第13讲 可化为一元二次方程的分式方程（知识点+5大核心考点+过关测）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第13讲 可化为一元二次方程的分式方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根． 【题型1 分式方程的概念】 【例1】已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 【变式】在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（ ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【题型2分式方程的解法】 【例2-1】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为 ． 【例2-2】（24-25八年级下·上海崇明·期末）解方程：． 【变式2-1】（24-25八年级下·上海青浦·期末）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ． 【变式2-2】（24-25八年级下·上海·期中）解方程： 【变式2-3】（2025·上海·中考真题）解方程：． 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 【例3】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知分式方程只有一个实数解，求的值和对应方程的解． 【变式3-1】（2023下·上海普陀·八年级校考阶段练习）当 时，解关于的方程会产生增根． 【变式3-2】＝有增根，求所有可能的t之和． 【变式3-3】（2023下·上海浦东新·八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）若关于的方程只有一个根，求的值，并直接写出对应的原方程的根． 【题型4 分式方程无解问题】 【例4】若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【变式4-1】（2023下·上海浦东新·八年级校考期末）若关于x的方程无实根，则m取值范围是 ． 【变式4-2】若关于的方程无实数根，求的值； 【变式4-3】若关于x的方程无解，求实数的值． 【题型5 分式方程的应用】 【例5】（24-25八年级下·上海松江·期中）小杰和小丽分别从相距的、两地同时同向出发，小杰经过地后再走2小时追上小丽，小杰走的总路程相当于小丽走8小时的路程，求小杰和小丽的速度分别是多少？ 【变式5-1】（2022下·上海·八年级上海市田林第三中学校考期中）5G手机的下载速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G手机的下载速度． 【变式5-2】（2023下·上海静安·八年级统考期末）某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元从乙地补购了一批同样的商品．公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元． (1)设该公司从甲地购进x件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是______； (2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件． 【变式5-3】（24-25八年级下·上海松江·期末）学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海崇明·期末）解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　） A． B． C． D． 2.（24-25八年级下·上海金山·期末）学校艺术节需用红纸花3000朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有名同学，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·上海·期中）关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 4．（24-25八年级下·上海·期中）解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）分式方程的解是 ． 6．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）用换元法解分式方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 ． 7．（24-25八年级下·上海松江·期末）方程的解是 ． 8．（24-25八年级下·上海松江·期末）用换元法解分式方程时，如果设，并将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ． 9．（24-25八年级下·上海长宁·期末）用换元法解方程时，如果设，那么将原方程变形后表示为关于的一元二次方程的形式是 ． 10．（24-25八年级下·上海·期中）用换元法解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是 ． 三、解答题 11．（2025·上海浦东新·二模）解方程：． 12．（2025·上海崇明·二模）解方程：． 13．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）解方程：． 14．（24-25八年级下·上海·期末）解方程： 15．（2025·上海嘉定·二模）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． (1)甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ (2)请写出正确且完整的解答过程． 16．（24-25八年级下·上海·期中）某工程队接到一道路改建任务，需为盲人修建一条长3000米的盲道．根据要求，该工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原来计划多250米，结果提前2天完成工程．