专题04 与三角形有关的线和角的四种考法（压轴题专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题04 与三角形有关的线和角的四种考法 目录 1 类型一、根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式 1 类型二、复合二次根式的化简 5 类型三、二次根式中的分母有理化 9 类型四、利用二次根式有关运算比较大小 16 类型五、二次根式中的新定义型探究问题 20 类型六、二次根式中的规律探究问题 24 30 类型一、利用三角形的三边关系化简 核心原则： 利用三角形边长满足 |a-b|<c<a+b（a,b,c>0）的约束条件，将被开方数转化为完全平方式。 例1．已知a，b，c是三角形的三边长，化简. 【答案】 【分析】此题考查了三角形的三边关系的应用、化简绝对值、整式的加减等知识，根据三角形的三边关系化简绝对值，再进行整式加减即可. 【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长， ∴， ∴， ∴ 变式1-1．若，，是的三边，试化简： ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系定理，绝对值的代数意义，不等式的性质．根据三角形三边关系得到，，然后再根据绝对值的代数意义进行化简即可．解题的关键是掌握：三角形的任意两边之和大于第三边． 【详解】解：∵，，是的三边， ∴，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 变式1-2．已知的三边分别为a,b,c． (1)若为整数，求的周长． (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键． （1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可； （2）先根据三角形的三边关系确定、、的正负，再化简绝对值，然后再合并同类项即可解答． 【详解】（1）解：∵， ，即， ∵c为整数， ∴，的周长为． （2）解：的三边长为a，b，c， ， ． 类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题 1. 几何关联：先由已知线段反推三角形基本元素（边/角） 遇中线延长补全（构造平行四边形） 遇角平分线必用比例定理 2. 面积转换：高线问题优先用 建立方程 3. 代数优化 含根式时平方去根号（如中线公式平方后消去根号） 比例型角平分线交叉相乘再开方 4. 整体代换：含参数时利用半周长 整体化简 例2．在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的中线，连接，利用三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵点F为中点， ∴，， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 变式2-1．如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】连接，设，则，根据“，”分别将和的面积用含的代数式表示出来，再根据列方程求出，从而求出的面积，进而根据垂线段最短，结合三角形面积公式，即可求解． 【详解】解：连接． 设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴时，最小，即当是的高时， 故答案为：． 变式2-2．如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点顺次连接成，若的面积是5，则的面积是 ． 【答案】35 【分析】连接，由题意得：，由三角形的中线性质即可得出的面积． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意得， ∴， ∴， 同理， ∴， 故答案为：35． 【点睛】本题考查了三角形的中线性质、三角形的面积；熟记三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分是解题的关键． 变式2-3．如图，是的中线，是的高，，，，． (1)求高的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了三角形的高，中线： （1）根据，即可求解； （2）根据三角形中线的定义可得，再由三角形的面积公式计算，即可． 【详解】（1）解：∵是的高， ． ∴， ∵，，， ∴， 解得：； （2）解：∵是的中线，， ∴， ∴的面积． 类型三、三角形折叠中的角度问题 1. 对称性分析：折叠本质是轴对称，折痕为对称轴。对应点连线被折痕垂直平分，折叠前后角相等。 2.等角标记：标出折叠后重合的角（如∠A折叠后与∠D重合⇒∠A=∠D）。 3.引入方程：设未知角为x，利用三角形内角和、外角定理或邻补角关系列方程。 4.折痕性质：折痕是角平分线或中垂线⇒关联角度平分或垂直关系。 5.特殊图形突破：若折叠形成等腰/等边三角形，直接应用60°、等角对等边等性质。 6.动态角转化：通过折叠路径建立动角与定角的几何联系（如折后两点连线与折痕夹角=原角半值）。 核心口诀：对称定等角，折痕藏平分，方程破变量，特图速求解。 例3．在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识，正确画出图象． 