(七)双曲线-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修1同步周测卷（新高考湘教版）

null高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第一册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第一册（七） 命题要素一览表 注： 1,能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ.推理论证能力Ⅲ，运算求解能力下，空间想象能力V.数据处理能力 T.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模①直观想象⊙数学运算①数据分析 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 分 知识点 (主题内容) ② ③④ 档次系数 1 选择题 5 求双曲线的渐近线 方程 0.80 2 选择题 5 由双曲线的定义求 0.72 轨迹 多 3 选择题 利用双曲线的定义求 5 最值 么 0.60 选择题 5 双曲线的焦点三角形 4 0.55 面积 务 5 选择题 5 双曲线的光学性质 中 0.45 6 选择题 求双曲线的离心率 中 0.30 7 选择题 二元方程与圆锥曲线 6 0.50 的关系 8 选择题 6 双曲线与椭圆的综合 难0.28 填空题 5 双曲线的简单性质 多 0.71 向量与双曲线的综合， 10 填空题 0.35 求离心案 11 解答题 双曲线的方程与性质 13 米 0.60 的综合 双曲线的中点弦问题， 12 解答题 15 由双曲线上点的范围 中0.5 求最值 13 解答题 20 双曲线的弦长问题，定 难 0.28 点问题 ·25· ·数学（湘教版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 香考誉案及解析 一、选择题 1.C【解析】由题意可得n=5-一9=16，故该双曲线的 渐近线方程为y=士严。=士号，故选C :Aa,0),MALr轴，又∠MAN=晋∠AF= 2.A【解析】由已知可得，|PA|一|PB||=2k<4k 号，则an∠NAF=尽=M=会b=2yEa,则 =|AB|,又因为A,B两地听到炮弹爆炸声的时问 相差2秒，所以炮弹爆炸点P的轨迹可能是以A,B 2=a十6=13a2,∴e=￡=/13.故选B. 为焦点的双曲线的一支.故选A. 3.C【解析】由题意可设双曲线的方程为x2一y2=a2, a>0,右焦点为F:,则2a=2=4,解得a=√瓦，则 F(一2,0)，F(2,0),由双曲线的定义可得|PF| |PF|=2a=2√2，则|PF|-|PA|=22+ |PF:|-|PA|≤2E+|AF:|=2E+1,当F, A,P三点共线时，取等号，则|PF|一|PA|的最大 值为2√2+1.故选C. 二、选择题 7.ACD 【解析】对于A,若t∈(4，十o),则 4.D【解析】由题意可知|FF|=2X√+45=14， 1PF-PE:1=4=号1PE:,解得PF=10, 一1>0则曲线为焦点在y轴上的双商线，故A正 14-1<0 |PF:|=6,在△PFF:中，由余弦定理可知 4一t>0 cos∠E,PF,=10+614=-↓ 确：对于B,若曲线是椭圆，则t一1>0，解得1<t 2×10×6 ,义0<∠FPF 4-t≠-1 <,所以n∠R,PR,=,所以△PF,R的面积S 2 <4且：≠号，故B错误：对子C依题意得 含×10X6×号=15v5.故选D (1一>0·解得<1，故C正确：对于D,若曲线是焦 1-10, 5,D【解析】因为e=二=2，所以c=2a,所以6= 点在)箱上的双南线，则仁。解得>4：此时 √一云=a,不妨设双曲线的标准方程为x一兰 3 =11,=-4.e=2-5则e==√ =1,|PF:|=m(m>0),则|PF|=m+2,所以 m+(m+2)2=4,解得m=√7-1或m=一√7-1 =+2,令)=√层+2，当>4时 (含去.所以o∠RRP=P=.故 ∫(t)单调递增，当t趋向于十∞时，f(t)趋向于√反， 选D. 所以f(t)∈(1√2)，即e∈(12)，故D正确.故 选ACD. 6.B【解析】易知双曲线的渐近线方程为y=士 不妨设M,N位于一，三象限的渐近线上，且以F:F 8AB【解析】对于A,设黄金椭圆”的方程为后十芳 =1(a>b>0),椭圆上的点P(x地)，焦点F(一c 为直径的圆的方程为x十y=c2,联立〈 a 0,F(c,0).由号+答=1，可得对=谷(1-吾) r+y=c ·26 高二周测卷 ·数学（湘教版）选择性必修第一册· Pi=(-c-x,-),P=(-,-),又因 三、填空题 为“黄金椭圆“的离心率二=，所以（台）广 9.9【解析】因为2c=8,所以c=4,所以a=2一b= 16一12=4，解得a=2,根据双曲线定义可得 (5）-3e-35。,所以Pm.p尿 1IMF|-MF:|=2a=4,即|5-|MF:1|=4,解 得|MF|=1或|MF:|=9,当IMF:|=1时， +-=+8-）--+。