(四)空间直角坐标系、空间向量及其运算、空间向量基本定理及坐标表示-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修2同步周测卷（新高考湘教版）

高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第二册（四） 品题要素一览表 注： 1,能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力下.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模①直观想象⑦数学运算①数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) ①②③④ 档次系数 1 选择题 5 空间向量的加减运算 易 0.80 2 选择题 5 中点坐标公式的应用 易 0.72 3 由两点问的距离公式 选择题 5 求参 易 0.70 由空间向量基本定理 选择题 求参 的 0.55 选择题 5 求两向量的夹角 中 0.5 选择题 5 利用坐标法求线段 的长 中 0.30 确定点关于坐标平面、 7 选择题 6 坐标轴、原点对称的点 多 0.72 的坐标 8 选择题 基概念的理解 中 0.60 9 填空题 5 空间向量在另一向量 多 0.71 方向上的投影长 10 填空题 利用空间向量求线段 长的最值 小 中 0.45 利用空间向量坐标运 11 解答题 算证明向量平行，求向 13 中0.65 量之间的夹角及三角 形的面积 12 解答题 15 利用基表示向量，求线 段的长 L √ 中0.55 利用向量的坐标运算 13 解答题 20 证明向量垂直，求线段 中 的长，求两向量夹角的 0.40 余弦值 ·63· ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 参考答案及解析 香考誉案及解析 一、选择题 1.D【解析】DA+Ci-Ci=Di+Bd=DA-D成 BA.故选D. 2.A【解析】由图可知B(1,0,一1)，D(0,-1,0) 所以BD,的中点坐标为（安，号，一9）即 (分-子，-之)故选A 3.C【解析】设点C的坐标为(0，y,),则 /(0-1)+(y-2)+(2-2)F= 设BB'=m(m>0),CE=CC(0≤A≤1)，则B(0,0, √(0-1)+(y+3)十(-1)F,即(y-2)+(x 0),A'(1,0,m),E(0,1Am),AE=(-1,1,m 2)2=(y十3)+(x-1)2,即5y十z十1=0，经检验知， 只有选项C满足，故选C m),B=(0,1,m),所以AE.B2=(-1,1,m 4.D【解析】因为EC=2PE所以P元=号P心，所以 m)·(0,1,Am)=m入-m2入十1=0，因为在棱CC 上有唯一的一点E使得A'E⊥EB,所以m一m入 D成=A花-A市=A市+吨-A市=A市+心-A市 十1=0在入∈[0,1]上有唯一的解，令∫（入）=m m21十1，因为f(0)=f(1)=1,故要想在1∈[0,1] =A市+(C-A)-A市=号A+号A花-ò 上有唯一的解，只需△=m一4m2=0,因为>0，所 以m=2.故选B =号A+号AC-(A心+C市)=号a市-号C 二、选择题 7.ABD【解析】对于A,点E(-3,1,5)关于原点O 市=号市-号AC+A店=a-号b+号，又D成= 对称的点的坐标为(3，一1，一5)，故A正确：对于B, 点F(1,3,一4)关于y轴对称的点的坐标为 x=1 (一1,3,4)，故B正确：对于C,点P(一1,2,3)关于平 a十3b十c,所以 y=- 3,则x-3y+3z=1+2+ 面xOy对称的点的坐标为（一1,2，一3），故C错误： 对于D,点Q(一1,1,2)在平面yOz内的射影的坐标 为(0,1,2)，故D正确.故选ABD. 2=5.故选D. 8.AD【解析】由c=(a十b)十(c一a一b),得向量c, 5,C【解析】：A1A⊥平面ABC,ABC平面ABC,AC a十b,c一a一b共面，A正确：若存在不全为零的实数 C平面ABC,.AA⊥AB,A1A⊥AC.AC=AB= x,y,2,使得0十b十c=0,则a,b,c共面，不能构成 √2，BC=2,.AB+AC=BC,AB⊥AC,又BC= 一组基，B错误：当d≠0时.有d⊥a,dLb,由已知得 a,b,c不共面，不一定有c⊥a且c⊥b,即不一定有d 2AE=2,∴E为BC的中点，∴A正=号(Ai+AC). ∥c,C错误：由(a十b+c)·(a-b+c)=0,得(a十c) :AC=AA=2,.AC=2.AE正·AC 一b=0,即(a十c)2=b,则la十c=|b,D正确.故 选AD. 合(+A)·(A心-AA=A花 =1. 三、填空题 m达-：高汉西 号 【解析】因为点A(1,1,1),B(2,3,1),C(3,1, ∈[0°，180]，.