根据题意可得，①如图1，当点落在边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点落在内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点落在上方时，根据折叠性质可得，根据 即可求解；④当时，分别画出图形根据折叠性质和平行线性质求解即可； 【详解】根据题意可得，， ①如图1，当点落在边上时， 根据折叠性质可得， ∴，故①正确； ②如图2，当点落在内部时， 根据折叠性质可得 ∴ ，故②正确； ③如图3，当点落在上方时，； 根据折叠性质可得 ∴ ，故③正确； ④当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∵， ∴， 根据折叠性质可得，， ∴， ∴， ∴； 综上或；故④正确； 故选：D． 变式3-1．在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点C落在直线上的点E处，如果是直角三角形，那么 °． 【答案】或或或 【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，分图1，图2，图3，图4四种情况，根据折叠的性质和三角形内角和定理讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示，当时，则， ∵， ∴； 如图2所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图3所示，当时，则； 如图4所示，当时，则， 由折叠的性质可得， ∴； 综上所述，的度数为或或或； 故答案为：或或或． 变式3-2如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 【答案】54 【分析】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的思想方法，使分析思路更清晰． 设，则，设，由翻折可知，，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：设，则，设， 由翻折可知，，， ，， 由，得， 在中，， ， 解得：， 在中，， 解得： 由得， 在中，， ． 故答案为：54． 变式3-3将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度．    【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得出，进而根据平行线的性质可得，得出，根据折叠得出，进而根据平角的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠 ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵折叠， ∴ 又 ∴ 解得： 故答案为： 类型四、与三角形的外角有关的问题 核心思路：外角定理（外角=不相邻两内角和）结合角度关系方程。 步骤： 标记外角：识别目标外角及其对应两内角，标为∠1=∠A+∠B。 关联内外角：遇多外角时，建立方程组。例：若两外角和为240°，则（∠A+∠B）+(∠A+∠C)=240°，联立∠A+∠B+∠C=180°求解。 动态角转化：动点P引起的外角变化，抓不变量（如定角或和差不变性）。 平行线助攻：遇平行线时，外角=同位角/内错角，简化角度转移。 例4．如图，，直线交于M，交于F，且．若点P为射线上一点，N为射线上一点，平分平分交于，交于T，则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，分点P在线段上和点P在射线上两种情况，画出对应的示意图讨论求解即可． 【详解】解：当点P在线段上时，如图： ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点P在射线上时，如图： ∵平分，平分， ∴，， 设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上：或； 故答案为：或． 变式4-1如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么 ． 【答案】 【分析】本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，平分线的定义等知识，根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知，，…，依此类推可知的度数，即可求解． 【详解】解：∵和的平分线交于点， ∴， ∵， ∴ ； 同理可得，， …， ∴， ∴ 故答案为：． 变式4-2在中，与的平分线相交于点P．        (1)如图1，，，求的度数． (2)如图2，如果，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图3，作的外角的平分线交的延长线于点D． ①试探究，之间的数量关系． ②在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)①；②或或或 【分析】本题考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、角平分线的定义等知识，利用数形结合和分类讨论求解是解答的关键． （1）利用三角形内角和求出，再根据角平分线求出和，最后再利用三角形内角和求解； （2）同（1）中方法计算即可； （3）①根据角平分线的定义得到，，利用外角的性质可得，再结合即可证明； ②分四种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：在中， ，， ． ∵P是和的平分线的交点， ， （2）解：， ， ∵P是和的平分线的交点， ， ， ． （3）①∵是的外角的平分线， ． ∵平分， ． ， ， 即． ， ， 即． ②的度数是或或或． 由图得 ． 在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，可分为四种情况： （Ⅰ）， 则，； （Ⅱ）， 则，，； （Ⅲ），又 则，； （Ⅳ），又， 则，． 