 ∵点为的垂直平分线上一点， ∴, ∵为等边三角形， ∴ ∴ 故 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 则； ∵的周长，且 ∴ （2）解：如图：过点作， ∵为等边三角形，点为的垂直平分线上一点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （3）解：设，如图：过点作， 同理可证 ∴ ∵ ∴ ∴ 则 【点睛】本题考查了全等三角形的综合，涉及判定三角形全等以及全等三角形的性质、四边形内角和，垂直平分线的性质，辅助线等内容，综合性强，难度大，解题的关键是正确作出辅助线证明三角形全等． 变式2-1．已知，在四边形中，，、分别是边、上的点，且． (1)为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1， 当时．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接．请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小明的解题思路：先证明__________；再证明了__________，即可得出之间的数量关系为__________． (2)如图②，在四边形中，，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； (3)在四边形中，，分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：______________． 【答案】(1)；； (2)成立，过程见解析 (3)或或 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）依据题意，补图，补充思路即可； （2）延长到，使，连接，证明即可； （3）分三种情况讨论，分别采用截长补短，证明即可，再进行线段和差计算． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 小明的解题思路：先证明，再证明了，即可得出之间的数量关系为， 故答案为：，，； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 理由是：如图2，延长到，使，连接． ∵ ∴， ∵在与中， ， ∴． ∴， ∴． ∴． 又， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）解：①分别在边上，则有成立，第（2）问已证明； ②点在边延长线上，点在边延长线上，此时； 证明：在上截取，使，连接． ∵, ∴． ∵在与中， , ∴ ∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ∴ ∵ ∴； ③当点在延长线，点在延长线，如图，在上截取，连接， 同上可证明：， ∴， ∴， 即， 综上所述：线段之间的数量关系为或或， 故答案为：或或． 变式2-2．如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 【详解】证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键． 变式2-3．【问题提出】 （1）如图1，在四边形ABCD中，，，，E、F分别是BC、CD上的点，探究当为多少度时，使得成立． 小亮同学认为：延长FD到点G，使，连接AG，先证明，再证明，则可求出∠EAF的度数为______； 【问题探究】 （2）如图2，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC、CD上的点，当∠EAF与∠BAD满足怎样的数量关系时，依然有成立，并说明理由． 【问题解决】 （3）如图3，在正方形ABCD中，，若的周长为8，求正方形ABCD的面积． 【答案】（1）60°；（2）当时，成立，理由见解析；（3）16 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到证明得到根据题意，计算即可得出结果． （2）延长FD到点H，使，连接AH，分别证明，根据全等三角形的性质解答即可． （3）根据（2）的结论得到，进而求出AD，根据正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：（1）当时，，理由如下， 延长FD到点G，使，连接AG， 在和中， 在和中， ； （2）当时，成立， 理由如下：如图2，延长FD到点H，使，连接AH， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴（SAS）， ∴； （3）∵四边形ABCD为正方形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵的周长为8， ∴， ∴， ∴AD+CD=8， ∴， ∴正方形ABCD的面积． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解此题的关键． 类型三、一线三等角（K型图）模型（同侧型） 【常见模型及证法】 同侧型一线三等角（常见）： 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：+ CE=DE 证明思路：+任一边相等 例3．“一线三等角”模型是平面几何图形中的重要模型之一，“一线三等角”指的是图形中出现同一条直线上有3个相等的情况，在学习过程中，我们发现“一线三等角”模型的出现，还经常会伴随着出现全等三角形． 根据对材料的理解解决以下问题∶ (1)如图1，，．猜想，，之间的关系：__________ (2)如图2，将（1）中条件改为，，请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)如图3，在中，点为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)（1）中结论仍然成立，理由见解析 (3)7 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等，是解题的关键． （1）证明，得到，利用，即可得到； （2）证明，得到，利用，即可得到； （3）证明，推出即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中结论仍然成立，理由如下： ∵，， ， ∴． 在和中， ， ∴． ∴，． ∴， ∴（1）中结论仍然成立； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 变式3-1．数学模型（“一线三等角”模型） (1)如图1，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥AD于点D，CE⊥AD于点E．求证：△ABD≌△CAE． (2)如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，A，E都在直线l上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．若CE＝a，BD＝b，求DE的长度（用含a，b的代数式表示）； (3)如图3，D，E是直线上的动点，若△ABF和△ACF都是等边三角形，且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，试判断△DEF的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)a+b (3)△DEF是等边三角形，理由见解析． 【分析】（1）由“AAS”可证△ABD≌△CAE； （2）由“AAS”可证△ABD≌△CAE，可得AD＝CE，BD＝AE，即可求解； （3）由“SAS”可证△BDF≌△AEF，可得DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，可得结论． 