22.2 二次函数与一元二次方程（word教案）-【一本】2025-2026学年九年级数学上册同步训练（人教版）

一本 • 初中数学 9年级上册RJ版 配套资源 版权所有，侵权必究 22.2 二次函数与一元二次方程 一、教学目标 1．知道二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的解的个数之间的关系． 2．知道二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 二、教学重点、难点 重点：利用图象法求一元二次方程的近似解． 难点：二次函数的图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系． 三、复习引入 我们在学习了一元一次方程kx+b=0(k≠0)和一次函数y=kx+b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系．当一次函数中的函数值y=0时，一次函数y=kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解． 现在我们学习了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)和二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？这节课我们就来探究这个问题． 四、探究新知 问题1 画出函数的图象，根据图象回答下列问题： （1）图象与x轴交点的坐标是什么？ （2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？ （3）你能从中得到什么启发？ 师生活动：教师出示问题，学生画出函数的图象并回答问题，教师订正． 解：函数的图象如下图所示： （1）图象与x轴两交点的坐标为（1.5，0），（-0.5，0）． （2）当x=1.5或x=-0.5时，y=0，即x=1.5和x=-0.5是方程的两个解． （3）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点(x1，0)，(x2，0)，即方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解为x1，x2，也就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解；反过来，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个解x1，x2就是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴两个交点的横坐标． 问题2 育才中学九年级（3）班的学生在上节课的练习中出现了争论：解方程x2=x+3时，几乎所有学生都是将方程化为x2-x-3=0，画出函数y=x2-x-3的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的根．唯独小刘没有将方程移项，而是分别画出了函数y= x2和y=x+3图象，如下图所示，认为它们的交点A、B的横坐标和2就是原方程的根． 对于小刘提出的解法，同学们展开了热烈的讨论． 你对这两种解法有什么看法？请与你的同伴交流． 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师应鼓励学生提出自己的想法，并讨论，只要合理即可． 答：这两种近似解法都是可行的，但是小刘的做法比其他同学的做法要简便，因为画抛物线比画直线困难，小刘只要事先画好一条抛物线y=x2，再根据待解的方程画出相应的直线即可． 做一做 利用下图，运用小刘的方法求下列方程的根，并检验小刘的方法是否合理： （1）x2+x-1=0（精确到0.1）；（2）2x2-3x-2=0． 师生活动：教师出示问题，学生独立完成本题，教师根据学生答题情况讲评本题． 解：如下图： （1）因为方程x2+x-1=0可化为x2=1-x，所以方程x2+x-1=0的解就是函数y=x2的图象与函数y=1-x的图象交点的横坐标．由图象可知方程x2+x-1=0的近似解为x1≈0.6，x2≈-1.6． （2）因为方程2x2-3x-2=0可变形为，，所以方程2x2-3x-2=0的解就是函数y=x2的图象与函数的图象交点的横坐标．由图象可知方程2x2-3x-2=0的解为x1=2，x2=． 一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论： （1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根． （2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根． 五、例题精讲 例 利用下图求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根． 师生活动：教师出示例题，学生独立完成，最后教师给出答案． 解：将一元二次方程变形为x2+2x-13=0．由图象可知一元二次方程有两个根，一个根在-5和-4之间，另一个根在2和3之间． 首先求出-5和-4之间的根，利用计算器进行探索： x … -4.9 -4.8 -4.7 -4.6 … x2+2x-13 … 1.21 0.44 -0.31 -1.04 … 因此，x=-4.7是方程的一个近似根． 然后求2和3之间的根，利用计算器进行探索： x … 2.5 2.6 2.7 2.8 … x2+2x-13 … -1.75 -1.04 -0.31 0.44 … 因此，x=2.7是方程的另一个近似根． 六、课堂练习 1．已知抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2-m+2018的值为（ ）． A．2016 B．2017 C．2018 D．2019 2．抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（ ）． A．3 B．2 C．1 D．0 3．抛物线y=3x2-8x+4与x轴的两个交点的坐标分别为__________________． 4．已知二次函数y=-x2+2x+m的部分图象如下图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+m=0的解为____________． 参考答案 1．D．2．A．3．，(2，0)．4．-1和3． 七、课堂小结 1．一般地，从二次函数y=ax2+bx+c的图象可得如下结论： （1）如果抛物线y=ax2+bx+c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数值是0，因此x=x0是方程ax2+bx+c=0的一个根． （2）二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点．这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根． 2．利用二次函数y=ax2+bx+c的图象估算一元二次方程ax2+bx+c=0的根的近似值的基本步骤是： （1）画出二次函数y=ax2+bx+c的图象； （2）根据图象确定二次函数y=ax2+bx+c与x轴的两个交点分别在哪两个相邻整数之间； （3）利用计算器探索对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的近似数值，从而确定方程的近似根． 学科网（北京）股份有限公司 $$