综上所述，的度数是或或或． 变式4-3如图，在中，点D是上的一点，点E是上的一点，相交于一点F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，若为的中线．求的值； (3)如图2，若是的角平分线． P、Q分别是线段上的点，射线分别与直线交于点M，与的平分线所在的直线相交于点H (不与点P重合)，设． 当时，请自行补全图形， 求出之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形中线的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得的度数，进而可得的度数； （2）连接，根据，可得 ，设，，则，由三角形中线的性质得到，则，即可得到，解方程即可得到答案； （3）设，由三角形内角和定理和角平分线的定义可得，再分点P在点E下方和点P在点E上方，两种情况画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴ ， 设，， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在点E下方时， ∵， ∴，， ∵的平分线所在的直线与射线交于H， ∴， ∴ ， ∴， 即； 如图所示，当点P在点E上方时， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 即； 综上所述，或． 一、单选题 1．如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（   ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了余角性质，三角形的角平分线和高，三角形外角的性质，根据等角的余角相等可证明结论①；根据角平分线的定义可证明结论②；证明，再结合①的结论可证明结论③；证明，再由，，可以证明结论④，正确识图是解题的关键． 【详解】解：如图，设交于点， ①∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ②∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由①得，， ∴，故③正确； ④∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的序号是①②③④， 故选：． 二、填空题 2．在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为，则 ． 【答案】 或 【分析】由图可得到的周长的周长，即可求解； 分两种情况：四边形的周长的周长和的周长四边形的周长解答即可； 本题考查了三角形中线性质，三角形周长的计算，根据题意，画出图形，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵是的中点， ∴， ∴的周长的周长， 故答案为：； 如图，设，则， 当四边形的周长的周长时， 即， 整理得，， ∴， 解得； 当的周长四边形的周长时， 即， 整理得， ∴， 解得； ∴或， 故答案为：或． 3．如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则 ． 【答案】 【分析】连接ED，由是的中线，得到，，由，得到，设，由面积的等量关系解得，最后根据等高三角形的性质解得，据此解题即可． 【详解】解：连接ED 是的中线， ， 设， 与是等高三角形， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的中线、三角形的面积等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 4．如图，的面积为，点分别位于上．且．若，则的面积是 ；的面积是 ． 【答案】 8 【分析】本题考查同高三角形，平行线间的距离，连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出，，再根据平行等积转化，得到，，进行求解即可． 【详解】解：连接， 则：，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 同理：； 故答案为：8，． 5．如图，在中，过点A作于点H，，，点D是边上靠近点C的三等分点，连接，在上取中点F，连接并延长交于点E，取中点G，连接，则△的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，中线等分面积，熟练掌握共高三角形面积比等于底之比是解题的关键． 连接，由三角形中线等分面积，设，，由点D是边上靠近点C的三等分点，得到，则，,那么，解得，，再求出的面积即可． 【详解】解：连接， ∵点为中点， ∴，， 设，， ∵点D是边上靠近点C的三等分点， ∴， ∵， ∴， ∴，, ∴， 解得：， ∴， ∵于点H，，， ∴， ∴ ∵中点G， ∴， 故答案为：． 6．如图，对逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，若，则 ．（结果用含a的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积，解题的关键是理解同高的两个三角形的面积之比等于底边之比．连接，，，找出延长各边后得到的三角形与原三角形面积的倍数规律，然后利用规律求延长第次后的面积． 【详解】解：连接，， 设， ， 中边上的高，与中边上的高相同 ， ，中边上的高，与中边上的高相同 ， 同理可得，， 所以； 同理得； ， ， ， ， ∵， ∴，解得． 故答案为：． 三、解答题 7．如图，长方形纸带中，分别是边上的点，（且），将纸带沿折叠，与交于点，再沿折叠．