问实际每天修建盲道多少米． 17．星期天早上小明从家出发到离家5千米的博物馆参观，实际每小时比原计划多走1千米，结果比原计划早到了10分钟，求小明原计划每小时走多少千米 18．2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 19．列方程解决下列问题． 材料一：2023年7月6日~8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 材料二：2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13讲 可化为一元二次方程的分式方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：5大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 分母中含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的基本思想是转化为整式方程求解，转化的基本方法是去分母、换元，但也要灵活运用，注意方程的特点进行有效的变形．变形时可能会扩大(或缩小)未知数的取值范围，故必须验根． 【题型1 分式方程的概念】 【例1】已知方程：①，②，③，④，⑤，⑥，其中分式方程有_________________． 【答案】③、④、⑤． 【解析】分母中含有未知数的方程叫分式方程． 【总结】考察分式方程的概念． 【变式】在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（ ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】 【解析】分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 【总结】考察分式方程的定义． 【题型2分式方程的解法】 【例2-1】（24-25八年级下·上海徐汇·期末）用换元法解关于的方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程为 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了换元法解分式方程，掌握换元法的计算是关键． 根据换元法计算即可． 【详解】解：设，则， ∴原分式方程变形得，， ∴化为整式方程为：， 故答案为： ． 【例2-2】（24-25八年级下·上海崇明·期末）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 整理得， 解得或， 检验，当时，；当时，， ∴是原方程的解，不是原方程的解． 【变式2-1】（24-25八年级下·上海青浦·期末）用换元法解分式方程时，如果设，将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了换元法解分式方程． 设，则，方程可变为，两边都乘以即可． 【详解】解：设，则， 即， 因此方程可变为， 两边都乘以得：， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级下·上海·期中）解方程： 【答案】， 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查解分式方程，原方程去分母后得整式方程，求出出整式方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得，， 整理得，， 解得，， 经检验，，是原方程的解， 所以，分式方程的解为，． 【变式2-3】（2025·上海·中考真题）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解， ∴原方程的解为． 【题型3 根据分式方程解的情况求值】 【例3】（24-25八年级下·上海杨浦·期中）已知分式方程只有一个实数解，求的值和对应方程的解． 【答案】， ；， 【知识点】解分式方程（化为一元二次）、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元二次方程．关键是将分式方程转化为整式方程，根据整式方程的特点及题目的条件分类讨论． 去分母，转化为整式方程，根据整式方程为一元一次方程，即；为一元二次方程，即，分别求解即可． 【详解】解：两边同乘， 得， 整理得：， 若，即，则，解得：； 若，由题意，知， 解得， 当时，； ∴综上可得：， ；，． 【变式3-1】（2023下·上海普陀·八年级校考阶段练习）当 时，解关于的方程会产生增根． 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】解：解：去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【变式3-2】＝有增根，求所有可能的t之和． 【答案】3 【分析】根据根据有增根，说明0或﹣1可能是方程的增根，将分式方程化为整式方程可得（x+1）2+x2＝x+t，进一步求得t的所有可能值，相加即可求解． 【详解】解：∵有增根， ∴说明0或﹣1可能是方程的增根， 去分母得：（x+1）2+x2＝x+t， 代入x＝0，有t＝1； 代入x＝﹣1，有t＝2． 故所有可能的t之和为3． 【点睛】本题主要考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 【变式3-3】（2023下·上海浦东新·八年级上海市进才中学北校校考阶段练习）若关于的方程只有一个根，求的值，并直接写出对应的原方程的根． 【答案】当时，；当时，；当时， 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有且仅有一个实数根，分情况讨论，即可确定出k的值即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：． 整理得：． ∴． ∵原方程只有一个实数根， ∴ ． 即． 解得：． 当时，原方程的根为：． 若整式方程中的，则增根为或， 当时，代入方程可得，， 此时方程，解得：（舍去） 当时，代入方程可得，， 此时方程为，解得：（舍去） 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题考查了分式方程含参问题、一元二次方程根的情况，熟练掌握分式方程的计算方法和一元二次方程根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，是解题的关键． 