22.2 二次函数与一元二次方程同步教学讲义（知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

22.2 二次函数与一元二次方程同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点一：小数的加法 知识点01：二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的公共点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 2.根的判别式（Δ）与图像关系 Δ > 0：方程有两个不等实数根 ⇨ 抛物线与 x 轴有两个交点。 Δ = 0：方程有两个相等实数根 ⇨ 抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在轴上）。 Δ < 0：方程无实数根 ⇨ 抛物线与 x 轴无交点。 知识点02：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 画出二次函数 y = ax2 + bx + c的图像，观察抛物线与 x 轴交点的横坐标（可通过刻度估计）。 注意：图像法得到的根是近似值，精确解需用公式法。 知识点03：知识总结 题型1： 二次函数与坐标轴交点问题 【例1】抛物线与坐标轴的交点个数为（    ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【练1】如图，抛物线的对称轴是，关于x的方程的一个根为，则另一个根为（    ） A． B． C． D．0 题型2： 二次函数与y轴交点问题 【例1】抛物线与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【练1】抛物线 与y轴的交点纵坐标为（　　） A． B． C． D． 题型3： 二次函数图象与方程的关系 【例1】已知二次函数的部分图象如图，由图象可知关于x的一元二次方程的两个根分别是和（　　） A． B． C． D． 【练1】抛物线的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列判断中：①；②方程的两个根是，；③当时，y的值随x增大而增大；其中正确的判断是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 题型4： 二次函数图象与不等式 【例1】如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 【练1】二次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（    ）    A． B． C． D．或 一、单选题 1．若一元二次方程无实数根，则抛物线的图象位于（   ） A．第一、二、三象限 B．x轴上方 C．x轴下方 D．第二、三、四象限 2．已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 3．函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 4．二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（    ） A．3 B．5 C．和5 D．3和 5．根据下列表格中的对应值：判断方程（，、、为常数）一个解的范围最可能是（   ） A． B． C． D． 6．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．若二次函数的图象与直线相交于点，和，，则的值是（　　） A．1 B．0 C． D． 8．在同一平面直角坐标系中，抛物线与直线的图象如图所示，那么不等式的解集是（　　） A． B． C． D．或 二、填空题 9．如图，已知抛物线与直线交于点O、，与x轴交于点．若，则x的取值范围是 ． 10．若平行于x轴的直线与抛物线的一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 11．抛物线与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ． 12．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为 ． 13．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 14．抛物线交x轴于A，B两点，则长是 ． 15．如图，抛物线与直线交于A，B两点，则方程的解为 ． 16．如果一元二次方程的两个根是和1，那么二次函数的图象的对称轴是 ． 三、解答题 17．已知函数． (1)画出这个函数的图象； (2)观察图象，当取哪些值时，函数值为？ 18．如图，二次函数的图象经过点且与轴交于点，点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称，一次函数的图象经过点及点．    (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 19．如图，已知抛物线经过点．    (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 20．如图，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于 C．    (1)求点A、点C的坐标: (2)作轴交抛物线于D，连接，，求的面积 21．已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点A，B的坐标； (3)求的面积． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.2 二次函数与一元二次方程同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点一：小数的加法 知识点01：二次函数与一元二次方程的关系 1.二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的公共点与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系 2.根的判别式（Δ）与图像关系 Δ > 0：方程有两个不等实数根 ⇨ 抛物线与 x 轴有两个交点。 Δ = 0：方程有两个相等实数根 ⇨ 抛物线与 x 轴有一个交点（顶点在轴上）。 Δ < 0：方程无实数根 ⇨ 抛物线与 x 轴无交点。 知识点02：利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解 画出二次函数 y = ax2 + bx + c的图像，观察抛物线与 x 轴交点的横坐标（可通过刻度估计）。 注意：图像法得到的根是近似值，精确解需用公式法。 知识点03：知识总结 题型1： 二次函数与坐标轴交点问题 【例1】抛物线与坐标轴的交点个数为（    ） A．无交点 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】先求出时，的值，再求出时，的值，由此即可得出交点个数． 