【详解】（1）证明：∵∠1+∠2＝∠2+∠C＝90°， ∴∠1＝∠C， 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， （2）解：∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝180°﹣α＝∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ABD和△CAE中， ∴△ABD≌△CAE（AAS）， ∴AD＝CE，BD＝AE， ∵CE＝a，BD＝b， ∴DE＝AD+AE＝BD+CE＝a+b； （3）解：△DEF是等边三角形，理由如下： ∵△ABF和△ACF都是等边三角形 ∴AB＝AC， 由（2）知：△ABD≌△CAE， ∴BD＝AE，∠ABD＝∠CAE， ∵△ACF是等边三角形，△ABF是等边三角形， ∴∠CAF＝60°，AB＝AF， ∴∠ABD+∠ABF＝∠CAE+∠CAF， 即∠DBF＝∠FAE， 在△BDF和△AEF中， ， ∴△BDF≌△AEF（SAS）， ∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE， ∴∠DFE＝∠AFD+∠AFE＝∠AFD+∠BFD＝60°， ∴△DEF是等边三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定，三角形外角的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 变式3-2如图，在中，． (1)如图1，直线过点B，于点M，于点N，且，求证：． (2)如图2，直线过点B，交于点M，交于点N，且，则是否成立？请说明理由！ 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定和性质综合，利用题目中的已知条件导角，可推导，最后证明，直接可证． （2）利用及是的外角，可以推出，再利用可以判定，再利用全等的性质导边即可证明． 【详解】（1）证明：∵于点M，于点N； ∴； ∴； ∵， ∴； ∴； 在和中， ∴； ∴，； ∴． （2）成立．理由如下： 设； ∴； ∴； 在和中； ∴； ∴，； ∴； 故成立． 变式3-3如图，在 中， ，，点 在线段 上运动 不与 ， 重合，连接，作 ，与交于点． (1)当 时， ；当点 从 向 运动时，逐渐变 (填大或小)． (2)当 时， 与 是否全等？ 请说明理由． (3)在点 的运动过程中， 的形状可以是等腰三角形吗？ 若可以，请直接写出 的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)，大 (2)当时，．理由见解析 (3)或 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定及全等三角形的判定，三角形内角和定理的应用 ； （1）首先利用三角形内角和为可算出；再利用邻补角的性质和三角形内角和定理可得的度数； （2）当时，利用，，求出，再利用，即可得出． （3）分类讨论：由（2）可知，所以与不可能相等，于是可考虑和两种情况． 【详解】（1）解：，，， ； 当点从向运动时，逐渐变大， 故答案为： ，大； （2）当时，，理由如下： 理由：， ， 又， ， ， 又， 在和中， ， ； （3）当的度数为或时，的形状是等腰三角形，理由如下： 当时， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形； 当的度数为时， ， ， ， ， ， 是等腰三角形． 综上所述，当的度数为或时，是等腰三角形． 类型四、一线三等角（K型图）模型（异侧型） 【常见模型及证法】 异侧型一线三等角： 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：+ 任意一边相等 证明思路：+任一边相等 例4．通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （模型呈现） （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到．进而得到________， ________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （模型应用） （2）如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； （深入探究） （3）如图，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，则有________（填“、、”） 【答案】（1），，（2）见解析，（3），理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、直角三角形的两个锐角互余及等积法，熟练掌握全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可直接进行求解； （2）分别过点D和点E作于点H，于点Q，进而可得，然后可证，则有，进而可得，通过证明可求解问题； （3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于由题意易得，，然后可得，则有，，进而可得，通过证明及等积法可进行求解问题． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为， （2）分别过点D和点E作于点H，于点Q，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，即点是的中点； （3），理由如下： 如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于 ∵四边形与四边形都是正方形 ∴，， ∵，， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 同理可以证明， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴即， 故答案为：． 变式4-1（1）提出问题：如图1，在直角中，，点正好落在直线上，则、的关系为______； （2）探究问题：如图2，在直角中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，直线PQ经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若、，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时．求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）或或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理． （1）利用平角的定义即可求解； （2）先证明出，得出，，即可得出结果； （3）由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分类讨论，分别画出图形，结合图形列方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： ∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （3）当点移动到点时，，移动到点时，； 当点移动到点时，，移动到点时，； 分以下三种情况： ①当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当E在上，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴， 不在范围内，不符合题意； ④当E到达A后，D在上时，即，如图，此时，， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当或或时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 变式4-2数学课上，老师让同学们利用三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系 问题情境： 如图1，三角形纸片中，，.