求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】的度数为或 【分析】本题主要考查了列代数式，轴对称的性质及平行线的性质，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．分两种情况，依据两次折叠后角的和差关系，即可得到求的大小． 【详解】解：分以下两种情况讨论： ①当时，如图， 由折叠，得， 所以， 由题意，得， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以； ②当时，如图， 同理可得， 所以． 综上所述，的度数为或． 8．综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （2）连接，证明，结合，，再利用角的和差关系可得答案； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点，则对折后与重合，由（2）的结论可得：，可得，再利用三角形的内角和定理可得答案． 【详解】（1）解：结论：， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ． （2）， 理由：连接， 沿折叠和重合， ， ，， ； （3）如图，延长，交于点，延长，交于点， 则对折后与重合， 由（2）的结论可得：，而，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查三角形综合，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，轴对称的性质，熟记轴对称的性质并进行解题是关键． 9．如图，在中，点D在延长线上，过点C向上作射线，使得． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E在边上，点F在射线上，，，求的度数； (3)点G在边上，点H，N在射线上，连接，，的平分线所在的直线与的平分线相交于点P． ①如图3，当的反向延长线与的平分线交于点P时，猜想与之间的数量关系，并加以证明； ②如图4，当与的平分线交于点P时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①猜想：，见解析；② 【分析】（1）由内错角相等可得结论； （2）先证明，可得，可得，结合，可得答案； （3）①如图，过G作交于点R，延长交于点K，设，可得，设，可得，证明，，可得，即； ②设，可得，设，可得，过作，而，求解，作，同理可得：，，从而可得结论. 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ，， ， ，， ， ， ， ， ； （3）解：①猜想：， 证明：如图，过G作交于点R，延长交于点K， ， ， 平分， 设， ， 平分， 设， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即； ②，理如下： 设， ， 设， ， 过作，而， ∴，， ∴， 作， 同理可得：，， ∴； 【点睛】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，角的和差运算，三角形的外角的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键. 10．几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)如图①，和 是的两个外角，求、与的关系； (2)如图②，、分别平分四边形的外角、．已知 ，求的度数； (3)如图③，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若 ．请直接写出 的度数用含、的代数式表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，三角形内角和定理，折叠的性质； （1）根据三角形的外角的性质，即可得证； （2）延长，交于点，根据折叠的性质以及角平分线的定义得出，即可求解； （3）由（2）可知：，设，，根据，得出，根据折叠的性质以及三角形内角和定理得出，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， ，，， ， ； （2）延长，交于点，如图②所示： 由（1）可知：，， 则 ，， ， 、分别平分、， ， ； （3）由（2）可知：， ∵． ， 设，， ∵ ， ，， ，，， ∴， ， ， 又∵将沿翻折至， ∴ ． 11．已知，，点A、B分别在、上，点C在两直线之间，连接、． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若的角平分线交于点M，点D是延长线上一点，连接，若，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，连接，，平分，，，线段绕点G以4°每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当射线与或平行时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角形外角的性质，角平分线定义，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）过点C作，根据平行线的性质得出，，然后求出结果即可； （2）根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据推理得出即可； （3）分两种情况讨论：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：过点C作，如图所示： ， ∴， ∴，， ∴． （2）解：；理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， 根据解析（1）可知： ． （3）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 根据解析（1）可知：， 当时，过点B作，如图所示： 则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时； 当时，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ； 综上分析可知：或． 12．如图，，点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，． (1)求的值： (2)如图2，直线交、的角平分线分别于点M、N，求的值： (3)如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点M、N，若，则n的值是 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点O作，根据平行线的性质可得，，从而可得，再根据，可得，即可求解； （2）过点M作，过点N作，由角平分线的定义可设，，由，求得，进而求解即可； （3）设直线与交于点H，与交于点K，根据平行线的性质和三角形外角的性质可得，从而可得，再结合题意可得，即可得出关于n的方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：过点O作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点M作，过点N作， ∵平分，平分， 设，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴ ； （3）解：如图，设直线与交于点H，与交于点K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵，在内，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得，． 【点睛】本题考查平行线的性质、角平分线的定义和性质、三角形外角的性质，灵活运用平行线的性质是解题的关键． 13．如图，四边形是长方形，其中，，，并且是线段的中点，是线段的中点，求四边形的面积． 【答案】． 【分析】本题主要考查了长方形的面积公式、三角形中线的性质，三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，根据三角形的面积公式可得：，，根据点是的中点，可得：，，从而可求，所以，根据三角形面积公式可得：，又因为点是的中点，所以可得：，用四边形的面积减去的面积即为四边形的面积. 【详解】解：，， ， 四边形是长方形， ，，， ， 如下图所示，连接， 则， 点是的中点， ， ， ， 如下图所示，连接，过点作，则， 则， 点是线段的中点， ， ， ， ， ， 点是线段的中点， ， ． 四边形的面积是． 14．我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    【阅读材料】（1）如图2，在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E．使，连结，利用全等将边转化到，在△中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，则中线的取值范围是______； 【问题探索】（2）如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，请仿照上面材料中的方法，探索图1中与的数量关系，并给予证明； 【拓展运用】（3）如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，若，，试求解的取值范围． 【答案】（1），（2）；（3） 【分析】（1）先证明可得，再结合三角形的三边关系可得答案； （2）延长至点E使，连接，证明，可得，，求出，再证，根据全等三角形的性质可得结论； （3）作于H，作交延长线于F，求出，证明，可得，同理证明，可得，求出，可证，根据全等三角形的性质可得，然后可得是的“旋补中线”，从而可得范围． 【详解】解：（1）∵是中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，而， ∴，，， 由三角形三边关系可得：，即， ∴， （2）；理由如下： 如图1，延长至点E使，连接，    ∵是的“旋补中线”， ∴是的中线，即， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵是的“旋补中线”， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）如图，作于H，作交延长线于F，    ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的中线， ∵，， 结合（1）的结论可得：，即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、同角的余角相等，旋转的性质，三角形的中线的含义与取值范围的确定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 15．【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 【答案】（）①；②；③；（） 【分析】（）①把已知代入等式计算即可求解；②连接，列式解答即可；③作，，由列式解答即可； （）作点关于直线的对称点，可得，即得，过作于，过作的延长线于，利用三角形面积可求得，，进而由当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长即可求解； 本题考查了三角形高，垂线段最短，轴对称的性质，熟练掌握等面积法求线段的长是解题的关键． 