【题型4 分式方程无解问题】 【例4】若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】10或或3 【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解． 【详解】解：（1）为原方程的增根， 此时有，即， 解得； （2）为原方程的增根， 此时有，即， 解得． （3）方程两边都乘， 得， 化简得：． 当时，整式方程无解． 综上所述，当或或时，原方程无解． 故答案为：10或或3． 【点睛】本题考查的是分式方程的解，解答此类题目既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形． 【变式4-1】（2023下·上海浦东新·八年级校考期末）若关于x的方程无实根，则m取值范围是 ． 【答案】或 【分析】将分式方程转化为整式方程，分两种情况，整式方程无解和分式方程有增根，进行求解即可． 【详解】解：将分式方程转化为整式方程为：， 整理得：， ∵分式方程无实数根， ①整式方程无实数根，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：， ∴， 当时：，解得：， 当时：，解得：， 综上：m取值范围是或； 故答案为：或． 【点睛】本题考查分式方程解的情况求参数的取值范围．解题的关键是熟练掌握分式方程无实数根的两种情况，正确的计算． 【变式4-2】若关于的方程无实数根，求的值； 【答案】或 【解析】去分母整理得：，原方程无实数根，则 （1），即； （2）整式方程的根是原分式方程的增根，则或，代入整式方程得：， 综上所述：当或时，原方程无实数根． 【总结】本题考察分式方程无实数根的分类讨论：1.分式方程转化的整式方程无实数根；2.整式方程的根为分式方程的增根． 【变式4-3】若关于x的方程无解，求实数的值． 【答案】或或 【分析】方程去分母转化为整式方程，求出的表达式，根据分式方程无解可得或或的表达式中分母为0，再代入的表达式中即可求出的值． 【详解】解：方程两边同时乘以， 得：， 解得：， 当时，此方程无解，原分式方程也无解，解得：， 当时， 原分式方程无解， ， 或， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 综上，的值为或或． 【点睛】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的特点，并能分情况进行讨论是解题的关键． 【题型5 分式方程的应用】 【例5】（24-25八年级下·上海松江·期中）小杰和小丽分别从相距的、两地同时同向出发，小杰经过地后再走2小时追上小丽，小杰走的总路程相当于小丽走8小时的路程，求小杰和小丽的速度分别是多少？ 【答案】小杰和小丽的速度分别是， 【知识点】分式方程的行程问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】此题考查了分式方程的应用，解一元二次方程，解题的关键是根据题意列出方程组． 设小杰和小丽的速度分别是，，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设小杰和小丽的速度分别是， 根据题意得， 解得（舍去）， 经检验，是原方程的解 ∴小杰和小丽的速度分别是，． 【变式5-1】（2022下·上海·八年级上海市田林第三中学校考期中）5G手机的下载速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G手机的下载速度． 【答案】100MB/秒 【分析】设5G手机的下载速度是xMB/秒，则4G下载速度是（x-95）MB/秒，根据“5G比4G要快190秒”列出方程，求解即可． 【详解】解：设5G手机的下载速度是xMB/秒，则4G下载速度是（x-95）MB/秒， 由题意得：， 解得：（舍去）， 经检验，是原方程的根， ∴5G手机的下载速度是100MB/秒． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，审清题意、找准等量关系是解题的关键． 【变式5-2】（2023下·上海静安·八年级统考期末）某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元从乙地补购了一批同样的商品．公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元． (1)设该公司从甲地购进x件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是______； (2)如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件． 【答案】(1) (2)该公司从甲地购进这种商品60件商品，从乙地购进这种商品100件． 【分析】（1）设从乙地购进的商品件数是y件，依题意得，据此即可求解； （2）根据“乙地同一商品每件比甲地便宜30元”列分式方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设从乙地购进的商品件数是y件， 依题意得， 整理得， ∴， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 解得或， 经检验，或都是分式方程的解，但不符合题意，舍去， ∴，， 答：该公司从甲地购进这种商品60件商品，从乙地购进这种商品100件． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．注意不要忘记检验． 【变式5-3】（24-25八年级下·上海松江·期末）学校购买一批奖品．已知种奖品的单价比种奖品单价便宜9元，用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个． (1)求、两种奖品的单价各是多少元？ (2)该校计划购买、两种奖品共80个，且种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍，请你设计出最省钱的购买方案，并求出最低购买费用． 