将点C放在直线上，点A，B位于直线的同侧，过点A作于点D 初步探究： (1)在图1的直线上取点E，使，得到图2，猜想线段与的数量关系，并说明理由； (2)小颖又拿了一张三角形纸片继续进行拼图操作，其中，.小颖在图1的基础上，将三角形纸片的顶点P放在直线上，点M与点B重合，过点N作于点H.如图3，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－垂直模型，熟记模型的构成以及结论是解题关键． （1）过点B作于点F，证得，根据“三线合一”可得，即可求解； （2）结合（1）的推理过程可得得，再证得即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点B作于点F，即， ， ，， . ， . . 在和中，， . . ，， . . （2）解：.理由如下： 过点B作于点F，∴， 由（1）可得：， . ， ，. ， . . 在和中，， . . 类型五、半角模型之90°-45°型 【模型展示】 （1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°； 结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB； ⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 （2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形，∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 例5．【问题背景】（1）如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则有，试说明理由； 【迁移应用】（2）如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，，若，都不是直角，且，试探究、、之间的数量关系； 【联系拓展】（3）如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，猜想、、满足的等量关系．（直接写出结论，不需要证明）．    【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3） 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转90°至，然后利用SAS证明，由此可得． （2）把绕点A逆时针旋转90°至，然后利用SAS证明，由此可得． （3）把旋转到的位置，连接，先根据SAS证明，由此可得，．又由可得．因此是直角三角形，由此可得，因此． 【详解】（1）如图1，    ∵，， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，如图1， ∵， ∴，点F，D、G共线， 则，， ， 即， 在和中，， ∴， ∴； （2），理由如下：如图2， ∵，， ∴把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，    ∴， ∵，， ∴， ， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线 在和中，， ∴， ∴， 即：， （3）， 理由是：把旋转到的位置，连接，则，．    ∵，， ∴， 又∵， ∴， 则在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．通过旋转变换构造全等三角形是解题的关键．本题还运用了转化的思想：要想证明两条较短线段之和等于第三条线段，需要将这两条线段转化到一条直线上，希望多加体会． 变式5-1 如图①，四边形是正方形，，分别在边、上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法，如图①，将绕点顺时针旋转，点与点重合，连接、、．    (1)试判断，，之间的数量关系； (2)如图②，点、分别在正方形的边、的延长线上，，连接，请写出、、之间的数量关系，并写出证明过程． (3)如图③，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，请直接写出，，之间数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）首先利用证明，得，从而得出答案； （2）在上取,连接，首先由，得，，再利用证明，得，即可证明结论； （3）将绕点逆时针旋转得，由旋转的性质得点、、共线，由（1）同理可得，得，从而解决问题． 【详解】（1）解：，证明如下： 四边形是正方形， ， 由旋转的性质可得：，，，， ， 点、、共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：， 证明如下： 如图，在上取，连接， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）解：如图，将绕点逆时针旋转得，   ，，， ， ， 点、、共线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 变式5-2 半角模型探究 如图，正方形的边长为3，E、F分别是、边上的点，且．将绕点D逆时针旋转，得到． (1)求证：； (2)当时，求的长． (3)探究延伸：如图，在四边形中，，，．E、F分别是边、上的点，且．求的周长． 【答案】(1)见详解 (2) (3)8 【分析】（1）由旋转可得，为直角，可得出，由，得到为，可得出，再由，利用可得出三角形与三角形全等，由全等三角形的对应边相等可得出； （2）由（1）的全等得到，正方形的边长为3，用求出的长，再由求出的长，设，可得出，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解得到的值，即为的长． （3）拓展延伸：如图，在正方形中，、分别在边、上，且，连接，同（2）可得结论仍然成立，再结合，即可作答． 【详解】（1）证明：逆时针旋转得到， ，， 、、三点共线， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：设， ，， ， ， ， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， 则． ∴； （3）解：如图②，将绕点顺时针旋转角度为的度数，得到， 由旋转可得，，，，， ， ， ， ， 点、、三点共线， 在和中， ， ， ， ， ； ∵ ∴ 则 ∴ ∴ 则的周长为． 【点睛】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键． 变式5-3 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且，我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点A顺时针旋转后解决了这个问题．    (1)请直接写出线段，，之间的关系． (2)如图3，等腰直角三角形，，，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，解题的关键是： （1）利用旋转的性质，证明，得到，等量代换即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，可知，，，，在中，，可求得，所以，证，利用得到． 【详解】（1）解：证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，   ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． 类型六、半角模型之60°-30°型或120°-60°型 （1）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋FC；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 （2）等边三角形半角模型（60°-30°型） 例6．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点E，F分别是上的点，且，连接，探究线段之间的数量关系． (1)探究发现：小明同学的方法是延长到点G．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：_____________； (2)拓展延伸：如图2，在四边形中，，，E、F分别是边上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由． (3)尝试应用：如图3，在四边形中，，，E、F分别是边延长线上的点，且，请探究线段具有怎样的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)成立，理由见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）延长到点G．使．连接，利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）延长至M，使，连接．证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使，连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】（1）解：． 延长到点G．使．连接， ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴． 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立． 证明：如图②中，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴，即． 在与中， ， ∴． ∴，即， ∴； （3）解：结论：． 证明：如图③中，在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，   ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 变式6-1问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 【答案】问题背景：EF＝BE＋FD；实际应用：两凉亭之间的距离EF为25米 【分析】（1）根据△ABE≌△ADG可得BE=DG，根据△AEF≌△AGF得EF=GF，进而求得结果； （2）延长CD至H，使DH=BE，可证得△ADH≌△ABE，进而证得△FAH≌△FAE，进一步求得EF． 【详解】解：问题背景：∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=60°，∠BAD=120°， ∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， 故答案为：EF=BE+DF； 实际应用：如图2，延长CD至H，使DH=BE，连接AH， ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， ∴∠ADH=∠B， 在△ADH和△ABE中， ， ∴△ADH≌△ABE（SAS）， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF， 在△AEF和△AHF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， ∵BE=10米，DF=15米，   ∴EF=10+15=25（米）． 【点睛】本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形并两次证全等是解题的关键． 类型七、等腰三角形中的手拉手模型 【模型解读】 将两个三角形绕着公共顶点（即头）旋转某一角度后能完全重合，则这两个三角形构成手拉手全等，也叫旋转型全等，常用“边角边”判定定理证明全等。 公共顶点A记为“头”，每个三角形另两个顶点逆时针顺序数的第一个顶点记为“左手”，第二个顶点记为“右手”。 对应操作：左手拉左手（即连结BD），右手拉右手（即连结CE），得。 【常见模型及证法】 等边三角形手拉手模型： 等腰直角三角形手拉手模型： 等腰三角形手拉手模型： 例7（1）问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为 ； ②线段之间的数量关系为 ； （2）拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形、，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】（1）①，②；（2），，理由见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到；，从而得，，由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，进而即可得到结论； （3）由等腰三角形的性质得：，结合和是等腰三角形，即可得到答案 【详解】（1）①∵和都是等边三角形， ∴ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ② ∵ ∴ 故答案为：①，②；                （2），理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴，即 在和中 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵是等腰直角三角形，为中边上的高 ∴ ∵ ∴                 （3）∵是等腰三角形， ∴ ∴ 同（1）可得： ∴ ∴ ∵是等腰三角形， ∴ ∴ 变式7-1【初步感知】 如图①，和都是等边三角形，连接．小组同学发现： （1）与全等，依据是__________（填写全等三角形判定定理，用字母表示即可）； （2）线段与的数量关系为__________（不用证明）； 【拓展探究】 如图②，和都是等腰三角形，相交于点． （3）线段与之间是否仍存在（2）中的结论？若存在，请证明；若不存在，请说明理由； （4）直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）；（3）仍然成立，证明见解析；（4） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、三角形内角和定理的应用、等边三角形的性质 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得到，，，利用定理证明； （2）根据全等三角形的性质得到； （3）类比（1）证明，根据全等三角形的性质得到； （4）根据全等三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：（1）和都是等边三角形， ∴，，， ，， ， 在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）∵ （全等三角形的对应边相等）， 故答案为：； （3）仍然成立，证明如下： ∵，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （4）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式7-2在探究图形变化规律的过程中，结合数学知识之间的内在联系，通过类比、迁移，可以获得宝贵的数学经验．    