第8章 第1节 第❶课时 直线的倾斜角与斜率、直线方程（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第八章　平面解析几何 第一节　直线方程、两直线的位置关系 课标解读 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素． 2．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式． 3．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式). 4．能根据斜率公式判定两条直线平行或垂直． 5．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 6．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离． 知识点一　直线的方程 1．直线的倾斜角 (1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角称为θ，则称θ为这条直线的倾斜角． (2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)． 2．斜率公式 (1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α． (2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝． 3．直线方程的五种形式 (1)点斜式方程：y－y0＝k(x－x0)(不含直线x＝x0). (2)斜截式方程：y＝kx＋b(不含垂直于x轴的直线). (3)两点式方程：＝(x1≠x2，y1≠y2)(不含直线x＝x1和直线y＝y1). (4)截距式方程：＋＝1(不含垂直于坐标轴和过原点的直线). (5)一般式方程：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)(平面直角坐标系内的直线都适用). 知识点二　两条直线的位置关系 1．两条直线的相交、平行与重合 (1)若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则 l1与l2相交⇔k1≠k2； l1与l2平行⇔k1＝k2且b1≠b2； l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2． (2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 l1与l2相交⇔A1B2≠A2B1； l1与l2平行⇔A1B2＝A2B1且C1≠C2； l1与l2重合⇔A1B2＝A2B1且C1＝C2． 2．两条直线的垂直 (1)若直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1． (2)若直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0．　 3．三种距离 (1)两点间的距离：点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)，则|AB|＝． (2)点到直线的距离：P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d，d＝． (3)两平行线间的距离：直线Ax＋By＋C1＝0到直线Ax＋By＋C2＝0的距离为d，d＝． (1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意． (2)当直线与x轴不垂直时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当不确定直线的斜率是否存在时，可设直线的方程为x＝ty＋b. 识记几种特殊位置的直线方程 (1)x轴：y＝0；(2)y轴：x＝0；(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)；(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)； (5)过原点的直线：y＝kx或x＝0. 谨防4个易错点 (1)两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况． (2)两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况． (3)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式． (4)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等． 2个充要条件 (1)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行的充要条件是A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0). (2)直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是A1A2＋B1B2＝0. 一、辨析正误(在括号内打“√”或“×”) 　(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　　√　　) (2)若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　　×　　) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　　×　　) (4)经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示．(　　×　　) (5)当直线l1和l2斜率都存在时，k1＝k2⇒l1∥l2.(　　×　　) (6)如果两条直线l1和l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　×　　) (7)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为.(　　×　　) 二、版本互鉴 1．(多选)(人教B版选择性必修第一册P101 习题22B T2改编)已知A(－2, a)，B(a＋1, 3)，C(－1, 2)三点共线，则实数a的值可以为(　　) A．－ B．－1 C．1 D． 答案：AD 2．(苏教版选择性必修第一册P18 T2改编)倾斜角为135°，在y轴上的截距为－1的直线方程是(　　) A．x－y＋1＝0 B．x－y－1＝0 C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋1＝0 D　解析：因为直线的斜率为k＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0. 3．(北师大版选择性必修第一册P19 T2改编)过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　　) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 答案：A 4．(湘教版选择性必修第一册P59 例1改编)已知三点A(2，1)，B(5，2)，C(4，3)，则AB的斜率为________；BC的倾斜角为________． 答案：　 5．(人教A版选择性必修第一册P77 T3改编)已知点B(m，6)到直线3x－y＋6＝0的距离为3，则实数m的值为________． 答案：± 6．(人教B版选择性必修第一册P90 T6)已知直线l过点A(3，0)，且在两坐标轴上的截距之和为5，则直线l的方程是____________． 