第8章 第1节 第❷课时 两条直线的位置关系（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教B版）

第❷课时　两条直线的位置关系 考点 两条直线平行与垂直(自悟通) 1.已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　) A．－1 B．2 C．0或－2 D．－1或2 D　解析：方法一　∵直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在．又∵l1∥l2，∴＝－，∴a＝－1或a＝2.又两条直线在y轴上的截距不相等．∴a＝－1或a＝2时满足两条直线平行． 方法二　由A1B2－A2B1＝0，得(a－1)a－1×2＝0，解得a＝－1或a＝2.此时A1C2－A2C1＝(a－1)×3－1×1≠0.所以a＝－1或a＝2. 2．(2025·浙江杭州模拟)已知直线l1的方程为x＋ay－2＝0，直线l2的方程为2x－y＋1＝0，若l1⊥l2，则直线l1与l2的交点坐标为(　　) A．(－，－) B．(0，1) C．(2，5) D．(，) B　解析：因为直线l1的方程为x＋ay－2＝0，直线l2的方程为2x－y＋1＝0，且l1⊥l2，所以2－a＝0，解得a＝2，所以直线l1的方程为x＋2y－2＝0，由解得所以直线l1与l2的交点坐标为(0，1).故选B. 3．已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　　) A． B． C． D． D　解析：由题意，得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0平行，或直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．当直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝或m＝－；当直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点(－1，－)时，解得m＝－.所以实数m的取值集合为. (1)当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑斜率存在的一般情况，也要考虑斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． (2)在判断两直线的平行、垂直时，可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论． 考点 两条直线的交点与距离问题(自悟通) 1.(2025·江苏苏州模拟)若直线5x＋4y＝2m＋1与直线2x＋3y＝m的交点在第四象限，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B． C．(－∞，－3) D．(－，2) D　解析：联立解得因为交点在第四象限，所以解得－<m<2.故选D. 2．(2025·广东广州模拟)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________． 答案：[0，10]　解析：由题意，得点P到直线4x－3y－1＝0的距离为＝.又≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]. 3．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________． 答案：　解析：因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0.由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值为. 利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等． 考点 对称问题(精研通) 考法1　中心对称问题 【例1】 直线x－2y－3＝0关于定点M(－2，1)对称的直线方程是____________． 答案：x－2y＋11＝0　解析：设所求直线上任一点(x，y)，则关于M(－2，1)的对称点(－4－x，2－y)在已知直线上，∴所求直线方程为(－4－x)－2(2－y)－3＝0，即x－2y＋11＝0. 过点P(0，1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程． 解：设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 考法2　轴对称问题 【例2】 (1)已知点A的坐标为(－4，4)，直线l的方程为3x＋y－2＝0，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________． (2)直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是________． 答案：(1)(2，6)　(2)x－2y＋3＝0　解析：(1)设点A′的坐标为(x，y).由题意可知解得所以点A′的坐标为(2，6). (2)设所求直线上任意一点P(x，y)，点P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，由得因为点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，所以2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0. 1．(2024·广东潮州二模)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为B(3，4)，若将军从点A(－2，0)处出发，河岸线所在直线方程为y＝x，则“将军饮马”的最短总路程为(　　) A．5 B．3 C．45 D．5 B　解析：因为点A(－2，0)关于直线y＝x的对称点为A′(0，－2)，所以|A′B|即为“将军饮马”的最短总路程，则“将军饮马”的最短总路程为|A′B|＝＝3.故选B. 2．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为(　　) A．(－2，4) B．(－2，－4) C．(2，4) D．(2，－4) C　解析：设A(－4，2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y).则解得 ∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.又知点C在直线y＝2x上，联立解得则C(2，4). 3．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2过定点(　　) A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) B　解析：由题知直线l1恒过定点(4，0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于(2，1)对称的点为(4，0)，故直线l2所过定点为(0，2).故选B. [分级练(50)见P390] 学科网（北京）股份有限公司 $$