【探究1】 如图1，和均为等腰直角三角形，，连接，，且点B，E，F在同一条直线上，则 ； 【探究2】 如图2，和均为等腰直角三角形，，连接，，延长交于点D，则 ． 【探究3】 如图3，和均为等腰三角形，，，连接，，延长交于点D，若，则 （用含m的式子表示）． 【探究4】 如图4，和均为等腰三角形，，，连接，，延长交的延长线于点D，若，则 ． 【答案】探究1：90；探究2：90；探究3：m；探究4：60 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理： （1）证明，得出，再由三角形内角和定理即可得出答案； （2）证明，得出，即可得出答案； （3）证明，得出，即可得出答案； （4）证明，得出，即可得出答案． 【详解】探究1 解：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90； 探究2：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90； 探究3：同（2）可得， ∴， ∴ ， 故答案为：m； 探究4：∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， ∴， 故答案为：60． 类型八、角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线、于点A时，过点C作. 结论：、≌. 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠COB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 图1 图2 图3 例8 如图，在中，为边上一点，于点，于点，． (1)求证：平分； (2)若，，，则的长为 ． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质和判定，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）连接，证明，得，再利用角平分线的性质即可解决问题； （2）结合（1），根据，代入值计算即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，连接， 于点，于点， ， 在和中， ， ， ， 于点，于点， 平分； （2）解：， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：4． 变式8-1 【教材呈现】如图是华师版八年级上册数学教村96页的部分内容． 已知：如图．是的平分线，P是上任意一点，，，垂足分别为点D和点E． 求证：． 分析： 图中有两个直角三角形和，只要证明这两个三角形全等便可证得． 【问题解决】请根据教材分析，结合图①与出证明的过程． 【类比探究】 （1）如图②，是的平分线，P是上任意一点，点M，N分别在和上，连接和，若，求证：； （2）如图③，的周长是12；、分别平分和，于点D，若的面积，则长为________． 【答案】问题解决：见解析；（1）见解析；（2）3 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形全等的判定和性质， [问题解决]利用角角边定理证明，根据全等三角形的性质证明结论； [类比探究]（1）过点P作于E，于F，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； （2）过O作与E，于F，利用角平分线的性质可得，，然后再利用面积的计算方法可得答案． 【详解】[问题解决]证明：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， , ∴()， ∴； [类比探究]（1）证明：如图②，过点P作于E，于F， ∵是的平分线，，， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）过O作与E，于F， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∵的周长是， ∴ ， ∵的面积为18，且， ∴， 即， 故答案为：3． 变式8-2 已知点是平分线上一点，的两边、分别与射线、相交于，两点，且．过点作，垂足为． (1)如图1，当点在线段上时，求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，探究线段、与之间的等量关系 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查角平分线的定义和性质定理，三角形全等的判定和性质，补角的性质，正确作出辅助线是解题关键． （1）过点C作于点F，由角平分线的性质定理可得出，再根据补角的性质可得出，即易证，得出； （2）过点C作于点F，分别证明， ，得出，．再结合，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点C作于点F， ∴． ∵点是平分线上一点， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，过点C作于点F， ∴． ∵点是平分线上一点， ∴，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴． 类型九、角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 【模型解读与图示】 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形、是三线合一等。 图1 图2 图3 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 例9 如图，已知中，的平分线与的外角平分线交于点D，过点D作于点E． (1)若，求的度数； (2)连接，求证：平分． 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】角平分线的有关计算、三角形的外角的定义及性质、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质与判定，角平分线的定义和三角形外角的性质： （1）根据角平分线的定义得到，，再由三角形外角的性质可得，则，据此可得答案； （2）过点作于，于，则由角平分线的性质可得，，则，由角平分线的判定定理即可证明平分． 【详解】（1）解：∵的平分线与的外角平分线交于点， ，， ， ， ， ， ； （2）证明：如图2，过点作于，于，   ，平分，平分， ，， ， 平分． 变式9-1如图，中，，，平分，，垂足在的延长线上． (1)求证：； (2)当时，求的面积用含的代数式表示． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由，得，再根据，利用三角形内角和定理可证明结论； （2）延长，交于点，利用证明，得，再根据证明，得，则，从而解决问题． 【详解】（1）证明：，， ， 又， ； （2）解：如图，延长，交于点， 在与中， ， ， ， 平分， ， 在与中， ， ， ， ， ． 