答案：2x＋3y－6＝0 7．(湘教版选择性必修第一册P67 T2改编)已知直线l的方程为5x－ay＋10＝0，若直线l与两坐标轴所围成的三角形面积为10，则实数a＝________． 答案：±1 8．(人教A版选择性必修第一册P79 T7改编)两条平行直线l1：2x＋3y－8＝0，l2：2x＋3y－10＝0之间的距离为________． 答案： 9．(人教A版选择性必修第一册P162 T2改编)设直线l的方程为x－y cos θ＋2＝0，则直线l的倾斜角α的范围是________． 答案： 第❶课时　直线的倾斜角与斜率、直线方程 考点 直线的倾斜角与斜率(自悟通) 1.直线2x cos α－y－3＝0(α∈)的倾斜角的取值范围是(　　) A． B． C． D． B　解析：设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，].　 又θ∈[0，π)，所以θ∈，即倾斜角的取值范围是. 2．(2025·安徽宿州模拟)若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　) A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2 C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2 D　解析：因为直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0<k3<k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1<0，所以k1<k3<k2. 3．已知点A(1，3)，B(－2，－1).若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，则k的取值范围是(　　) A．k≥ B．k≤－2 C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤ D　解析：直线l：y＝k(x－2)＋1过定点P(2，1).∵kPA＝＝－2，kPB＝＝，又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB相交，∴－2≤k≤. (1)斜率的两种求法：定义法、斜率公式法． (2)倾斜角和斜率范围求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tan α的单调性． 考点 直线方程(自悟通) 1.经过点P(2，－3)，且倾斜角为45°的直线方程为(　　) A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋5＝0 D．x－y－5＝0 D　解析：倾斜角为45°的直线的斜率为tan 45°＝1.又该直线经过点P(2，－3)，所以用点斜式求得直线的方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0. 2．经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3，2)的直线方程为________． 答案：2x＋3y－5＝0　解析：联立解得∴直线l1，l2的交点为(1，1).∵所求直线的一个方向向量v＝(－3，2)，∴所求直线的斜率k＝－.则所求直线的方程为y－1＝－(x－1)，即2x＋3y－5＝0. 3．设直线l的方程为(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0. (1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________； (2)若直线l的斜率为1，则m＝________． 答案：(1)－　(2)－2　解析：(1)由直线l在x轴上的截距为－3，得直线过点(－3，0)，代入方程，得(m2－2m－3)×(－3)－0＋6－2m＝0，即3m2－4m－15＝0，解得m＝3或m＝－，经检验可知当m＝3时，直线方程为y＝0，不符合题意，舍去，所以m＝－. (2)由直线l的斜率为1，得直线方程中x，y的系数互为相反数，且不为0，所以(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝0，解得m＝－2或m＝－1，当m＝－1时，2m2＋m－1＝0，不符合题意，舍去，所以m＝－2. 求直线方程的方法 (1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程． (2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程． 考点 直线方程的综合应用(精研通) 考法1　直线过定点问题 【例1】 已知k∈R，写出以下动直线所过的定点坐标： (1)若直线方程为y＝kx＋3，则直线过定点________； (2)若直线方程为y＝kx＋3k，则直线过定点________； (3)若直线方程为x＝ky＋3，则直线过定点________． 答案：(1)(0，3)　(2)(－3，0)　(3)(3，0)　解析：(1)当x＝0时，y＝3，所以直线过定点(0，3). (2)直线方程可化为y＝k(x＋3)，故直线过定点(－3，0). (3)当y＝0时，x＝3，所以直线过定点(3，0). 考法2　与直线有关的最值问题 【例2】 (1)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________． (2)已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程． (1)5　解析：易得A(0，0)，B(1，3).设P(x，y)，则消去m得x2＋y2－x－3y＝0，所以点P在以AB为直径的圆上，PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，|PA|×|PB|≤＝5. (2)解：方法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，则可得A(，0)，B(0，1－2k). ∵直线l与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点， ∴⇒k<0. 于是S△AOB＝|OA|·|OB|＝··(1－2k)＝(4－－4k)≥＝4. 当且仅当－＝－4k，即k＝－时等号成立，△AOB的面积最小值为4， 此时，直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0. 方法二　设所求直线l的方程为＋＝1(a>0，b>0)，则＋＝1. 又＋≥2⇒ab≥4，当且仅当＝＝，即a＝4，b＝2时，等号成立，△AOB的面积最小值为4. 此时，直线l的方程是＋＝1，即x＋2y－4＝0. (1)直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标． (2)求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或均值不等式求解． 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R). (1)证明：直线l过定点； (2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围． (1)证明：直线l的方程可化为k(x＋2)＋(1－y)＝0， 令解得∴无论k取何值，直线l总过定点(－2，1). (2)解：由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有解得k>0； 当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$