【答案】(1)奖品的单价8元，则奖品的单价是17元 (2)购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键： （1）设奖品的单价x元，则奖品的单价是元，根据“用128元购买种奖品的数量和用272元购买种奖品的数量总共是32个”列方程求解即可； （2）设购买奖品a个，则购买奖品个，根据“种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍”列不等式求出a的取值范围，设总费用为w元，则可求出，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设奖品的单价x元，则奖品的单价是元， 根据题意，得， 去分母，并化简得， 解得，， 经检验，，都是原方程的解，但不符合实际意义， ∴，， 答：奖品的单价8元，则奖品的单价是17元； （2）解：设购买奖品a个，则购买奖品个， ∵种奖品的数量不大于种奖品数量的3倍， ∴， 解得， 设总费用为w元， 根据题意，得， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，w有最小值，最小值为，此时， 即购买奖品80个，购买奖品20个，费用最小，最小费用为820元． 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海崇明·期末）解方程时，设，则原方程可化为关于的整式方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】此题考查了解分式方程，设，将原方程中的分式项用表示，通过代数变形消去分母，转化为整式方程． 【详解】设，则， 因此． 原方程可化为： 两边同乘，消去分母： 移项整理得：． 故选：B． 2.（24-25八年级下·上海金山·期末）学校艺术节需用红纸花3000朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有名同学，根据题意可得方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】分式方程的其它实际问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设班级共有名同学，原定全班平均每人制作朵，实际参加人数为人，平均每人制作朵，根据题意，实际平均比原定多15朵，列方程即可． 【详解】解：设这个班级共有名同学，根据题意可得方程， 故选：B． 3．（24-25八年级下·上海·期中）关于的分式方程有增根，则的值为（   ） A．2 B． C．1 D． 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了分式方程的增根问题．将分式方程转化为整式方程，利用增根的定义，将增根代入整式方程求解参数即可． 【详解】解：原方程两边同乘以公分母，得： 展开并整理： 两边化简得： ∵原方程的增根为 ∴ 解得：， 故选：B． 4．（24-25八年级下·上海·期中）解方程时，如果设，那么原方程可化为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了换元法解分式方程．先将原方程根据完全平方公式变形，然后用换元即可解答． 【详解】解：， ∴， 设，则， 整理得：． 故选：C． 二、填空题 5．（24-25八年级下·上海杨浦·期中）分式方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查可化为一元二次方程的分式方程的解法，熟记分式方程的解法是解题的关键．先去分母得到一元二次方程，再解一元二次方程，然后检验是否有增根即可． 【详解】解：方程去分母，得， 解得：， 经检验：是增根，舍去，是原方程的根， ∴原方程的根为， 故答案为：． 6．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）用换元法解分式方程，如果设，那么原方程可化为关于的整式方程是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了分式方程的化简，根据题意可把原方程变成，根据分式的化简步骤一步步得到即可； 【详解】解：由题意得：， 两边同时乘以y得： 故答案为： 7．（24-25八年级下·上海松江·期末）方程的解是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解本题的关键．利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解： 去分母得， 解得：， 当时，，则是原方程的增根 当时，，则是原方程的解， ∴原方程的解为：， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·上海松江·期末）用换元法解分式方程时，如果设，并将原方程化为关于的整式方程，那么这个整式方程是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了换元法解分式方程．设，则，进而将原方程变为，再去分母即可． 【详解】解：设，则， 原方程可变为：， 两边都乘以得，， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·上海长宁·期末）用换元法解方程时，如果设，那么将原方程变形后表示为关于的一元二次方程的形式是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程．设，则原方程化为，再整理即可． 【详解】解：设，则， 原方程化为：， 即， 故答案为：． 10．（24-25八年级下·上海·期中）用换元法解方程，如果设，那么得到关于的整式方程是 ． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了换元法解分式方程，把原方程变形为，然后把代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 三、解答题 11．（2025·上海浦东新·二模）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了可化为一元二次方程的分式方程，去分母转化为一元二次方程是解题的关键；先去分母化为一元二次方程，再解一元二次方程并检验即可得解． 【详解】解：等式两边同乘以得， ， ， ， ，， 经检验：是原方程的增根，舍去； 所以原方程的解为． 12．