类型十、角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 【模型解读与图示】 条件：如图，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 条件：如图，分别为和的角平分线，，在上截取，连结. 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 例10如图，是AD中点，平分．    (1)若，求证：平分． (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，灵活做辅助线是解题的关键． （1）过点E作，垂足为H，根据角平分线性质可得，再由角平分线判定即可得出结论； （2）在上截取，连接．先证明可得，再证可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：过点E作，垂足为H，    ∵平分，， ∴， 又∵是中点，即， ∴， ∵，， ∴：平分． （2）解：如图：在上截取，连接．   平分， ． 在和中， ， ，． 是的中点， ． 又， ， ， ， 在和中 ． ， ， ， ∴ 变式10-1 如图，是的平分线，，点E在上，连接、，过点D作，，垂足分别是F、G． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形性质和判定，补角定义，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）首先利用角平分线的性质可得，然后再利用“”判定即可； （2）根据全等三角形的性质可得，根据等角的补角相等可得，再证明，即可证明． 【详解】（1）证明：是的平分线， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， ， ，，， ， ． 变式10-2 综合探究：如题图1是一种用刻度尺画角平分线的方法，在、上分别取点、、、，使得，，连接、，交点为，则射线为的角平分线． 【验证】（1）试说明平分，且； 【应用】（2）如题图2，若、、、分别为、上的点，且，，试用（1）中的原理说明平分； 【猜想】（3）如题图3，是角平分线上一点，、分别为、上的点，且，请补全图形，并直接写出与的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）补全图形见解析，或 【分析】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型． （1）先证明，得，再证，得，然后证，得，即可得出结论； （2）先证明，可得，由（1）可得平分； （3）过点分别作于，于，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：（1），，， ，， ， ，， ， ， ，，， ， ， 即， 射线平分； （2）， ， ， ， ， 由（1）可得平分； （3）补全图形如下，过点分别作于，于， 是的平分线， ，， 当时， 在和中， ， ， ； 当时， 同理得， ； ， ， 综上所述，与的数量关系为或； 变式10-3 如图，，平分，平分． (1)求证：是的中点； (2)试探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定： （1）如图所示，过点M作于F，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，，进而得到，即是的中点； （2）证明，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：如图所示，过点M作于F， ∵平分，，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴是的中点； （2）解：，理由如下： 由（1）可得， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 1、 填空题 1．（24-25八年级上·福建福州·开学考试）如图，在中，，，点D在边上，，点E，F在线段上，，若的面积为1.4，的面积为18，则的面积为 ． 【答案】 【知识点】根据三角形中线求面积、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质和三角形的面积求法．先证，得出，由的面积为18，，得出，，据此求解即可． 【详解】∵，，， ， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵的面积为18，， ∴，， ∵的面积为1.4， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）已知如图：，且，于，于，，．连接，．则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先导角证明，再证明，得到，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·湖北荆州·期中）如图，在中，，中线，则边的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】延长到点E，使，连接，可证明，可求得，在中可利用三角形三边关系可求得的取值范围，则可求得的取值范围． 【详解】解：延长到点E，使，连接， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ，且， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，构造全等三角形，把、和转化到一个三角形中是解题的关键． 4．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，为边的中线，为上一点，连接并延长交于点，若，，，则的长为 ． . 【答案】 【知识点】倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质．延长至，使，连接，根据证明，则，根据可得，由此可得，即可得出，然后利用线段的和差即可求出的长．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】 如图，延长至G，使，连接， 在和中 ， ， ． ，， ， ， ， ． ， ， ． 故答案为： 二、解答题 5．（23-24八年级上·山西长治·期中）如图，，分别是的中线和高，是的角平分线    (1)若，求的度数． (2)若，求中线长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与三角形的高有关的计算问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】（1）利用三角形的外角先求解，可得，再结合高与三角形的内角和定理可得答案； （2）延长至，使，再证明，可得，而，则，再结合中线的含义可得答案． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， 为高， ， ； （2）延长至，使，    ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是三角形的中线，高，角平分线的含义，三角形的外角的性质，内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系的应用，熟记基础概念是解本题的关键． 6．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题)、三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 7．（22-23七年级下·广东佛山·期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使 请根据小明的方法思考：    （1）求得的取值范围是___________； 【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题 如图，已知，，，为的中点．    （2）如图1，若，，共线，求证：平分 ； （3）如图2，若，，不共线，求证：； （4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4） 【知识点】全等三角形综合问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答； （2）延长交延长线于点，证即可； （3）延长至点，使得，连接、、，证即可； （4）过点作交于点，由（3）可得，证，用含的代数式表示出即可． 【详解】（1）为边上的中线， ， 在和中     ， ， ， ， 即， ， ， ， 故答案为： （2）如下图，交延长线于点    ， （同旁内角互补，两直线平行）， ，， 为的中点 ， ， ，， 又， ，即， 在和中 ， （全等三角形的对应角相等），即平分 （3）延长至点，使得，连接、、    由（1）同理易知， ，， ，且， ， ，， ， ， ， ， （4）过点作交于点，由（3）可得，，，，    ， ， 和互余，， ， ， ， ， 又， ， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，画出辅助线推理论证是解题的关键． 8．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在四边形中，平分，过作于，并且． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的性质，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，题目比较好，难度适中． （1）如图所示，过点作交的延长线于，根据角平分线的性质得出，再证明，证出，根据全等三角形的性质即可证明； （2）根据，得出，证明，得出，即可证明； 【详解】（1）证明：如图所示，过点作交的延长线于， ，，平分， ，， ， 又， ， 在和中 ， ； （2）证明：， ， ，， ， 在和中 ， ， ， ， ． 9．（23-24八年级上·云南昆明·期中）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组全等的三角形，小明把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1，若和均是顶角为的等腰三角形，分别是底边，可以由________（三角形全等判定原理），得，进而得到； (2)【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、等腰三角形的定义 【分析】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）先判断出，进而利用判断出，即可得出结论； （2）同（1）的方法判断出，得出，最后用角的差，即可得出结论； 【详解】（1）解：（1）∵和均是顶角为的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． （2）∵和均是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 10．（23-24八年级上·广西南宁·阶段练习）（1）图1，与均为等腰三角形，分别是底边，且．求证：； （2）如图2，和均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接，填空：的度数为________； （3）拓展探究：如图3，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一直线上，为中边上的高，连接．求线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析    （2）60    （3），理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的性质 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质： （1）由等腰三角形的性质可得，，再由角的和差关系推出，即可根据“”证明； （2）先证得，由全等三角形的性质可得，再由三角形外角和定理求得，再利用角的和差关系求解即可； （3）先证得，由全等三角形的性质可得，再由等腰直角三角形的性质可得，进而根据线段的和差关系即可得出结论． 【详解】（1）证明：与均为等腰三角形， ，， ， ， ， ； （2）和均为等边三角形， ，，， ， ， ； ， 为等边三角形， ， 点A，D，E在同一直线上， ， ， ， 综上所述，的度数为； （3）线段CM、AE、BE之间的数量关系是：．理由如下： 和均为等腰直角三角形且， ，，， ， ， ， ， ， ，，， ， ，， ， ． 11．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知：，点P是平分线上的一点，点A在射线上，作，交直线于点，作于点． (1)观察猜想：如图①，当时，和的数量关系是___ (2)探究证明：如图②，当时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出，之间另外的数量关系． (3)拓展延伸：如图③，当，点B在射线的反向延长线上时，判断线段，及之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)成立证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，角平分线的性质． （1）作于点D，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质定理证明； （2）作于点D，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质定理证明； （3）仿照（2）的解法得出，从而得出，再根据得出，得出，继而得出结论． 【详解】（1）解：作于点D，如图， ∵点P在的角平分线上，且于C， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴． （2）解：（1）中的结论还成立， 理由如下：如图2，作于点D， ∵点P在的角平分线上，且于C， ∴， ∵，， ∴， 在四边形中，， ∴，， ∴， ∵， 在和中， ∴， ∴． （3）解：． 理由如下：如图3，作于点D， 同（2）可证， ∴， 点P在的角平分线上，且于C， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， 则． 12．（23-24七年级下·广东揭阳·期末）在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作：    (1)如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是________，此时和的数量关系是________； (2)如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，两线交于点P，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由； (3)如图3，已知，以为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，两线交于点P，请直接写出线段和的数量关系及的度数． 