【详解】解：对于抛物线， 当时，，即与轴的交点为，有1个， 当时，， 解得，即与轴的交点为，有1个， 综上，此抛物线与坐标轴的交点个数为2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 【练1】如图，抛物线的对称轴是，关于x的方程的一个根为，则另一个根为（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】利用抛物线的对称轴是，求出，设的另一根为m，利用根与系数的关系可得：，即可求出m． 【详解】解：∵抛物线的对称轴是， ∴，即， 设的另一根为m， 利用根与系数的关系可得：， ∴． 故选：C 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了根与系数的关系和二次函数的性质． 题型2： 二次函数与y轴交点问题 【例1】抛物线与y轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意，将代入解析式即可得解． 【详解】解：由题意，将代入函数解析式，得， 抛物线与y轴的交点坐标是， 故选：． 【点睛】本题主要考查了二次函数与轴的交点，解题时要熟练掌握并理解坐标特点是关键． 【练1】抛物线 与y轴的交点纵坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，直接求出抛物线与y轴的交点纵坐标． 【详解】解：当时，，所以，抛物线与y轴的交点纵坐标为． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与y轴的交点，掌握y轴上点的坐标特点是解题的关键． 题型3： 二次函数图象与方程的关系 【例1】已知二次函数的部分图象如图，由图象可知关于x的一元二次方程的两个根分别是和（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图像和性质，二次函数与一元二次方程的关系，先求出对称轴，再根据二次函数与一元二次方程的关系得出答案即可． 【详解】二次函数的图象的对称轴是直线． 由与对应的点关于对称轴对称， 所以， 即， 解得． 故选：D． 【练1】抛物线的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列判断中：①；②方程的两个根是，；③当时，y的值随x增大而增大；其中正确的判断是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用数形结合思想．根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征逐项判断即可． 【详解】解：图象开口向上， ， 对称轴为直线， ， ， ，①正确； 由图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的两个根是，；故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y的值随x增大而增大； ∴当时，y的值随x增大而增大； 故③正确， 综上可知，正确的有①②③． 故选:A． 题型4： 二次函数图象与不等式 【例1】如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式、二次函数的对称性，先利用抛物线的对称性求出与x轴的另一个交点坐标，然后写出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴不等式的解集是． 故选：A． 【练1】二次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集是（    ）    A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象与x轴的交点坐标求解即可． 【详解】∵二次函数与x轴交于点， 二次函数开口向上， ∴关于的不等式的解集是或． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数与一元二次不等式之间的联系：根据当时，利用图象得出不等式解集是解题关键． 一、单选题 1．若一元二次方程无实数根，则抛物线的图象位于（   ） A．第一、二、三象限 B．x轴上方 C．x轴下方 D．第二、三、四象限 【答案】C 【分析】由一元二次方程无实根可知判别式小于0，结合抛物线开口方向、与x轴的位置关系判断. 【详解】解：∵原方程无实根， ∴判别式. ∴抛物线的图象开口向下，且与x轴无交点， ∴抛物线的图象位于x轴下方. 故选：C. 2．已知二次函数，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以计算出当时，函数值的取值范围． 【详解】 ∴该函数图象开口向上，对称轴是直线，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大 ∴当时，；当时， ∴当时，自变量的取值范围是或 故答案选C 3．函数的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数和一次函数与x轴的交点问题，当时，此时原函数为一次函数，与x轴的交点坐标为，符合题意；当时，原函数为二次函数，此时原函数与x轴有交点即对应的一元二次方程有实数根，据此利用判别式求解即可． 【详解】解；当时，，在中，当时，，即此时函数与x轴的交点坐标为； 当时， ∵函数的图象与x轴有交点， ∴， ∴且； 综上所述，， 故选：C． 4．二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（    ） A．3 B．5 C．和5 D．3和 【答案】D 【分析】本题考查了求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由题意得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 解得，或， 故选：D． 5．根据下列表格中的对应值：判断方程（，、、为常数）一个解的范围最可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据表格可知，当时，；当时，， ∴ 当时，一个解的范围是， 故选：． 6．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与二次函数的图象问题，求出交点坐标是解题的关键．先求出一次函数与轴交点排除A和D，再求出一次函数与二次函数的交点坐标排除B，最后得到正确答案． 【详解】解：令解得： 一次函数与轴交点为， 排除A和D， 令，解得， 二次函数与轴交点为和， 一次函数与二次函数的交点为， 排除B， 故选：C． 7．若二次函数的图象与直线相交于点，和，，则的值是（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握已知函数值求自变量的值是解题的关键．把代入得出的值，即和，再相加即可． 【详解】解：把代入得， ， 即，， ， 故选：B． 8．在同一平面直角坐标系中，抛物线与直线的图象如图所示，那么不等式的解集是（　　） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查图像法求一元二次不等式的解集，找到抛物线在直线上方时的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可知，当时，抛物线在直线上方， ∴不等式的解集是； 故选B． 二、填空题 9．如图，已知抛物线与直线交于点O、，与x轴交于点．