精品解析：云南省临沧市2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟卷（一）数学试题

临沧市2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟检测（一） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 第五批实施新高考的8个省份将于2025年迎来新高考，新高考模式下语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选科模式，若今年高一的甲、乙两名同学，在四选二科目中，恰有一科相同，则他们四选二科目的选科方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 96种 4. 已知D为的边的中点，O为上一点，且满足，设，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上的最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点都在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A B. C. D. 8. 已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确是（ ） A. 数据2，1，6，3，4，5，4，1，3的下四分位数是2 B. 若数据的标准差为s，则数据的标准差为 C. 随机变量，若，则 D. 随机变量，若，则 10. 已知函数的图象关于点对称，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 当时， D. 若在上有最小值，则 11. 已知曲线 . 下列结论正确的是（ ） A. 曲线 为中心对称图形 B. 曲线 与直线 有两个交点 C. 曲线 恰好经过两个整点 (即横、纵坐标均为整数的点) D. 曲线 上任意两点 ，当 时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角，满足，，则__________. 13. 已知数列中，，，，则数列的通项公式为______． 14. 有一个密码锁，它的密码是由三个数字组成.只有当我们正确输入每个位置的数字时，这个密码锁才能够打开.现在我们并不知道密码是多少，当输入249时，提示1个数字正确，并且位置正确；当输入235时，提示1个数字正确，但位置错误；当输入962时，提示2个数字正确，但位置全错.则正确的密码为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知. （1）求B的值； （2）若b=2，求面积的取值范围. 16 已知函数，. （1）求实数a的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围. 17. 如图所示，在四棱锥中，已知，，底面，平面平面. （1）求点到平面的距离； （2）证明：平面； （3）若，求二面角的余弦值. 18. 是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训．培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰． （1）若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率； （2）已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望． 19. 已知椭圆过点，右焦点． （1）求椭圆E方程； （2）设直线与椭圆E交于P，A两点，过点作轴，垂足为点C，直线交椭圆E于另一点B． （i）证明：． （ⅱ）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沧市2025年普通高等学校招生全国统一考试模拟检测（一） 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合， ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合，再利用交集的定义求解. 【详解】集合，则， 所以. 故选：D 2. 已知复数（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用共轭复数的概念和复数的定义可得出结果. 【详解】因为，所以，故复数的虚部为. 故选：A. 3. 第五批实施新高考的8个省份将于2025年迎来新高考，新高考模式下语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选科模式，若今年高一的甲、乙两名同学，在四选二科目中，恰有一科相同，则他们四选二科目的选科方式共有（ ） A. 12种 B. 24种 C. 48种 D. 96种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，结合分步计数原理解决即可. 【详解】先确定相同的科目，有4种情况， 再从剩下3个科目中，甲、乙各选一个不同的科目，有种情况， 则他们四选二科目的选科方式共有种. 故选：B. 4. 已知D为的边的中点，O为上一点，且满足，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意作图，然后利用向量的线性运算求解即可. 【详解】如图所示，因为D为的边的中点，所以， 因为，所以， ． 故选：B. 5. 已知函数，，若曲线，存在公切线，则实数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先可判断不为，设出公切线与函数的切点，根据导数的几何意义可得切线方程，再与曲线联立，利用判别式为，可得与的关系，结合导数工具可得解. 【详解】当时，，，不符合题意； 设的图像与公切线的切点为，， 由，则切线斜率， 切线方程，即， 又切线与， 联立， 可得， 即， 可得， 设，， ，， 又函数在上单调递减，且， 即有当时，，即，单调递增； 当时，，即，单调递减； 所以， 即，的最大值为， 故选：A. 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 6. 