【答案】(1)， (2)且，理由见解析 (3)， 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）先判断出，进而判断出，即可得出结论； （2）先判断出，得出，，进而判断出，即可得出结论； （3）由三角形与三角形都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到两对边相等，两三角形的内角都为，利用等式的性质得到，利用可得出得，，求出，即可求出的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴和全等的三角形是，此时和的数量关系是． 故答案为：，； （2）且； 理由如下：∵， ∴． ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 综上所述：且． （3）和都为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ； ，， ∴ ， ∴． 13．（24-25八年级上·辽宁盘锦·开学考试）数学模型学习与应用： (1)【模型学习】，如图1，，，于点C，于点E，由，得；又，可以通过推理得到，进而得到______， ．我们把这个数学模型称为“一线三等角”模型； (2)【模型应用】：如图2，为等边三角形，，，求证：； (3)【模型变式】：如图3，在中，，，于点E，于点D，，，则 ． 【答案】(1)，； (2)见解析 (3)3 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，掌握“一线三等角”模型是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质可得答案； （2）根据，求出，利用证明△BDE≌△CFD即可得出结论； （3）根据，求出，利用证明，得到，，再根据线段的和差可得答案． 【详解】（1）解：由题意可知：， ∴DE，AE， 故答案为：，； （2）证明：是等边三角形， ， ∴， ， ， 又， ∴， ； （3）解：，， ， ， ， 又， ∴， ，， ， 故答案为：． 14．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到_________，推理依据是___________．进而得到_________，_________．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； (2)如图2，，，，连接，，且于点F，与直线交于点G．求证：点G是的中点； (3)如图3，已知四边形和为正方形，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，理解“一线三等角”的全等模型以及该模型的构成条件、证明过程及结论是解题关键． （1）通过证明，再根据全等三角形的判定与性质逐步分析即可解答； （2）作，利用“K字模型”的结论可得，故可推出，再证即可证明结论； （3）作，利用“K字模型”的结论可得，进一步可证即可求解． 【详解】（1）解：∵过点B作于点C，过点D作于点E． ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：，，，． （2）证明：如图：作， 由“K字模型”可得： ∴， ， ∵， ∴， ∴，即：点G是的中点． （3）解：，理由如下： 如图：作， ∵四边形和为正方形， ∴， 由“K字模型”可得：， ，， ， ∴ ， ∴∴． 15．（23-24八年级上·湖北十堰·阶段练习）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 【答案】成立，见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质；根据旋转的性质得到，，，，，推出、、三点共线，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：成立． 证明：将绕点顺时针旋转得到， ，，，，， ， 、、三点共线， ， ， ，， ， ， ． 16．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”，当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)如图1，在等腰直角中，，，过点C作直线，于D，于E，则与的数量关系是__________．如图2，在等腰直角中，，，过点C作直线，过A作于D，过B作于，，，则的长___________； (2)【变式运用】如图3，在中，，，．求． (3)【拓展迁移】如图4，在中，，，，以为边向右侧作一个等腰直角三角形，连接，请直接写出的面积． 【答案】(1)； (2)2 (3)9，或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】（1）本题考查三角形全等的判定与性质，根据，得到，结合，得到，从而得到即可得到即可得到答案，第2空同理证明即可得到答案； （2）本题考查三角形全等的判定与性质，过作于E，证明即可得到答案； （3）本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定与性质，分三类讨论直角等腰三角形结合（1）的结论求解即可得到答案； 【详解】（1）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴ ，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴，，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， （3）解：当作直角边，时，如图所示，作高线，过作于F， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴； 当作直角边，时，如图所示，作高线，过作于 F， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴， ∴， 当作斜边时，作三角形高，过D作，过A作， ∵，，， ∴，， 由（1）得，， ∴，， ∵，， ， ∴，， ∴，， ∴ ∴，， ∴， 综上所述：的面积是9，或． 17．（23-24八年级上·全国·课堂例题）三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等三角形所需角的相等条件，利用全等三角形解决问题． (1)已知：如图，在中，，直线经过点直线直线，垂足分别为．求证：．    (2)如图，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    (3)如图，将（1）中的条件改为：三点都在直线上，且有，其中为任意锐角．那么结论是否仍成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．    【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)不成立，见解析 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、全等三角形综合问题 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，即可得结论； （3）证明，由全等三角形的性质得出，，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：直线直线， ． ． ， ． ． 在和中， ． ． （2）成立． 证明：， 在和中， ． ． ． （3）不成立． 理由：， ． ， ． 在和中， ． ． ． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质的综合应用，证明是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$