(AE,A1C)=60°.故选C 3),所以AB=(1,2,0),AC=(2,0,2),则AB在AC 6.B【解析】以B为坐标原点，BA,BC,BB分别为x 方向上的投影长为1AosA店，AC=A店，AC ACI 轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐 标系， 1×2+2×0+0×2=2-2 √2+0+2Σ 222 10,号专【解标】以D为原点，Di,Dd,DD分别 为x轴，y轴，：轴正方向，建立如图所示的空间直角 ·64. 高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第二册· 坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0),D,(0,0,1), B,(1,1,1),C(0,1,0),又P,Q分别为DC,AD,的 中点，所以P(o,0).Q(0,),则1PQ- √0-)+（合-0+(0-=号：曲点 P在DC上运动，点Q在侧面ADD,A上运动，设 P(0,m,0),0≤m≤1，Q(n,0,t),0≤n≤1,0≤t≤1， 所以BQ=(n-1,-1,t-1),AD=(-1,0,1), AP=(-1,m,0),因为B,Q⊥AD,B,QLAP,所以 因为A成=A裙+B成=A成+号B市=A店+ BQ.AD=(m-1,-1,4-1)·(-1,0,1)=t-n 合（市-A=A+号d-=之(a+b), =0,故t=n,B1Q·AP=(n-1,-1,t-1)·(-1, (3分) m,0)=1一-m=0,故m=1-,又PQ=(,-m, ),故P0=n十m十2=22十(1-n)2 AN=号ADi=子(M+A市)=号(b+e). 3(a-合)广+号，故当m=号时，成最小，此时 (5分) 所以M=N-Ai=号(b+c)-是(a+b)= m=1-n= 号满足条件，所以线段PQ的最小值 -a+b+号c (7分) (2)因为∠A1AD=∠A1AB=60°，AA,=2,且底面 四边形ABCD是边长为1的正方形， 所以|a|=1,|b|=1,c=2,a·b=0,a·c=b· c=1×2×cos60°=1， (10分) 所以1=（一a+若6+号c)=1a+ 四、解答题 ++×4-号+号-器， 11.解：(1)由A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5), 所以MN的长为⑧ 6 (15分) D(3,3,4), 得AB=(-2,-1.3),AD=(3,1,1). 13.解：(1)以D为原点，DA,DC,DD分别为x轴、y 所以b=AB+AD=(1,0,4), (3分) 轴，之轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 因为a=(-2,0,-8),所以a=-2b, 所以a∥b. (6分) (2)由(1)知，Ai=(-2,-1,3),A亡=1，-3,2)， 所以A=AC=/4,AB.AC=7, 所以cos0= AB.AC 1 又因为0长长，所以9=号 (10分) 所以s=之BACIsin0=号×Xm× 则E(00,人F(号0小，C(01,0, -9 B.(1.1,1), (2分) 2 2 (13分) 12.解：(1)连接AM,如图所示， ∴E=(分2-），BC=(-10,-1) ∴E求.Bc=×(-1)+×0+(-合)× (-1)=0, ·65· Ei⊥BC,即EF⊥B,C (7分) 由1)E=(合2-合) 2:F(分0)H(0,尽，) i=(-之g,) ∴=√)+（合）+(-)-， :萨.CG=号×0+号×(-)+(-)× ∴-)+（层）+（合丁-要 (-0= H的长为夏 (13分) osE求，GG= EF.CG (3rG(0,是0).c(011) EF·ICG 17 即EF与C,G所成角的余弦值为一 (20分) GG=(o,-}-1 1cG=√6+(-)+(-1=厘① 粒学（涵教服}选择性企修第二质第1夏「共4面引 蛋水金馨·究享题·离二同步因测卷四 监学（湘较极引选择性必修第二研第2页{共4西引 12,(木小题满分15分) 如图，在平行六面体ABCD一A,BC,D,巾，面四边形ABCD是边长为1的正方 形，A4=2,∠AAD=∠A:AB=60',AN=2ND,点M为BD的中点，设AB-=m AD=b.AA.=e. (1)用a.nr表示MN: (2)求MN的长 数学（涵教版}选择性企修第二质第3夏「共4面1 衡水金幕·先享题· 13,木小题满分20.分) 如函，在棱长为1的正方休ABD-A,B,CD,中，点G在棱CD上，CG-CD, E,F,H分别为DD,BD,CG的中点， 《1)求证：EFIB,C: (2)求FH的长： 《)求F与C,G所成角的余弦值 离二同步丽测花四 监学〔湘较极引选择性必修第二研第1面{共4面引