已知函数的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法： ①在区间上单调递减 ②的图象可由的图象向左平移个单位得到 ③的对称轴为 ④在区间上最小值为 以上四个说法中，正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据题中给定图象可得函数解析式，然后利用正弦函数的性质和图象变换对各个选项进行判断即可． 【详解】由图可知，，即，则， 此时，又， 则，，即，， 又，所以，则. 对于①，当时，， 因为函数在上单调递减， 所以在区间上单调递减，故①正确； 对于②，的图象向左平移得到，故②正确； 对于③，令，解得， 所以的对称轴为，故③错误； 对于④，当时，，则， 则，则在区间上的最小值为，故④正确. 故选：C. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点都在椭圆上，若，且，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设直线，直线代入椭圆方程，消元后得一元二次方程，计算出两根和与积，再由题设条件，求出，和，代入中，利用韦达定理代入，化简即得， ，由的齐次不等式，即可求得离心率的取值范围. 【详解】依题意知，， 如图，由，可知三点共线，三点共线. 设，，，直线，直线, 由消去，可得， 则，同理可得，显然，，， 由代入坐标可得：，即得， 同理由可得，，由，可得， 同理，，故 （*）， 又点在椭圆上，则有，则（*）式可化成： ，解得，故得， 又，故的离心率的取值范围为. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求椭圆离心率（或范围）的方法有三： （1）根据已知条件列方程组，解出的值，直接利用离心率公式求解即可； （2）根据已知条件得到一个关于（或）的齐次方程（或不等式），然后转化为关于离心率的方程（或不等式）求解； （3）因为离心率是比值，故有时也可以利用特殊值法，例如令，求出相应的值，进而求出离心率. 8. 已知两个不相等的正实数x，y满足，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用同构法与构造函数，将题设条件转化为，再利用导数研究函数的图象与性质，结合图像即可排除AD，利用特殊值计算即可排除B，再利用极值点偏移的解决方法即可判断C. 【详解】因为，， 所以，则，即， 令，则，， 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增, 所以， 对于，总有，即在上单调递增， 故，即在上恒成立， 所以对于，对于任意，在上取， 则， 所以当且趋向于0时，趋向于无穷大， 当趋向于无穷大时，趋向于无穷大，趋向于0，故趋向于无穷大， 所以的大致图像如图所示： . 对于AD，因为，，不妨设， 由图象可知，，故，故AD错误； 对于B，假设成立，取， 则，显然不满足，故B错误； 对于C，令，又， 则， 所以在上单调递增， 又，则，即， 又，则， 因为，所以，又，在上单调递增， 所以，即，故C正确. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于利用同构法转化等式，从而构造函数，并研究其图像的性质，由此判断得解. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 数据2，1，6，3，4，5，4，1，3的下四分位数是2 B. 若数据的标准差为s，则数据的标准差为 C. 随机变量，若，则 D. 随机变量，若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A，由下四分位数为分位数可求；对于B，由数据标准差的线性关系可判断；对于C，根据正态分布的对称性可求概率；对于D，由二项分布方差公式可求，再计算期望即可. 【详解】对于A中，数据从小到大排列为，共有9个数据， 因为，所以数据的下四分位数为第3个数据，即为2，所以A正确； 对于B中，数据的标准差为，由数据方差的性质， 可得数据标准差为，所以B正确； 对于C中，随机变量服从正态分布，且， 根据正态分布曲线的对称性，可得，所以C正确； 对于D中，随机变量服从二项分布，且， 可得，解得或， 当时，可得； 当时，可得，所以D错误． 故选：ABC. 10. 已知函数的图象关于点对称，则（ ） A. B. 是的极小值点 C. 当时， D. 若在上有最小值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由函数对称性及可得，据此可判断选项正误；对于B，由A分析，可得，然后由导数知识可判断选项正误；对于C，由题及函数单调性可判断选项正误；对于D，由B分析可判断选项正误. 【详解】对于A，因为函数的图象关于点对称，且， 所以，解得， 所以，A正确； 对于B，由A可得， 令0，得或；令，得， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以是函数的极小值点，B错误； 对于C，当时，，，， 又由B分析可知函数在区间上单调递减， 所以在区间上单调递减，，C正确； 对于D，由BC分析可知，在上有最小值， 则，D正确. 故选：ACD. 11. 已知曲线 . 下列结论正确的是（ ） A. 曲线 为中心对称图形 B. 曲线 与直线 有两个交点 C. 曲线 恰好经过两个整点 (即横、纵坐标均为整数的点) D. 曲线 上任意两点 ，当 时， 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，假设曲线的对称中心为，将一对点坐标代入曲线方程，化简通过对照系数，如果能求出，则说明曲线为中心对称图形；对于B，联立方程求解即可；对于C，对方程进行变形，通过分析可知必须为整数，故或，对应的整数点有两个；对于D，三点共线时取得最小值，因此先求出的取值范围即可判断④. 