-2 MF|十|MF:|=6<8,不合题意，故舍去；当 |MF|=9时，MF|+|MF:|=14>8,满足题意. =3-E+(5-2)a>0,所以“黄金椭圆”上不存 2 综上，MF=9, 在一点，与两焦点的连线互相垂直，故A正确：对于 10.5 【解折】双曲线C的斋近线方程为y一士名，根 B因为双曲线号一若=1(a>0,6b>0)是“黄金双曲 据对称性不妨设过右焦点F(c,0)且垂直于渐近线 线“，所以e=三-E+1,即c=5+4,则公=c y=名x的直线的方程为y=-号（红一c),联立 2 2 。=(5中)'-=史=a,故B正确：对于C 2 ,得A(任，)，设B(),由 6 以BC的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系， y= B萨=3A求，得(c-,-)=3(c-,-空），即 a=3c-3a! =-2+3a 解得 y3ab =3ab c B(-2c+3a,3a),因为点B在渐近线y=-b 设△ABC的边长为2，以B,C为焦点，且过D,E的椭 圆方程设为后+若-1(a>6>0),所以1cD1=厅， 上，所以一台（-+） ,整理得c2=3a2,即 e=3,所以e=√. 所以椭圆的离心率为先-TreDEl后 BC 2 四、解答题 11.解：(1)设双曲线C的方程为mx十ny2=1, √3一1，故C错误：对于D,以AD的中点为原点，建立 如图所示的直角坐标系， 6n=1 2 则 ,解得 n+9n=1 6 所以双曲线C的方程为号一苦=山。 (6分) (2)由(1)可知双曲线C的渐近线方程为y=士√3x 选①.设双曲线E的标准方程为号-若=1(a>0, b>0), 设正六边形ABCDEF的边长为2，以A,D为焦点， b= 且过B,C,B,F的双曲线方程设为号-芳-1 a 所以 2e=4 ,解得a=1,b=√5， (10分) (a>0,b>0),则|AD|=4,|FD川=23，所以双曲 c=a+b 线的离心率为兰=DP团23—2 AD 所以双曲线E的实轴长为2. (13分) 1,故D错误，故选AB 选@，设双曲线E的标准方程为兰-君 a-F=1(a>0, ·27· ·数学（湘教版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 b>0), 13.解：)由题设，易知直线1的方程为y=子r 3 2 设A(x1y),B(y) 所以 2c=4 ,解得a=√5，b=1, (10分) x2-y=1 c=a+b 联立 13,得3x2+6r-13=0,4>0. 所以双曲线E的实轴长为2√3. (13分) 12.解：(1)设M(x。,),将点M(xy%)代人双曲线 所以x十x=一2，x1x= 13 3 (4分) 方程得君一兰=1 所以|AB|=√+k1x1-|= √+(). 所以y=2x-2>≥0，所以x≤-1或x≥1， (2分) √-2)-4×(-)=4厘 3 (6分) 所以|MN|=(x。-3)+=(x。-3)2+2-2 (2)因为∠MPA=∠MPB, =3(x0-1)5+4, 所以cos∠MPA=cos∠MPB, 当x=1时，|MN|2的最小值为4， (5分) PM.PA PM.P店 所以|MN|的最小值为2. (6分) 所以一 IPMI PA PMIPBI (2)当直线（垂直于x轴时，直线1的方程为x=1, 所以 PM.PA IPAL 此时直线（与双曲线C只有一个交点，不满足题意： M·PBPB (8分) 由∠MPA=∠MPB及角平分线定理得 PA 当直线1不垂直于x轴时，斜率存在， 设A(x1,”),B(), =IAMI MBI AM 所以 所以P立p PM.PBMBI (10分) 设A(x1y),B(y),直线（的方程为y=kx 两式作差得(-)-（学-兰）=0， (k+1),易知-1<k<1, 1x2-y=1 整理得矿一疗=兰一兰 联立 y=kr-(k+1) 得(1-k)x2十2k(k十1)x-k-2k-2=0. 即（红-）（十）=号（一）(+ △=8(k十1)>0： 若P(1,1)是线段AB的中点，则x1十x=2,十 所以1十x=-2k(k十1业， k+2k+2 3为=2， 1一k2 1一k2 (12分) 则工一4=交（y一)： 因为PM=(1-t,1-t),PA=(x1-ty-t+2), 所以直线1的斜率k=二兰=2， (12分) pB=(x-ty-+2): x1一r: 所以直线1的方程为y=2(x一1)十1， 所以PM.PA=(1-t)(x1+y-21+2)=(1 即y=2x-1, t)(x十kx1-k-21+1), (y=2x-1 PM.PB=(1-t)(m+-2t+2)=(1-t)(x+ 联立 x-g=1 得2x2-4x十3=0，（￥） kx:-k-2t+1), (14分) 2 所以5十x二-21十1_1一五 则△=（一4）2一4×2×3=一8<0，方程(“)无解， x+kx-k-21+12-1 直线1与双曲线C尤交点， 整理得(k十1)xx一(k十t)(十x2)十k十2t-1 所以点P不是线段AB的中点， (15分) =0, 将韦达公式代入得号=0， ·28· 所以1=名， y (18分) 所以存在定点P(号，-号)，使得∠MPA= y ∠MPB. (20分) M