4.2 整式的加法与减法-【教材笔记】2025-2026学年新教材七年级上册数学课前预习笔记（人教版2024）

4.2整式的加法与减法 资 新知解读 数能进行加减运算，整式中的每个字母都表示数，这样，整式与数一样，也 可以进行加减运算 我们来看本章引言中的问题(2). 汽车从香港口岸到西人工岛包含两段路程，一段为香港口岸到东人工岛， 一段为海底隧道.如果汽车通过海底隧道需要ah,那么从香港口岸到东人工岛 所需时间是1.25ah,香港口岸到西人工岛的全长（单位：km)是 72a+96×1.25a, 即 72a+120a. 如何计算72a+120a呢？下面我们类比数的运算，讨论整式72a,120a的加 法运算。 @探究 )分配律：(a+b)×c-a×c+b×c (1)运用运算律计算： 72×2+120×2= 72×(-2)+120×(-2)= (2)根据（1)中的方法完成下面的运算，并说明其中的道理： 72a+120a= 在(1)中，根据分配律可得 72×2+120×2=(72+120)×2=192×2, 72×(-2)+120×(-2)=(72+120)×(-2)=192×(-2). 在(2)中，多项式72a+120a表示72a与120a两项的和，它与（1)中的式子 72×2+120×2 和 72×(-2)+120×(-2) 有相同的结构，并且字母α代表的是一个乘数，因此根据分配律也有 72a+120a=(72+120)a=192a )从裁字到宇母，体现从特殊到一般的鬟学思想 第四章整式的加减 95 Q探究 填空 (1)72a-120a=( )a; (2）3m2+2m2=( )m2; (3）3y2-42=( 2. 上述运算有什么共同特点？你能从中得出什么规律？ 对于上面的(1)(2)(3)，利用分配律可得 72a-120a=(72-120)a=-48a; 3m2+2m2=(3+2)m2=5m2; 3y2-4xy2=(3-4)xy2=-xy2. 观察（1)中的多项式的项72a和-l20a,它们含有相同的字母a,并且a的 指数都是1；（2)中的多项式的项3m2和2m2,含有相同的字母m,并且m的指 数都是2；（3)中的多项式的项3xy2与-4灯y2,都含有字母x,y,并且x的指数都 是1，y的指数都是2.像72a与-120a,3m2与2m2,3y2与-4y2这样，所含字母相 同，并且相同字母的指数也相同的项叫作同类项.几个常数项也是同类项 因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以利用交换律、结合律、分 配律把多项式中的同类项进行合并.例如， 注意π是常数项 4x2+2x+7+3x-8x2-2 同类项至少是两项 (交换律) 通常我们把一个多 =4x2-8x2+2x+3x+7-2 项式的各项按照某个字 =(4x2-8x2)+(2x+3x)+(7-2) (结合律) 母的指数从大到小（降 =(4-8)x2+(2+3)x+(7-2) (分配律) 暴)或者从小到大（升 =-4x2+5x+5. 暴)的顺序排列： 把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项，)依据是逆用分配律 合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，字母连同它的 指数不变 》系装包含前面的将号 例合并下列各式的同类项： (1)g2-写： (2）4a2+3b2+2ab-4a2-4b2 解：（1)y2-写w2=-y2=等g: 96 教材笔记数学七年级上册 (2)4a2+3b2+2ab-4a2-4b2 =(4a2-4a2)+(3b2-4b2)+2ab-→没有同类项的项仍然作为多项式 习的项。在每一步的运算及结果中 =(4-4)a2+(3-4)b2+2ab 都要写出来，千万不要遗漏 =-b2+2ab. 例2(1)求多项式2r2-5x+x2+4x-3x2-2的值，其中x= (2)求多项式3a+ac写-3如+写c的值，其种a=石b=2,c=-3. 分析：在求多项式的值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再求值， 这样做往往可以简化计算· -》求多项式的值的一般方法 解：（1)2x2-5x+x2+4x-3x2-2 =(2+1-3)x2+(-5+4)x-2 =-x-2. 当=时，原式分2= 2 2 请你把字母的值直 接代入原式求值.