【详解】解：（）①∵，， ∴， ∴； ②连接， ∵， ∴， 即， ∴； ③猜想：，理由如下： 如图，作，， ∵， ∴， 即， ∴； （）作点关于直线的对称点， 则， ∴， ∵点在延长线上， ∴点共线， ∴， ∴， 过作于，过作的延长线于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当共线，且时，的值最小，最小值为垂线段的长，即为． 16．如图，在中，，，，点是边的中点，，点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒2个单位长度．连结．设点运动的时间为（）． (1)直接写出的面积为_______． (2)用含的代数式表示的长． (3)当时，求的值． (4)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，三角形的面积，数形结合是解题的关键； （1）根据三角形的面积公式即可求解； （2）分在上，分别表示出的长，即可求解； （3）根据 ，则在上，代入（2）的式子，即可求解； （4）根据得出，进而分在上，分别列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 故答案为：． （2）∵，点是边的中点， ∴， ∵点速度为每秒2个单位长度， 当时，在上，， 当时，在上，， ∴； （3）解：∵， ∴ ，则在上， ∴， 解得：； （4）解：∵，点是边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 当在上时，， 解得：， ∴， 当在上时，∵，， ∴， ∴， ∴， 解得：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 与三角形有关的线和角的四种考法 目录 1 类型一、利用三角形的三边关系化简 1 类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题 2 类型三、三角形折叠中的角度问题 3 类型四、与三角形的外角有关的问题 4 6 类型一、利用三角形的三边关系化简 核心原则： 利用三角形边长满足 |a-b|<c<a+b（a,b,c>0）的约束条件，将被开方数转化为完全平方式。 例1．已知a，b，c是三角形的三边长，化简. 变式1-1．若，，是的三边，试化简： ． 变式1-2．已知的三边分别为a,b,c． (1)若为整数，求的周长． (2)化简：． 类型二、与三角形的高线、中线、角平分线有关的计算问题 1. 几何关联：先由已知线段反推三角形基本元素（边/角） 遇中线延长补全（构造平行四边形） 遇角平分线必用比例定理 2. 面积转换：高线问题优先用 建立方程 3. 代数优化 含根式时平方去根号（如中线公式平方后消去根号） 比例型角平分线交叉相乘再开方 4. 整体代换：含参数时利用半周长 整体化简 例2．在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则 ． 变式2-1．如图，在中，，点，分别是，上的点，且，，连接，交于点，当四边形的面积为时，边长度的最小值为 ． 变式2-2．如图，把的三边、和分别向外延长一倍，将得到的点顺次连接成，若的面积是5，则的面积是 ． 变式2-3．如图，是的中线，是的高，，，，． (1)求高的长； (2)求的面积． 类型三、三角形折叠中的角度问题 1. 对称性分析：折叠本质是轴对称，折痕为对称轴。对应点连线被折痕垂直平分，折叠前后角相等。 2.等角标记：标出折叠后重合的角（如∠A折叠后与∠D重合⇒∠A=∠D）。 3.引入方程：设未知角为x，利用三角形内角和、外角定理或邻补角关系列方程。 4.折痕性质：折痕是角平分线或中垂线⇒关联角度平分或垂直关系。 5.特殊图形突破：若折叠形成等腰/等边三角形，直接应用60°、等角对等边等性质。 6.动态角转化：通过折叠路径建立动角与定角的几何联系（如折后两点连线与折痕夹角=原角半值）。 核心口诀：对称定等角，折痕藏平分，方程破变量，特图速求解。 例3．在三角形纸片中，，点D为边上靠近点C处一定点，点E为边上一动点，沿折叠三角形纸片，点C落在点处，①如图1，当点落在边上时，；②如图2，当点落在内部时，；③如图3，当点落在上方时，；④当时，或，以上结论正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 变式3-1．在中，，点D是边上一点，将沿直线翻折，使点C落在直线上的点E处，如果是直角三角形，那么 °． 变式3-2如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 变式3-3将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度．    类型四、与三角形的外角有关的问题 核心思路：外角定理（外角=不相邻两内角和）结合角度关系方程。 步骤： 标记外角：识别目标外角及其对应两内角，标为∠1=∠A+∠B。 关联内外角：遇多外角时，建立方程组。例：若两外角和为240°，则（∠A+∠B）+(∠A+∠C)=240°，联立∠A+∠B+∠C=180°求解。 动态角转化：动点P引起的外角变化，抓不变量（如定角或和差不变性）。 平行线助攻：遇平行线时，外角=同位角/内错角，简化角度转移。 例4．如图，，直线交于M，交于F，且．若点P为射线上一点，N为射线上一点，平分平分交于，交于T，则的度数为 ． 变式4-1如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么 ． 变式4-2在中，与的平分线相交于点P．        (1)如图1，，，求的度数． (2)如图2，如果，求的度数（用含的代数式表示）． (3)如图3，作的外角的平分线交的延长线于点D． ①试探究，之间的数量关系． ②在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，直接写出的度数． 