【详解】对于A，假设曲线的对称中心为，设点是曲线上的任意一点， 其关于点的对称点为，代入方程： ， 整理得， 又，所以，，解得， 说明曲线关于点对称，故A正确； 对于B，联立与， 消去并整理可得，此时， 故曲线与直线有一个交点，故B错误； 对于C，当时，原方程不成立，故曲线可变形为， 若横、纵坐标均为整数，则必须为整数，故或； 当时，，当时，， 故曲线恰好经过两个整点和，故C正确； 对于D，由③可知，设， 因为， 令，，，， ， 当且仅当即时等号成立， 同理， 由①知曲线关于点成中心对称， 所以当和都最小时，三点共线， 此时最小，所以，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知角，满足，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和差的余弦公式将题目中的两个等式展开，列方程组求解. 【详解】由①， ②， 将①②列成方程组可解得，. 则. 故答案为：. 13. 已知数列中，，，，则数列的通项公式为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合给定递推关系构造等比数列，进而求出即可. 【详解】由，得， 由于，因此是首项为，公比为的等比数列， 从而可得，则． 故答案为：． 14. 有一个密码锁，它的密码是由三个数字组成.只有当我们正确输入每个位置的数字时，这个密码锁才能够打开.现在我们并不知道密码是多少，当输入249时，提示1个数字正确，并且位置正确；当输入235时，提示1个数字正确，但位置错误；当输入962时，提示2个数字正确，但位置全错.则正确的密码为________. 【答案】659 【解析】 【分析】根据所给数字的特征判断各个数位的数字. 【详解】题中给出三个信息： ①当输入249时，提示1个数字正确，并且位置正确； ②当输入235时，提示1个数字正确，但位置错误； ③当输入962时，提示2个数字正确，但位置全错， 由①②知，密码中不含数字2； 由③知，密码中含数字9和6，9不在百位，6不在十位； 由①知，密码中也不含数字4，且9在个位数，6在百位； 由②知，不可能有数字3，所以有数字5，且5在十位. 所以密码为659. 故答案为：659. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在锐角中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知. （1）求B的值； （2）若b=2，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、余弦定理进行边角转换即可. （2）由正弦定理、三角形面积公式结合三角恒等变换得，结合角的范围即可得解. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 即，由余弦定理得， 因为，所以． 【小问2详解】 在锐角中，，记的面积为． 由正弦定理得，即． 所以 ． 因为在锐角中，，所以，， 解得，则，所以， 所以，所以面积的． 16. 已知函数，. （1）求实数a的值； （2）若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到方程，求出； （2）参变分离，令，得到的单调性，从而得到，得到答案. 【小问1详解】 ，解得； 【小问2详解】 ，即， ∴， 设， 由于在上单调递减， 又在上单调递增，且， 故在上，单调递减， 所以， 故. 17. 如图所示，在四棱锥中，已知，，底面，平面平面. （1）求点到平面的距离； （2）证明：平面； （3）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）过点作于，垂足为点，即证平面，则线段即为点到平面的距离，在中，计算即可； （2）由（1）可知平面，得，由底面，得，利用线面垂直的判定定理即可得证； （3）作于，连接，即证，则即为二面角的平面角，在计算即可. 【小问1详解】 过点作于，垂足为点， 由平面平面，平面，平面平面，，得平面，则线段即为点到平面的距离， 由底面，平面，得，即为直角三角形， 在中，，，，， 故点到平面的距离为； 【小问2详解】 由（1）可知平面，又平面，得， 由底面，平面，得， 由，，、平面，，得平面； 【小问3详解】 作于，连接， 由底面，、平面，得，， 由，，、平面，，得平面，又平面，得， 则即为二面角的平面角. 由，，得，， 在Rt中，，. 故二面角的余弦值为. 18. 是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用．为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训．培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰． （1）若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率； （2）已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析，数学期望为元． 【解析】 【分析】（1）由题知的取值为，而甲进入决赛有可能答3或4道题，利用组合数计算概率即可. （2）由题可知的取值为，再利用二项分布计算概率，写出分布列，计算期望即可. 【小问1详解】 记为甲在预赛答对的题数，则的取值为， ，， 记甲进入决赛为事件， 则甲进入决赛的概率为． 【小问2详解】 由题可知的取值为， 所以，， ，， 所以的分布列如下： （元）， 即甲获得奖金的数学期望为元． 19. 已知椭圆过点，右焦点． （1）求椭圆E的方程； （2）设直线与椭圆E交于P，A两点，过点作轴，垂足为点C，直线交椭圆E于另一点B． （i）证明：． （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题意求出，即可得到椭圆方程； （2）（i）根据椭圆对称性设点的坐标为，则点的坐标为，设，利用点差法可得出，再由斜率公式可得出，代入可得出即可证明； （ⅱ）由对称性不妨设，在第一象限，联立曲线方程求出，利用进行求解即可. 【小问1详解】 由题意椭圆右焦点可得， 过点可得， 由整理得，得， 所以，椭圆的方程为． 【小问2详解】 (i)证明：直线与椭圆交于，两点，设P为第一象限点，，轴，如图，点的坐标为，点的坐标为， 设，则有，， 两式相减得：， 又，，， 又，， 又，，因此，． (ii)解：由对称性不妨设，在第一象限， 由与椭圆联立得， 所以，则． 设直线与倾斜角分别为，则， 所以， 由(i)，， 令，则 ， 当时，当时， 即在上单调递增，在上单调递减，因此， 即的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $