专题1 圆（解决问题讲义）数学北师大版六年级上册

第一单元 圆 1.圆的直径与半径的应用： ----在同圆或等圆中，圆的直径等于半径的2倍，反之圆的半径是直径的一半； ----字母表示直径与半径的关系：d=2r，r=d÷2。 2.圆的周长计算与应用： ----掌握圆周长计算公式：C=πd，C=2πr； ----灵活掌握已知周长求直径或半径的公式：d=C÷π，r=C÷π÷2 ； ----重点会运用圆的周长公式灵活解决实际问题。 3.半圆周长计算与应用： ----半圆周长分为直径部分和半圆弧长，半圆周长公式：C半=πr+2r=（π+2）r； ----灵活掌握半圆周长公式：r=C半÷（π+2）； ----重点会运用半圆周长相关计算公式解决实际问题。 4.组合图形的周长与应用： ----根据周长意义，围成图形一圈的长度，先把组合图形的周长拆分各部分，再进行组合； ----灵活掌握组合图形周长计算方法，可以运用转化法、平移法等方法。 5. 圆周长与长方形周长： ----掌握滚动法，绕绳法，公式法求圆的周长； ----理解并掌握圆周长公式推导过程，并解决相关的解决问题。 6.圆的面积公式的推导与应用： ----掌握圆面积公式的推导过程并解决相关的实际问题； ----熟悉转化思想解题思路与方法。 7.圆面积公式计算与应用： ----圆的面积公式：S=πr2，已知r、d、C都可以求出圆面积； ----灵活掌握圆的面积计算公式：r2=S÷π， 8. 圆环面积计算与应用： ----熟练掌握圆环面积计算公式：S环=πR2-πr2=π（R2-r2） ----掌握外半径，内半径与环宽之间的关系：R=r+环宽 9.组合图形面积计算与应用： ----用加减法求组合图形的面积 ----掌握一些不规则的图形面积计算方法，如割补法，旋转法，分割法等方法。 10. 整体法求圆与圆环面积。 ----运用整体思想r2求圆面积。 ----运用整体思想求圆环面积，总结运用R2-r2计算圆环面积。 类型1 圆的直径与半径的应用 典型例题1： 如图，圆的半径和直径分别是多少厘米？ 思路分析： 长方形的宽等于圆的 ，为3厘米，所以圆的直径是 厘米。 答题区： 变式训练： 如图中，长方形中有两个大小相等的圆，已知圆的半径是1cm，长方形的周长是多少厘米？ 类型2 圆的周长计算与应用 典型例题2： 一座台钟，钟面上分针的长度是 1dm，这根分针走 60 分钟，针尖走过的路程是多少? 思路分析： 钟面上的分针针尖顺时针做圆周运动，分针的长度1分米相当于圆的 ，60分钟分针针尖走 了 圈，所以计算针尖走过的路程就是求半径为1分米的 。 运用周长公式计算：C=2πr=2×3.14× = （分米） 答题区： 变式训练： 1.惠民广场前有一个直径 40 米的喷水池，小强每天早晨锻炼身体都会绕着喷水池跑5圈，他每天早晨跑步多少米? 2.你能计算出下面图形的周长吗？ 类型3 半圆周长计算与应用 典型例题3： 已知一个半圆形的草坪的周长是20.7米，则这草坪的半径是多少米？ 思路分析： 此题已知半圆周长，求半径。 半圆周长由两部分围成，分别是圆的 和圆周长的 ，用字母表示公式为C半=πr+2r=（π+2）r，反之r=C半÷ 。 列式：r=20.7÷（ + ）= （米） 答题区： 变式训练： 下图是一个长 10dm、宽 4dm 的长方形塑料板，现在要把它裁剪成一个最大的半圆，并在周围包上金属条，至少需要多少分米的金属条?(接头处忽略不计) 类型4 组合图形周长与应用 典型例题4： 优秀毕业生为母校捐资修建了一个配有塑胶跑道的运动场。如图，两头是半圆，中间是一个长75米,宽 60 米的长方形，这个运动场的周长是多少米？ 思路分析： 次塑胶跑道由四部分围成，分别是长方形的两条长和两条弧，所以跑道的周长=一个圆 +75×2。列式：π× + ×2= （米） 答题区： 变式训练： 1.如图是一个小型运动场地，中间是长方形，两端均是半圆形。乐乐沿外圈跑，东东沿内圈跑，他们跑一圈的路程相差多远? 2.如图是一个蘑菇型房子外形图，它是由半圆和一共长方形组成的，求它的周长。（单位：m） 类型5 圆周长与长方形周长 典型例题5： 在推导圆面积公式时，运用剪拼法，把圆转化为近似的长方形，已知长方形的周长比原来多8厘米，那么圆的周长是多少厘米？ 思路分析： 通过剪拼法把圆转化为近似的长方形，长方形的长相当于圆周长的 ，用字母 表示；宽相当于圆的 ，用字母 表示。 所以长方形的周长=πr+πr+r+r=2πr+2r，则长方形的周长比圆周长2πr长了 。 所以r= ÷ = （厘米），再运用C=2πr计算出圆周长即可。 答题区： 变式训练： 已知圆的面积等于长方形的面积，圆的直径是4厘米，那么长方形的周长是多少厘米？ 类型6 圆面积公式推导与应用 典型例题6： 在推导圆面积公式时，运用剪拼法，把圆转化为近似的长方形，已知长方形的周长比原来多10厘米，那么圆的面积是多少平方厘米？ 思路分析： 通过剪拼法把圆转化为近似的长方形，长方形的长相当于圆周长的 ，用字母 表示；宽相当于圆的 ，用字母 表示。 所以长方形的周长=πr+πr+r+r=2πr+2r，则长方形的周长比圆周长2πr长了 。 所以r= ÷ =（厘米），再运用S=πr2计算出圆额面积。 答题区： 变式训练： 已知圆的面积等于长方形的面积，圆的周长是20厘米，那么阴影部分周长是多少厘米？ 类型7 圆面积公式计算与应用 典型例题7： 一座体育馆的围墙是圆形的。小强沿着围墙走一圈，一共走了628步。已知小强的平均步长是 0.6米，这座体育馆的占地面积大约是多少平方米? 思路分析： 628步的长度等于圆的 ，周长= × = （米），再运用周长公式C=2πr灵活计算出圆的半径，r= ÷3.14÷ = （米），求出半径后，再运用圆面积计算公式计算：S=πr2=3.14× = （平方米） 答题区： 变式训练： 每个月阳光小学的课后服务活动都进行一次展示，展示的舞台是圆形的，李老师在布置场地时用125.6米长的彩旗围了一圈，这个展示舞台的面积是多少平方米？ 类型8 圆环面积计算与应用 典型例题8： 有一个周长是 56.52 米的圆形池塘，现在要在池塘外用花砖铺一圈1米宽的小路，所铺花砖的面积是多少? 思路分析： 圆环面积公式：S环= 。先求出池塘半径，即r=C÷π÷2=56.52÷3.14÷2 = （米）；再求出外半径，R=r+环宽= + = （米）；最后运用圆环面积公式计算出环形面积。 答题区： 变式训练： 如图是一块玉璧，外直径为18cm，内直径为7cm。这块玉璧的面积是多少？ 类型9 组合图形面积计算与应用 典型例题9： 如图，小明家有张可以折叠成正方形的圆形餐桌。直径是1.2m。这张餐桌折叠成正方形后面积减少了多少平方米？ 思路分析： 此题为外圆内方题型。 减少的面积= 的面积- 的面积； 正方形的对角线的长度等于圆的 ，正方形的面积等于对角线×对角线÷2，列式： × ÷2= （平方米） 圆的面积S=πr2=3.14× = （平方米） 所以减少的面积为 - = （平方米） 答题区： 变式训练： 你能在下面的正方形中画一个最大的圆吗？剪去最大的圆，剩下部分的面积是多少？ 类型10 整体法计算圆与圆环面积 典型例题10： 如图，已知正方形的面积是20平方分米，那么阴影部分面积是多少平方分米? 思路分析： 本题考查整体思想求解圆的面积： 要求圆中阴影部分的面积，得先求出 的面积，再用它的面积，乘以就得到阴影部分面积。 正方形的边长等于圆的 ，半径无法直接求出，但是正方形的面积为r2= 平方分米，所以直接把20平方分米代入圆的面积公式S=πr2，求出圆的面积，最后乘以求出阴影部分面积。 答题区： 变式训练： 如图1,以点0为圆心，r和R(r＜R)为半径,分别作两个圆,介于这两圆之间的部分称为圆环。已知阴影部分的面积为60平方厘米,则圆环的面积是多少平方厘米？(π取值3.14) A夯实基础 一、填空题 1.在一个长5厘米，宽4厘米的长方形中剪下一个最大的圆，圆的直径是（ ）厘米, 面积是（ ）平方厘米。 2.杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮直径 50 厘米，要骑过 15.7 米长的钢丝，车轮至少要 滚动（ ）周。 3.一个圆的周长、直径、半径相加的和是 27.84 厘米，这个圆的面积是（ ）平方厘米。 二、选择题 1. 在一个半径是 50 米的圆形鱼塘边上每隔 3.14米栽一棵树，共栽树（ ）棵。 A. 100 B.50 C. 101 D.51 2.在长 4cm、宽 3cm 的长方形内画一个最大的半圆，这个半圆的周长是（ ）cm。 A.10.28 B.7.71 C.6.28 D.12.56 3.下图中圆的面积和长方形的面积相等，如果圆的半径是5厘米，那么长方形的长是（ ） 厘米。 A.15.7 B.20.7 C.41.4 D.78.5 B培优拔高 1. 两只蚂蚁分别沿着正方形和圆走一圈，谁走的路程长？为什么？ 2. 公园草地上一共自动旋转喷灌装置的射程是10m，它能喷灌的面积是多少？ 3. 如图所示，5个相同的圆的半径为2厘米，且正五边形的每个顶点都在圆的圆心上，求阴影部分面积。 4.如图所示，在6个边长分别为1、1、2、3、5、8分米的正方形中各有一条弧，组成一条螺旋线，求螺旋线的长度。 C思维拓展 1.如图，中间是边长为4分米的正方形，与这个正方形每一条边相连的都是圆心角为 90°的扇形，这个图形的周长是多少分米? 2.用 25.12米长的竹篱笆靠墙围一个半圆形的鸡舍，这个鸡舍的面积是多少平方米? 3. 一个池塘的周围是一条5米宽的水泥路，在路的外侧围一圈栏杆。 (1)水泥路的面积是多少? (2)围栏长多少米? 4. 为运输方便，把三根木料用绳子捆扎在一起，求绳子长度。（接头忽略不计） 答案解析 类型1 答案解析 典型例题1： 思路分析：半径 6 答题区： 半径：3厘米 直径：3×2=6（厘米） 答：半径是3厘米，直径是6厘米。 变式训练答案： 半径：1厘米 直径：1×2=2（厘米） 长方形宽=直径=2厘米 长方形的长=直径×2=2×2=4（厘米） 长方形的周长：（4+2）×2=12（厘米） 类型2 答案解析 典型例题2： 思路分析：半径 1 周长 1 6.28 答题区：C=2πr=2×3.14×1=6.28（分米） 答：针尖走过的路程是6.28分米。 变式训练答案： 1、C=πd=3.14×40=125.6（米） 125.6×5=628（米） 答：他每天早晨判别628米。 2、大圆半径是4cm，三条弧可以转化为一个半径是4cm的圆周长。 3.14×4×2=25.12（厘米） 答：图形的周长是25.12厘米。 类型3 答案解析 典型例题3： 思路分析：直径 一半 （π+2） 3.14+2 4 答题区： 20.7÷（3.14+2）=4（米） 答：这个草坪的半径是4米。 变式训练答案： 如上图所示，剪成的最大的半圆的半径等于长方形的宽，为4分米。 半圆的周长：（3.14+2）×4=20.56（分米） 答：少需要20.56分米的金属条。 类型4 答案解析 典型例题4： 思路分析：60 75 338.4 答题区： 3.14×60+75×2=338.4（米） 答：这个运动场的周长是338.4米。 变式训练答案： 1、外圈与内圈线段部分长度相等，长度相差部分为两条弧长，即外圆周长-内圆周长。 2×3.14×（6-5）=6.28（米） 答：他们跑一圈的路程相差6.28米。 2、组合图形的周长可以应用平移补齐法，转化为直径为12m半圆周长+5m×2 （3.14+2）×[（2+2+8）÷2]+5×2=40.84（m） 类型5 答案解析 典型例题5： 思路分析：一半 πr 宽 r 2r 8 2 4 答题区： r=8÷2=4（厘米） C=2πr=2×3.14×4=25.12（厘米） 答：圆的周长是25.12厘米。 变式训练答案： 长方形周长=圆周长+d π×4+4=16.56（厘米） 答：长方形的周长是16.56厘米。 类型6 答案解析 典型例题6： 思路分析：一半 πr 宽 r 2r 10 2 5 答题区： 半径：10÷2=5（厘米） 面积：3.14×52=78.5（平方厘米） 答：圆的面积是78.5平方厘米。 变式训练答案： 圆周长为20厘米，半径无法求出，根据圆面积公式的推动可知，长方形的长等于圆周长的一半，宽为半径，阴影部分的周长三条线段可以合并为2条长（即圆周长）+圆周长的四分之一。 20+20÷4=25（厘米） 答：阴影部分的周长是25厘米。 类型7 答案解析 典型例题7： 思路分析：周长 0.6 628 376.8 376.8 2 60 602 11304 答题区： 周长：0.6×628=376.8（米） 半径：376.8÷3.14÷2=60（米） 面积：3.14×602=11304（平方米） 答：这座体育馆的占地面积大约是11304平方米。 变式训练答案： 半径：125.6÷3.14÷2=20（米） 面积：3.14×20×20=1256（平方米） 答：这个展示舞台的面积是1256平方米。 类型8 答案解析 典型例题8： 思路分析： π（R2-r2） 9 9 1 10 答题区： 池塘半径：56.52÷3.14÷2=9（米） R=r+环宽=9+1=10（米） 花砖面积：3.14×（102-92）=3.14×19=59.66（平方米） 答：所铺花砖的面积是59.66平方米。 变式训练答案： 外半径：18÷2=9（厘米） 内半径：7÷2=3.5（厘米） 玉璧面积：3.14×（92-3.52）=209.595（平方厘米） 答：这块玉璧的面积是多少209.595平方厘米。 类型9答案解析 典型例题9： 思路分析： 圆 正方形 半径 1.2 1.2 0.72 0.62 1.1304 1.1304 0.72 0.4104 答题区： 3.14×（1.2÷2）2-1.2×1.2÷2=0.4104（平方米） 答：这张餐桌折叠成正方形后面积减少了0.4104平方米。 变式训练答案： 外方内圆 6×6-3.14×（6÷2）2=7.74（平方厘米） 答：剩下部分的面积是7.74平方厘米。 类型10 答案解析 典型例题5： 思路分析：圆 半径 20 答题区： 3.14×20×=47.1（平方分米） 答：阴影部分面积是47.1平方分米。 变式训练答案： 由图 2 可知,设大圆的半径为R,小圆的半径为r,则R²-r2=60(平方分米),再由S环形=π(R²-r2)即可求出环形的面积。 已知: R²-r2=60(平方分米) S环形=π(R²-r2) =3.14×60 =188.4(平方厘米) A夯实基础 一、填空题 1.答案：4 12.56 解析：3.14×（4÷2）2=12.56（平方厘米） 2.答案：10 解析：15.7×100÷（3.14×50）=10（周） 3.答案：28.26 解析：r+2r+2πr=27.84，半径=27.84÷（1+2+6.28）=3（厘米），面积： 3.14×32=28.26（平方厘米） 二、选择题 1.答案：A 解析：间隔数=棵数=2×3.14×50÷3.14=100（棵） 2.答案：A 解析：长=直径=4分米 半圆周长=（3.14+2）×（4÷2）=10.28（分米） 3.答案：A 解析：长方形长=圆周长一半=πr=3.14×5=15.7（厘米） B培优拔高 1.答案：甲蚂蚁 解析：甲：4×4=16（厘米） ，乙：3.14×4=12.56（厘米） 2.答案：314平方米 解析：半径=10m，面积=3.14×10×10=314（平方米） 3.答案：12.56平方厘米 解析：5个相同的扇形合并为一个圆，面积=3.14×2×2=12.56（平方厘米） 4.答案 ：31.4厘米 解析：由6条弧组成，2×3.14×（1+1+2+3+5+8）÷4=31.4（厘米） C思维拓展 1.答案：41.12厘米 解析：风车周长由4条弧和4条线段组成，4条弧合并为一个圆周长。 3.14×（4×2）+4×4=25.12+16=41.12（厘米） 2.答案：100.48平方米 解析：考查半圆周长与面积 半径：25.12÷3.14=8（米） 面积：3.14×82÷2=100.48（平方米） 3.答案： （1）12638.5平方米；（2）2543.4米 解析：（1）考查圆环面积 内半径：2512÷3.14÷2=400（米） 外半径：400+5=405（米） 水泥路面积：3.14×（4052-4002）=3.14×4025=12638.5（平方米） （2）考查外圆周长 2×3.14×405=2543.4（米） 4.答案： 73.68厘米 如图所示，绳子的长度可以划分为3条线段和3条弧，每一条弧所对应的圆心角为120°，所以3条弧组合为1个圆的周长；每条线段的长度相当于一条直径长度。 2×3.14×6+（6×2）×3=73.68（厘米） 学科网（北京）股份有限公司 $$