若，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系． 由二次函数的图象与正比例函数的图象交于点，与x轴交于点，然后观察图象，即可求得答案． 【详解】解：由图象可知，已知二次函数的图象与正比例函数的图象交于点与坐标原点， 当时，的图象在下方，因此； 由与轴交于点，可知当时，； ∴当时，． 故答案为：． 10．若平行于x轴的直线与抛物线的一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的对称性，解题的关键是求出对称轴为直线．先求得抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性即可求得． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，平行于x轴的直线与抛物线的一个交点的坐标为， 另一个交点的坐标为，即， 故答案为：． 11．抛物线与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，当时，即可求出抛物线与x轴的交点坐标，当时，即可求出抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：当，则，即， 解得：，， 则抛物线与x轴的交点坐标为． 当时，， 则抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：； 12．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于的方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查抛物线与一次函数的交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标． 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标， 即，． 故答案为：，． 13．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 14．抛物线交x轴于A，B两点，则长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，以及数轴上两点间的距离，解题的关键是明确抛物线与x轴相交时，．根据抛物线与x轴分别交于A、B两点，令求得点A、B的坐标，从而可以求得的长． 【详解】解：∵， ∴时，， 解得，，． ∵抛物线与x轴分别交于A、B两点， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴的长为：． 故答案为：6． 15．如图，抛物线与直线交于A，B两点，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查的是利用函数图象解一元二次方程，直接根据图象交点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵A，B两点的横坐标为，， ∴方程的解为，， 故答案为：，． 16．如果一元二次方程的两个根是和1，那么二次函数的图象的对称轴是 ． 【答案】直线 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，对于二次函数，当时求得的自变量的值，也就是二次函数图象与轴的交点横坐标，就是对应的一元二次方程的解，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：二次函数轴的交点为：， ∴二次函数的图象的对称轴是：直线 故答案为：直线 三、解答题 17．已知函数． (1)画出这个函数的图象； (2)观察图象，当取哪些值时，函数值为？ 【答案】(1)见解析 (2)当或3时，函数值为 【分析】本题主要考查了画函数二次函数图象，二次函数的性质： （1）根据题意，列表，然后画出函数图象，即可； （2）直接观察图象，即可． 【详解】（1）解：根据题意，列表如下： x …… 0 1 2 3 4 …… y …… 3 0 0 3 …… 画出函数图象，如下图： （2）解：观察图象得：当或3时，函数值为． 18．如图，二次函数的图象经过点且与轴交于点，点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称，一次函数的图象经过点及点．    (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质． （1）先将点代入，再将对称轴直线代入公式即可得出和的值，根据点的对称性确定点坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式； （2）根据图象和、的交点坐标可直接求出的解集． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数图象的对称轴直线， ， ，， 二次函数的解析式为； ， 点和点关于该二次函数图象的对称轴直线对称， ， 设一次函数代解析式为， ， ， 一次函数的解析式为； （2）解：由图象可得，不等式的解集或． 19．如图，已知抛物线经过点．    (1)求出此抛物线的顶点坐标； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质． （1）把点代入得到关于m的方程，再解方程可确定抛物线解析式，再化为顶点式求顶点坐标； （2）分别确定时x对应的函数值，然后结合函数图象和二次函数的性质求解． 【详解】（1）把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下，有最大值4， ∵当时，或， ∴当时，x的取值范围是或． 20．如图，抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于 C．    (1)求点A、点C的坐标: (2)作轴交抛物线于D，连接，，求的面积 【答案】(1)、 (2)的面积是6 【分析】（1）根据待定系数法代入坐标求解即可； （2）求得的坐标，然后根据三角形面积公式求得即可． 【详解】（1）抛物线解析式为， 当时，，故， 当时，，解得或2 故， ∴、； （2）令，则， 解得，， ， ， ∴． 【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数待定系数法求坐标，三角形的面积等知识，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 21．已知抛物线经过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与x轴的交点A，B的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)点，点 (3) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与图形面积综合． （1）将点和点代入即可求出解析式； （2）令，解出的x的值即可得到点A、B的坐标； （3）根据点坐标求得，代入面积公式计算即可． 【详解】（1）解：把点和点代入得 解得， 所以抛物线的解析式为：． （2）把代入， 得， 解得， ∵点A在点B的左边， ∴点，点． （3）解：连接， 由题意得， 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$