第1章 第1节 集 合（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第一章　集合与常用逻辑用语、不等式 第一节　集　合 课标解读 1.了解集合的含义及特征，理解元素与集合的属于关系． 2．理解集合间的基本关系． 3．理解并掌握集合的基本运算． 知识点一　集合的有关概念 　(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． (2)集合的四种表示方法：列举法、描述法、图示法、区间法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图： N*或N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集． 知识点二　集合间的基本关系 　(1)子集：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A).　 若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有(2n－1)个，非空真子集有(2n－2)个． (2)真子集：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集，记作AB(或BA). (3)相等：A＝B⇔A⊆B且B⊆A. 知识点三　集合的基本运算 　(1)交集：一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B． (2)并集：一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B． (3)补集：如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁UA． (1)A∩A＝A，A∩∅＝∅. (2)A∪A＝A，A∪∅＝A. (3)A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U(∁UA)＝A. (4)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB⇔A∩(∁UB)＝∅. 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) 　(1)任何一个集合都至少有两个子集．(　　×　　) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(　　×　　) (3)若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0或x＝1.(　　×　　) (4)任意两个集合A，B，(A∩B)⊆(A∪B)成立．(　　√　　) 二、版本互鉴 1．(人教B版必修第一册P9 T4改编)已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________． 答案：1或4 2．(苏教版必修第一册P21 T7改编)设全集U＝{x∈N*|x<9}，集合A＝{3，4，5，6}，则∁UA＝________． 答案：{1，2，7，8} 3．(人教A版必修第一册P10例2改编)已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|1<x<3}，则A∩B＝________． 答案：{x|1<x<2} 4．(人教A版必修第一册P14 T4改编)设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁R(A∪B)＝____________，(∁RA)∩B＝____________. 答案：{x|x≤2或x≥10}　{x|2＜x＜3或7≤x＜10} 5．(北师大版必修第一册P7 T3改编)集合{x|(x－1)(x－2)(x－3)2＝0}的子集个数为________，非空真子集的个数为________． 答案：8　6 考点 集合的含义与表示(自悟通) 1.(多选)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是(　　) A．－1∉A B．－11∉A C．3k2－1∈A D．－34∈A BCD　解析：当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；令－11＝3k－1，得k＝－∉Z，所以－11∉A，所以B正确；因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D正确． 2．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素的个数为(　　) A．9 B．8 C．5 D．4 A　解析：当x＝－1时，y2≤2，得y＝－1，0，1；当x＝0时，y2≤3，得y＝－1，0，1；当x＝1时，y2≤2，得y＝－1，0，1，即集合A中元素有9个． 3．已知a，b∈R，若 ＝{a2，a＋b，0}，则a2 025＋b2 025＝________． 答案：－1　解析：由已知得a≠0，则 ＝0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1或a＝－1.又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1，故a2 025＋b2 025＝(－1)2 025＋02 025＝－1. 解决集合含义问题的关键点 (1)确定构成集合的元素． (2)确定元素的限制条件． (3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性． 考点 集合的基本关系(自悟通) 1.已知集合{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5，6}，则满足条件的集合A的个数为(　　) A．16 B．15 C．8 D．7 A　解析：因为{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5，6}，所以集合A中必须含有1，2两个元素，可以含有元素3，4，5，6，因此满足条件的集合A有24＝16(个). 2．(2023·新课标Ⅱ卷)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A⊆B，则a＝(　　) A．2 B．1 C． D．－1 B　解析：依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B.所以a＝1. 3．已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　) A．∅ B．S C．T D．Z C　解析：任取t∈T，则t＝4n＋1＝2·(2n)＋1，其中n∈Z，所以t∈S，故T⊆S，因此，S∩T＝T. (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、维恩图等来直观解决这类问题． 考点 集合的基本运算(精研通) 考法　集合的交、并、补运算 【例1】 (1)(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5<x3<5}，B＝{－3，－1，0，2，3}，则A∩B＝(　　) A．{－1，0} B．{2，3} C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2} (2)(2024·全国甲卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A(A∩B)＝(　　) A．{1，4，9} B．{3，4，9} C．{1，2，3} D．{2，3，5} (1)A　(2)D　解析：(1)方法一(直接法)　因为A＝{x|－5<x3<5}＝{x|－<x<}，B＝{－3，－1，0，2，3}，所以A∩B＝{－1，0}，故选A. 方法二(验证法)　因为(－3)3＝－27<－5，(－1)3＝－1∈(－5，5)，03＝0∈(－5，5)，23＝8>5，33＝27>5，所以－1∈A，0∈A，－3∉A，2∉A，3∉A，所以A∩B＝{－1，0}，故选A. (2)B＝{1，4，9，16，25，81}，A∩B＝{1，4，9}，则∁A(A∩B)＝{2，3，5}．故选D. 集合的基本运算的解题策略 (1)看元素组成．从研究集合中元素的构成入手是解决运算问题的前提． (2)对集合化简．先化简集合再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决． (3)数形结合思想的应用．常用的数形结合形式有：数轴、坐标系和维恩图． 考法2　利用集合的运算求参数的值(范围) 【例2】 (1)设集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，且A∩B＝{x|－2≤x≤1}，则a＝(　　) A．－4 B．－2 C．2 D．4 (2)(2025·山东临沂月考)已知集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，若M∩N≠∅，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1，2) B．(－∞，2] C．[－1，＋∞) D．(－1，＋∞) (1)B　(2)D　解析：(1)易知A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，因为A∩B＝{x|－2≤x≤1}，所以－＝1，解得a＝－2. (2)M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{y|y＜a}，且M∩N≠∅，结合数轴可得a＞－1. 利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法 (1)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到． (2)若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解． 提醒：在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性). 1．(2025·八省高考综合改革适应性演练)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(　　) A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{－1，0，1，4} C　解析：由题意可得A∩B＝{0，1}． 2．(2024·北京卷)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，则M∪N＝(　　) A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3} C．{x|－3<x<4} D．{x|x<4} C　解析：由集合的运算．得M∪N＝{x|－3<x<4}． 3．(2024·高考适应性测试)已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x||x－3|≤m}，若A∩B＝A，则m的最小值为________． 答案：5　解析：由A∩B＝A，故A⊆B，所以B≠∅，所以m≥0.由|x－3|≤m，得－m＋3≤x≤m＋3，故即即m≥5，即m的最小值为5. 学科网（北京）股份有限公司 $$