（2025·上海崇明·二模）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查分式方程（化为一元二次）的解法，掌握解分式方程的步骤和方法是正确解答的关键．根据分式方程的解法求解即可，注意不要忘记检验． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 解得，，， 经检验：是增根，舍去，是原方程的解， 所以原方程的解为：． 13．（24-25八年级下·上海徐汇·阶段练习）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握分式方程的求解步骤是解题的关键． 先将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】解： ， ， ， ， 检验：当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 所以该分式方程的解为． 14．（24-25八年级下·上海·期末）解方程： 【答案】或 【知识点】解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查了解分式方程、一元二次方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．方程两边同乘以可得一个关于的一元二次方程，利用因式分解法解方程可得的值，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得，即， 合并同类项，得，即， 因式分解，得， 所以或， 解得或， 经检验，和都是分式方程的解， 所以方程的解为或． 15．（2025·上海嘉定·二模）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． (1)甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ (2)请写出正确且完整的解答过程． 【答案】(1)①，理由见解析 (2)见解析 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查了分式方程的求解及解一元二次方程，熟练掌握分式方程求解的步骤是解题的关键． （1）依据分式方程求解的步骤进行判断即可； （2）利用分式方程求解的步骤求解即可． 【详解】（1）解：甲同学在解答过程中第①步开始出错，错误原因为：方程右边的1没有乘； （2）解：去分母，得：， 整理，得：， 解得：， 检验：当时，；当时，， 可知是增根，舍去. 所以，原方程的根是． 16．（24-25八年级下·上海·期中）某工程队接到一道路改建任务，需为盲人修建一条长3000米的盲道．根据要求，该工程队在实际施工时增加了施工人员，每天修建的盲道比原来计划多250米，结果提前2天完成工程．问实际每天修建盲道多少米． 【答案】750米 【知识点】分式方程的工程问题、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题考查分式方程解决实际问题，读懂题意找到等量关系式解题的关键．设实际每天修建盲道x米，根据“提前2天完成工程”列出方程，求解并检验即可解答． 【详解】解：设实际每天修建盲道x米，根据题意，得 ， 解得，， 经检验，，都是该分式方程的解， 不合题意，舍去，符合题意． 答：实际每天修建盲道750米． 17．星期天早上小明从家出发到离家5千米的博物馆参观，实际每小时比原计划多走1千米，结果比原计划早到了10分钟，求小明原计划每小时走多少千米 【答案】小明原计划每小时走5千米 【分析】本题考查的是分式方程的应用，设小明原计划每小时行x千米，依题意得：，再解方程并检验即可． 【详解】解：设小明原计划每小时行x千米，依题意得： 解得：或（舍） 经检验是原方程的根，且符合题意． 答：小明原计划每小时走5千米． 18．2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是，根据这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人用时比松延动力机器人少小时建立方程求解即可． 【详解】解：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：松延动力机器人的平均速度是． 19．列方程解决下列问题． 材料一：2023年7月6日~8日，机器人足球世界杯中国赛（上海分赛场）暨张江智能机器人科创展示在“世界人工智能大会”张江分会场正式举行．假设参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程安排3天，每天安排145场比赛，求共有多少支队伍参赛？ 材料二：2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校，科研机构，企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造，物流分拣，特种作业，家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 【答案】材料一：共有30支队伍参赛；材料二： 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元二次方程的实际应用． 材料一：设共有支队伍参赛，根据赛程安排3天，每天安排145场比赛，建立一元二次方程求解即可； 材料二：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是，根据这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人用时比松延动力机器人少小时建立方程求解即可． 【详解】材料一：解：设共有支队伍参赛， 由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去）或． 答：共有30支队伍参赛． 材料二：解：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是， 由题意得：， 整理得：， 解得（舍去）或， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：松延动力机器人的平均速度是． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$