23.1 经典模型专题12 利用旋转构造全等模型（习题课件）-【一本】2025-2026学年九年级数学上册同步训练（人教版 安徽专用）

初中数学 九年级上册·（RJ版）安徽专版 第二十三章　旋转 经典模型专题 12 利用旋转构造全等模型 模型1　“手拉手”模型 1.如图，△ACB为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，CP＝2，PB＝1，∠CPB＝135°，求AP的长. 解：如图，将△CPB绕点C顺时针旋 转90°，使得BC与AC重合，点P与 点D是对应点，连接DP. 由旋转的性质，得CD＝CP，AD＝BP， ∠DCA＝∠PCB，∠DCP＝∠ACB＝90°， 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 ∴△CDP是等腰直角三角形. ∵CD＝CP＝2，∴DP＝2. ∵∠CDA＝∠CPB＝135°， ∠CDP＝45°， ∴∠ADB＝90°. ∵AD＝PB＝1，DP＝2， ∴AP＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 2.如图，在边长为8的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E是平面上△ABC外的一点，且DE＝2，连接BE，将线段EB绕点E顺时针旋转60°，得到线段EF，连接AF，CE. (1)判断△BEF的形状，并说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 解：△BEF是等边三角形.理由如下： ∵线段EB绕点E顺时针旋转60°得到线段EF， ∴EB＝EF，∠FEB＝60°， ∴△BEF是等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 2.如图，在边长为8的等边三角形ABC中，D是AB的中点，E是平面上△ABC外的一点，且DE＝2，连接BE，将线段EB绕点E顺时针旋转60°，得到线段EF，连接AF，CE. (2)求证：AF＝CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 解：证明：∵△ABC和△BEF均为等边三角形， ∴BF＝BE，AB＝CB，∠EBF＝∠ABC＝60°， ∴∠EBF＋∠ABE＝∠ABC＋∠ABE， 即∠FBA＝∠EBC， ∴△FBA≌△EBC(SAS)， ∴AF＝CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 3.将边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形CEFG按如图1所示的方式摆放，连接BG，DE. (1)如图1，BG与DE的关系为_____________________. BG＝DE，BG⊥DE 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 3.将边长为4的正方形ABCD与边长为2的正方形CEFG按如图1所示的方式摆放，连接BG，DE. (2)如图2，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转，旋转角为α(0°＜α＜360°)，连接DG，BE，判断DG2＋BE2是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 解：DG2＋BE2是定值. 如图，连接BD，GE.设BG，DE交于点O， DE，CG交于点M. ∵∠BCG＝90°＋α，∠DCE＝90°＋α， ∴∠BCG＝∠DCE. 在△BCG和△DCE中， 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 ∴△BCG≌△DCE(SAS)， ∴∠BGC＝∠DEC. 又∵∠GMO＝∠EMC， ∴∠GOM＝∠GCE＝90°， ∴DE⊥BG. 由勾股定理，得DG2＝DO2＋GO2，BE2＝OB2＋OE2， ∴DG2＋BE2＝DO2＋GO2＋OB2＋OE2＝DB2＋GE2. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 ∵AB＝4，CG＝2， ∴BD＝AB＝4，GE＝CG＝4， ∴DG2＋BE2＝＋42＝48. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 模型2　对角互补模型 4.如图，△ABC为等边三角形，以AB为边向 外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以点C为 旋转中心把△CBD旋转到△CAE，则给出下 列结论：①D，A，E三点共线；②DC平分 ∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA.其中正确的是___________.(填序号) ①②③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 5.如图，已知∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝DC.求证：BC＋AB＝BD. 证明：∵∠ADC＝90°，AD＝DC， ∴将△DAB绕点D逆时针旋转90° 至△DCE的位置如图所示. 由旋转的性质， 得△DAB≌△DCE， 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 ∴∠BAD＝∠ECD，AB＝CE，BD＝ED. ∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°， ∴∠ECD＋∠BCD＝180°， ∴B，C，E三点共线. ∵BD＝ED，∠BDE＝90°， 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 ∴△BDE为等腰直角三角形， ∴BE＝BD. ∵BE＝BC＋CE＝BC＋AB， ∴BC＋AB＝BD. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 6.若四边形ABCD满足∠A＋∠C＝180°，则我们称该四边形为“对角互补四边形”. (1)如图1，四边形ABCD为“对角互补四边形”，且满足∠BAD＝90°，AB＝AD，求∠ACB的度数； 解：如图1，将△ACD绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点M. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 由旋转的性质，得AC＝AM，∠CAD＝∠MAB，∠D＝∠ABM， ∴∠CAM＝∠BAD＝90°. ∵∠BAD＋∠BCD＝180°， ∴∠ABC＋∠D＝180°， 即∠ABC＋∠ABM＝180°， ∴C，B，M三点共线， ∴△CAM是等腰直角三角形， ∴∠ACB＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 6.若四边形ABCD满足∠A＋∠C＝ 180°，则我们称该四边形为“对 角互补四边形”. (2)如图2，四边形ABCD为“对角互补四边形”，且满足∠BAD＝60°，AB＝AD，试猜想线段CA，CB，CD之间的数量关系，并证明. 解：猜想：CA＝CB＋CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 证明：如图2，将△ACD绕点A逆时针旋转，使得点D与点B重合，点C的对应点为点N. 由旋转的性质，得∠CAD＝∠NAB，∠D＝∠ABN，AC＝AN. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 同(1)可得C，B，N三点共线， ∴∠CAN＝∠NAB＋∠CAB＝∠CAD＋∠CAB＝∠BAD＝60°， ∴△ACN为等边三角形， ∴CA＝CN＝CB＋BN＝CB＋CD. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 模型3　半角模型 7.如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E，F为BC上的点，且∠EAF＝45°.求证：BE2＋CF2＝EF2. 解：如图，把△ACF绕点A顺时针旋转90°， 得到△ABG，连接EG. ∵∠CAB＝90°，AB＝AC， ∴∠ABE＝∠ACF＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 由旋转的性质，得AG＝AF，BG＝CF，∠GAF＝90°，∠ABG＝∠ACF＝45°， ∴∠GBE＝∠ABG＋∠ABE＝90°. ∵∠EAF＝45°， ∴∠GAE＝∠EAF＝45°. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 在△AEG和△AEF中， ∴△AEG≌△AEF(SAS)，∴EG＝EF. 在Rt△BEG中，由勾股定理，得BE2＋BG2＝EG2， ∴BE2＋CF2＝EF2. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 8.如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝120°，E为AB上的一点，∠DCE＝60°，∠DAE＝120°，连接DE.求证：DE－AD＝BE. 解：如图，延长EB至点F， 使BF＝AD，连接CF. ∵CA＝CB，∠ACB＝120°， ∴∠ABC＝∠CAE＝30°， 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 ∴∠CBF＝180°－30°＝150°，∠CAD＝30°＋120°＝150°. 在△CBF和△CAD中， ∴△CBF≌△CAD(SAS)， ∴CF＝CD，∠BCF＝∠ACD. ∵∠DCE＝60°， 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 ∴∠FCE＝∠ECB＋∠BCF＝∠ECB＋∠ACD＝∠ACB－∠DCE＝120°－60°＝60°＝∠DCE. 在△CDE和△CFE中， ∴△CDE≌△CFE(SAS)，∴DE＝FE， ∴DE－AD＝EF－BF＝BE. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 9.如图1，△ABC和△BDC是等腰 三角形，且AB＝AC，BD＝CD， ∠BAC＝80°，∠BDC＝100°， 以D为顶点作一个50°的角，角 的两边分别交边AB，AC于点E， F，连接EF. (1)探究BE，EF，FC之间的数量关系，并说明理由； 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 解：EF＝BE＋FC.理由如下： ∵∠BAC＝80°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝50°. ∵∠BDC＝100°，BD＝CD，∴∠DBC＝∠DCB＝40°， ∴∠ABD＝∠ACD＝50°＋40°＝90°. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 如图1，将△DCF绕点D逆时针旋转至△DBG. ∵BD＝CD，∠GBD＝∠FCD＝∠EBD＝90°， ∴点G在线段AB的延长线上. 由旋转的性质，得DG＝DF，GB＝FC， ∠BDG＝∠CDF. ∵∠BDC＝100°，∠EDF＝50°， ∴∠BDE＋∠CDF＝100°－50°＝50°， 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 ∴∠BDE＋∠BDG＝∠EDG＝50°， ∴∠EDG＝∠EDF. 在△DEF和△DEG中， ∴△DEF≌△DEG(SAS)， ∴EF＝EG＝BE＋GB＝BE＋FC. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 9.如图1，△ABC和△BDC是等腰三角 形，且AB＝AC，BD＝CD，∠BAC ＝80°，∠BDC＝100°，以D为顶 点作一个50°的角，角的两边分别 交边AB，AC于点E，F，连接EF. (2)如图2，若点E，F分别在AB，CA的延长线上，其他条件不变，试猜想BE，EF，FC之间的数量关系，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 解：EF＝FC－BE.理由如下： 如图2，将△BDE绕点D顺时针旋转至△CDG. 同理(1)可得，点G在线段AC上. 由旋转的性质，得DE＝DG，∠BDE＝∠CDG. ∵∠BDC＝100°，∠EDF＝50°， ∴∠CDG＋∠BDF＝∠BDE＋∠BDF＝∠EDF＝50°， 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 ∴∠FDG＝100°－50°＝50°，∴∠FDG＝∠FDE. 在△EDF和△GDF中， ∴△EDF≌△GDF(SAS)， ∴EF＝GF＝FC－CG＝FC－BE. 1 2 3 4 5 6 7 8 上一页 下一页 9 谢谢观看 $$