与例2 (2)3a+abc-号c2-3a+ 的运算过程比较，哪种 3 方法更简便？ =(3-3)a+abc+ (-3+3)e abc. 当a=- 石6=2，c=-3时，原式-（k2x(-3)=1. 例3(1)水库水位第一天连续下降了ah,平均每小时下降2cm；第二天 连续上升了ah,平均每小时上升0.5cm.这两天水位总的变化情况如何？ (2)某商店原有5袋大米，每袋大米为xkg.上午售出3袋，下午又购进同 样包装的大米4袋.进货后这个商店有大米多少千克？ 解：(1)把下降的水位变化量记为负，上升的水位变化量记为正，则第一 天水位的变化量是-2acm,第二天水位的变化量是0.5acm.由y用正，负数表示具 有相反意义的量 -2a+0.5a=(-2+0.5)a=-1.5a 可知，这两天水位总的变化情况为下降了1.5acm. 第四章整式的加减 9> (2)把进货的数量记为正，售出的数量记为负，则上午大米质量的变化量是 -3xkg,下午大米质量的变化量是4xkg.由 5x-3x+4x=(5-3+4)x=6x 可知，进货后这个商店有大米6xkg 练习 1.合并下列各式的同类项： （1)5x+4x;9x. 2号+2：3)-7ab+: -9.5y2 (4)10y2-0.5y2;(5)mn2+3mn2;4mn （6)-3x2y+3y2+2x2y-2y2.-xy+7 2.先化简，再求值： (1)3a+2b-5a-b,其中a=-2,b=1;5 (2)3x-4x2+7-3x+2x2+1,其中x=-3.-10. R 3如图，大圆的半径是R,小圆的面积是大圆面积的。，求 阴影部分的面积. (第3题) 与数的运算一样，进行整式的运算时也会遇到去括号的问题. 我们来看本章引言中的问题(3). 汽车通过主桥的行驶时间是bh,那么汽车在主桥上行驶的路程是92bkm；通 过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少0.15h,那么汽车在海底隧道行驶的时 间是(b-0.15)h,行驶的路程是72(b-0.15)km.因此，主桥与海底隧道长度 的和（单位：km)为 一)应用分配律为72b+72×(-0.15) 92b+72(b-0.15), ① 主桥与海底隧道长度的差（单位：km)为 92b-72(b-0.15). ② 上面的代数式①②都带有括号，应如何化简它们？ 由于字母表示的是数，所以可以利用分配律，将括号前的乘数与括号内的各 项相乘，去掉括号，再合并同类项，得 98 教材笔记数学七年级上册 92b+72(b-0.15)=92b+72b-10.8=164b-10.8， 92b-72(b-0.15)=92b-72b+10.8=20b+10.8. 一般地，一个数与一个多项式相乘，需要去括号，去括号就是用括号外的数 乘括号内的每一项，再把所得的积相加. 特别地， +(x-3) 与-(x-3)可以看作1与-1分别乘 (x-\right. -3) \left.{}). .利用分配律， 可以将式子中的括号去掉，得 +(x-3)=x-3，-(x-3)=-x+3. 这也符合上面的去括号的方法. 利用去括号，可以对整式进行化简. ，含有括号的整式化简，先去 例4化简： 括号，再合并同类项 (1)8a+2b+(5a-b)； (2) (4y-5)-3(1-2y) 解：(1)8a+2b+(5a-b) =8a+2b+5a-b =13a+b； 为什么 -3×(-2y)=6y? (2)(4y-5)-3(1-2y) =4y-5-3+6y =10y-8. 例5两船从同一港口同时出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静 水中的速度都是 5 50km/h， 水流速度是a km/h. 顺水(顺风)速度=原速度+ (1)2h后两船相距多远? 水流(风)速度： 逆水(逆风)速度=原速度- (2)2h后甲船比乙船多航行多少千米? 水流(风)速度 解：顺水航速=静水航速+水流速度=(50+a) km/h， 逆水航速=静水航速-水流速度=(50-a) km/h. (1)由 2(50+a)+2(50-a)=100+2a+100-2a =200 可知，2h后两船相距200 km. (2)由 2(50+a)-2(50-a)=100+2a-100+2a =4a 可知， 2h后甲船比乙船多航行4a km. 第四章整式的加减 99 练习 1.下列去括号的过程是否正确？如果错误，请改正 (1)d2-(2a-b+c)=ad2-2a-b+c;(1)借误.d2-(2a-b+c)=2-2a+b-e, (2)-(c-y)+6y-1)=-x-y+y-1.(2)借溪6-yH(-1)=4+1 2.去括号： (1)a+b-c. (1)a+(b-c); (2)a-(-b+c); (2）a+b-c. (3)(a-b)+(c+d; (4)-(a+b)-(-c+d0. (3)a-b+c+d. 3.化简： (4)-a-b+c-d (1)12x-0.5); (2)--写 (1)12x-6. (2)-5+x (3)-5a+5. (3)-5a+3a-2-3a-7);(4)39y-3)+2y+0{454 4.某地居民的生活用水收费标准为：每月用水量不超过15m3,每立方米a元； 超过部分每立方米(a+2)元.若该地区某家庭上月用水量为20m3,则应 缴水费多少元？ 应缴水费(20a+10)元 合并同类项和去括号是进行整式加减运算的基础，利用它们就可以进行整式 的加减运算。 例6计算： )两个多项式的和与差《 (1)(2x-3y)+(5x+4y): (2) (8a-7b)-(4a-5b). 解：(1)(2x-3y)+(5x+4y) (2）(8a-7b)-(4a-5b) =2x-3y+5x+4y =8a-7b-4a+5b =7x+y; =4a-2b. 例7做大、小两个长方体纸盒，尺寸如表4.2-1所示. 表4.2-1长方体纸盒的尺寸 类型 长/cm 宽/cm 高/cm 小纸盒 a b 大纸盒 1.5a 2b 2c (1)做这两个纸盒共用纸多少平方厘米？ (2)做大纸盒比做小纸盒多用纸多少平方厘米？ 解：小纸盒的表面积是(2ab+2bc+2ca)cm2, 100 教材笔记数学七年级上册 大纸盒的表面积是(6ab+8bc+6ca)cm2. (1)由 (2ab+2bc+2ca)+(6ab+8bc+6ca) 2ab+2bc+2ca+6ab+8bc+6ca 8ab+10bc+8ca 可知，做这两个纸盒共用纸(8ab+10bc+8ca)cm2. (2)由 (6ab+8bc+6ca)-(2ab+2bc+2ca) =6ab+8bc+6ca-2ab-2bc-2ca =4ab+6bc+4ca 可知，做大纸盒比做小纸盒多用纸(4ab+6bc+4ca)cm2. 整式的加减实质就是去括号、 通过上面的学习，我们得到整式加减的运算法则： 合并同类项 几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项 求号x2-号)（号+了y)的值，其中x=2y 3 解：3x-2xr3x+写) 0 先将式子化简， 再代入数值进行计算 =-3x+y2 往往比较简便 当x=-2,y=2时， 3 )代入的数值为负数时要用括号括起来 原式(-x-2+》 =6+4=64 99 练习 )乘方运算时需加括号 1.计算： (1)-写b-4a2+3a-号ojb- (2)x3-(6x2-x+1)-2x23-x2-1)-1;-x2+x2+x (3)5a-2(a-勋-12a+3-2c+20.言a+16 第四章整式的加减 101 2求2-5四32-21-2四力的值，共中x=)y=号昌 3.笔记本的单价是x元，中性笔的单价是y元，王芳买了3本笔记本，2支中 性笔；李明买了4本笔记本，3支中性笔，买这些笔记本和中性笔，王芳和 李明一共花费多少元？(7x+5y)元 习题4.2 1.(1)-8.3x 复习巩固 (2)-3x (3)-4b 1.合并同类项： (4)-5m+n2 (1)2x-10.3x; (2)3x-x-5x; 2.(1)8x-1. (3)-b+0.6b-3.6b; (4)m-n2-6m+2n2. (2)-3+3x 2.化简： (3)-9. (1)2(4x-0.5); (2)-3(1-x); (4)a+5a. (3)-x+2(2x-2)-(3x+5); 3.(1）-a+4b+9c (4)3a2+a2-(2a2-2a)+(3a-a2). (2）-2x2+2y2 3.计算： (3)13--3 (1)(5a+4c+7b)+(5c-3b-6a); 3 (2)(8xy-x2+y)-(x2-y2+8xy); (4)5x2-3x-3 4.原式=-10ab2,当 (3)兮r-1*3-4x-+》月 (4)3x2-[7x-(4x-3)-2x2]. a=1,b=--时 4.先化简，再求值： 原式=-2.5. 4(3a2b-ab2)-2(3ab2-a2b)-14a2b, 5.地海拔为(0h+20)m 两她海拔为(h-30)m 其中a=1,b=-, 乙地与丙地的海拔差 为(h+20)-(h-30)= 5.甲地的海拔是hm,乙地比甲地高20m,丙地比甲 50m. 地低30m.列式表示乙、丙两地的海拔，并计算 乙地与丙地的海拔差. 6.原式=5a3-a2+3a 综合运用 3a3+a2-a-2a3-2a+ 6.在学习了整式的加减后，老师给出一道课堂练习题： 2035=2035.,无论a 取何值，这个整式的值 选择a的一个值，求5a3-(a2-3a+3a)+(ad2-a 赫是2035，所以这三 2a)-2a+2035的值 位同学的流法都正确。 102 教材笔记数学七年级上册 甲说：“当a=0时，原式=2035.” 乙说：“当a=1时，原式=2035.” 丙说：“当a为任何一个有理数时，原式=2035.” 这三位同学的说法是否正确？请说明理由 7.（1)第二拳边的长为 7.已知三角形的第一条边的长为3a+2b(a>0,b>0), (3a+2b)-2a=a+2b,第 三条边的长为2(a+2b)川 第二条边比第一条边短2a,第三条边比第二条边的 (a-b)=3a+3b 长的2倍还长a-b. (2)周长为(3a+2b)+ (a+2b)+3a+3b)=7a+7b. (1)求第二条边和第三条边的长； (2)求这个三角形的周长 8.窗户的形状如图所示（图中长度单 8.(1)a+4a2= 位：cm),其上部是半圆形，下部 2 是边长相同的四个小正方形.已知 下部小正方形的边长是acm,计算： 元+8a2(cm 2 (2)πa+2a×3= (1)窗户的面积； (πa+6a)cm. (2)窗户的外框的总长。 9.一种商品每件进价为a元，商家原 (第8题) 9.原售价为a+20%a 来在进价的基础上增加20%定为售价，每件商品 1.2a(元)：现售价 为1.2a×90%= 的售价为多少元？现在由于库存积压，商家按原售 1.08a(元)：盈利 价的90%出售，现售价为多少元？每件还能盈利多 为1.08a-a=0.08a元). 少元？ 10.当n=2时 拓广探索 S=3=3×(2-1): 当=3时 10.如图，一些点组成形如三角形的图形.如果图形 S=6=3×(3-1): 的每条“边”上有n(n>1)个点（包括两个顶点）， 当=4时 S-9=3×(4-1) 那么这个图形中点的总数S是多少？当n=5,7,11 所以5=3(n-1) 时，S各是多少？ 当=5时 S=3×(5-1)=12 当=7时 。0t++ S=3×(7-1)=18 ●●● 当n=11时， =2 =3 =4 =5 S=3×(11-1=30 (第10题) 11.10个棱长为acm的正方体摆放成如 11.这个图形的表面积 图的形状，这个图形的表面积是多 是36acm 少平方厘米？ (第11题) 第四章 整式的加减 103 ★信息技术应用上 用电子表格进行数据计算 电子表格软件是常用的办公软件，电子表格通常由一些行和列组成，行 和列相交的部分叫作单元格，单元格是电子表格的基本元素，是进行整体操 作的最小单位.如果行号用数字1,2,3，…表示，列号用字母A,B,C,… 表示，那么单元格就可以用列号和行号表示，例如，A2表示A列第2行，列 号在前，行号在后， 利用电子表格可以进行数据计算。 例如，如图1，在单元格A1,A2,A3,A4,A5,A6中分别输入163， 223,516,87,198,379,选中这六个单元格，底部状态栏就会显示它们的 和1566与平均值261.这里的求和（或平均值）就是求当a1=163,a2=223, a=516,a4=87,a5=198,a6=379时，多项式a1+a2+43+a4+a5+a(或 a+a2+a3+a+a+a6)的值. 6 D A B D 16 163 235 53843 22 172 347 60209 51日 3 4 7 5 19 5 379 6 平地慎161计数：6求和15场■ 图1 图2 又如，如图2，计算当x=163,y=235时多项式2x2+3y的值，可以在电 子表格的单元格A1和B1中输入163和235（即x和y的值)，然后在C1中 输入“=A12*2+B1*3”(“”表示乘方，“*”表示乘号)，电子表格软件就 会算出2x2+3y的值53843，并自动填入C1.类似地，可以计算出当x=172, y=347时，多项式2x2+3y的值是60209. 电子表格操作简单、功能强大，可以有效地进行数据计算和数据处理， 在复杂的统计问题中，电子表格的作用可以得到充分的发挥· 104 教材笔记数学七年级上册