变式4-3如图，在中，点D是上的一点，点E是上的一点，相交于一点F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，若为的中线．求的值； (3)如图2，若是的角平分线． P、Q分别是线段上的点，射线分别与直线交于点M，与的平分线所在的直线相交于点H (不与点P重合)，设． 当时，请自行补全图形， 求出之间的数量关系． 一、单选题 1．如图，在分别是高和角平分线，点在的延长线上，交于，交于，下列结论：①；②；③；④，正确的序号是（   ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 二、填空题 2．在中，是的中点，，．用剪刀从点入手进行裁剪，若沿剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点在上，沿剪开得到两部分周长差为，则 ． 3．如图，是的中线，点F在上，延长交于点D．若，则 ． 4．如图，的面积为，点分别位于上．且．若，则的面积是 ；的面积是 ． 5．如图，在中，过点A作于点H，，，点D是边上靠近点C的三等分点，连接，在上取中点F，连接并延长交于点E，取中点G，连接，则△的面积为 ． 6．如图，对逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长、、至点、、，使得，，，顺次连接、、，得到，，记其面积为；第二次操作，分别延长、、至点、、，使得，，顺次连接、、，得到，记其面积为；…；按此规律继续下去，可得到，若，则 ．（结果用含a的代数式表示） 三、解答题 7．如图，长方形纸带中，分别是边上的点，（且），将纸带沿折叠，与交于点，再沿折叠．求的度数（用含的代数式表示）． 8．综合与实践 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“折叠”为主题开展数学活动． (1)观察发现：如图1，将纸片沿折叠，使点落在四边形内点的位置．则、、之间的数量关系为：______； (2)探究迁移：如图2，若将（1）中“点落在四边形内点的位置”变为“点落在四边形外点的位置”，其他条件不变．请写出、、之间的数量关系，并说明理由； (3)拓展应用：如图3，四边形纸片，，与不平行，将四边形纸片沿折叠成图3的形状，点落在点处，点落在点处，若，，请直接写出的度数 9．如图，在中，点D在延长线上，过点C向上作射线，使得． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E在边上，点F在射线上，，，求的度数； (3)点G在边上，点H，N在射线上，连接，，的平分线所在的直线与的平分线相交于点P． ①如图3，当的反向延长线与的平分线交于点P时，猜想与之间的数量关系，并加以证明； ②如图4，当与的平分线交于点P时，直接写出与之间的数量关系． 10．几何图形千变万化，但是不同的图形之间往往存在联系，下面让我们一起来探索： (1)如图①，和 是的两个外角，求、与的关系； (2)如图②，、分别平分四边形的外角、．已知 ，求的度数； (3)如图③，已知五边形，延长至，延长至，连接，点、分别在边、上，将沿翻折至，若 ．请直接写出 的度数用含、的代数式表示． 11．已知，，点A、B分别在、上，点C在两直线之间，连接、． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若的角平分线交于点M，点D是延长线上一点，连接，若，写出和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，连接，，平分，，，线段绕点G以4°每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为t秒，当射线与或平行时，请直接写出t的值． 12．如图，，点E、F分别在直线、上，点O在直线、之间，． (1)求的值： (2)如图2，直线交、的角平分线分别于点M、N，求的值： (3)如图3，在内，，在内，．直线交、分别于点M、N，若，则n的值是 13．如图，四边形是长方形，其中，，，并且是线段的中点，是线段的中点，求四边形的面积． 14．我们定义：如图1，在中，把绕点A顺时针旋转得到，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．    【阅读材料】（1）如图2，在中，若，．求边上的中线的取值范围．是这样思考的：延长至E．使，连结，利用全等将边转化到，在△中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围，则中线的取值范围是______； 【问题探索】（2）如图1，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”，请仿照上面材料中的方法，探索图1中与的数量关系，并给予证明； 【拓展运用】（3）如图3，当时，是的“旋补三角形”，，垂足为点E，的反向延长线交于点D，若，，试求解的取值范围． 15．【知识回顾】 “等面积法”是解决三角形相关线段长度的常用方法，在中，，作，可列式：． 【解决问题】 （）当时． ①如图，求的长； ②如图，点为上一点，作，设，求：的值； ③如图，当点在延长线上时，作，设，猜想之间又有什么样的数量关系，请说明你的猜想； 【拓展应用】 （）如图，在中，，，，若点是延长线上一点，且，过点作，点是直线上一动点，点是直线上一动点，连接，求的最小值． 16．如图，在中，，，，点是边的中点，，点从点出发，沿折线向终点运动，速度为每秒2个单位长度．连结．设点运动的时间为（）． (1)直接写出的面积为_______． (2)用含的代数式表示的长． (3)当时，求的值． (4)当时，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$