(五)双曲线-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修1同步周测卷（新高考苏教版）

高二同步周测卷/数学选择性必修第一册 {五}双曲线 (考试时时40分钟，肉分100分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个达项中，只有一 项是符合题目要求的) 上.已知双商线号一。一1(>0)的一个独点坐标为5,0，测孩双面线的新置线方程为 A=士导 =士是 C±客 Dy-± 二相距4止千米的A,B两地，听到炮弹爆声的时间相差2砂，若声速为千米/秒，划 饱弹煤炸点P的轨迹可能是 A.斌曲线的一支B双曲线 C.稀圆 圆 3.已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x拍上，左焦点为F1,焦距为4，A(2,1), P为双曲线右支上一动点，期PF|一PA的最大值为 A.22 A17 C2w2+1 D.22+6 4设FF分别是双曲线号一希=1的上，下焦点，P是该效曲找上的一点，且 3PF一5PF:,期△PF:F:的面为 A.143 A7√15 C.5/15 D.15.3 5.在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的个焦点射山的 充线，经过双曲线反射后，反射光线的反向逅长线都工聚到双曲线的另一个集点上 如图，已知双曲线的离心率为2，则当人射光线F:P和反射光线PE互却垂直时（其 中P为入射点)，0%∠F:FP一 A.5+1 4 我- 4 C.7+l 4 n7-1 1 成已短双角线导一器-1(a>0,b>0)的左，有然点分别为5，KM.N为双角线的 条兼近线上的两点，点A为双曲线的右顶点，若回边形FNF为矩形，且∠MAN一 警，期双尚线的离心率为 A./II &13 C.√15 D.√2I 数学（苏较板}选择性必修第一岳第1西（共4面1 衡水金卷·先摩用· 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全第选对的得6分，部分选对的得部分分，有选情的得0分) 7.已知南线二十，一11≠，则下列结论正确的是 y A.若t∈(4，十6o),则核曲线为双曲线 ,若该自线是桶圆，测1<4 C.若该曲线为焦点在x轴上的双曲线，则1<1 D.若该曲线为焦点在y轴上的双由线.用高心率E(1,豆) 品我们通霜称离心率为5修椭圆有黄金精期”，称商心率为的双面线为”黄 金双由线”，即下列说法正确的是 A,”黄金柄哥上任意一点与两焦点的连线辉不可能重直 且若双南找若一言一1>0，b>0)是黄金双曲线”，则：-4c为半焦距 C,在正△AC中，D,E分别是AB,AC的中点，则以B,C为焦点，且过D,E的脑属 是”黄金机丽” D若ABCDE下为正六边形，则以A,D为焦点，且过B,C,E,F的双由线是“黄金双 曲级” 班极 性名 分数 题号 6 7 答案 三，填空题（本题其2小题，每小题5分，共10分 .已知双街线导一合一1（口>0）的左、右然点分划是F,F,焦距为8，M是双曲线上的 一点，且|fF,=5,期MF:= 0,3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体 如图所示的搭简为D打印的双曲线形塔简，该塔简是由高心率为 的双曲线的一部分绕其旋转轴逐层美转打印得到的，已知该塔简的 上底直径为6m,下底直径为8cm,膏为8cm(数据均以外度即塔筒 外侧表面什算)，财该塔简最细处的直径为 011L, 四、解答题（本题共3小题，共4保分。解答碗写出必要的文字说明，证明过程城演算步露） 11.(本小圈满分13分》 已知双曲线C的对称：轴为坐标轴，且双自线C经过点A(0,w),B(1,3), (1)求双由线C的方程： (2)在①双曲线E的焦点在士轴上.心双曲线E的焦点在y轴上，这两个条件中任 达一个，补充在下面问题中，并作容. 若双曲线E与双线C的新近线相同， +且双由线E的唐距为4，求双曲线 E的实轴长 往：如果选拜多个条件分别解答，按第一个解答计分 高二网步周制鞋五 雕学（苏较饭）透择性必修策一西第2面（黄4面} 12.(本小题满分15分) 13.(本小题满分20分) 已知双曲线C:-号=l. 已知双曲线x一y=1,过点M(1,一1》的直线/与该双曲线的左，右两支分别交于 点A,B (1)若点M在双自线C上，点N(3,0),求1MV引的最小值： (2)过点P1,1)的直线1与双曲线C相交于A,B两点，判断点P是否为线段AB (1)当直线1的斜率为2时，求AB 的中点？请说明理山。 (2)是否存在定点P(.一21≠1)，使得∠MPA=∠MPB?若存在，求出点P的 坐标：若不存在，请说明理由. 数学（苏较版}选择性必修第一母第3西（共4页 衡水金卷·先摩·高二司步周测卷五 学（苏敕级）透择性必修第一围氧4面（黄4面}高二周测卷 ·数学（苏教版）选择性必修第一册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第一册（五） 命题要素一览表 注： 1,能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力N,空间想象能力V.数据处理能力 T.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模①直观想象⊙数学运算①数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) ① ② ③④ 档次系数 1 选择题 5 求双曲线的渐近线 方程 多 0.80 2 选择题 5 由双曲线的定义求 0.72 轨迹 多 选择题 利用双曲线的定义求 3 5 最值 % 0.60 双曲线的焦点三角形 4 选择题 5 面积 务 0.55 5 选择题 5 双曲线的光学性质 中 0.45 6 选择题 求双曲线的离心率 中 0.30 7 选择题 二元方程与圆锥曲线 6 的关系 0.50 8 选择题 6 双曲线与椭圆的综合 难 0.28 填空题 5 双曲线的简单性质 易 0.71 10 填空题 5 双曲线的实际应用 中 0.35 11 解答题 双曲线的方程与性质 13 的 0.60 的综合 双曲线的中点弦问题， 12 解答题 15 由双曲线上点的范围 0.45 求最值 解答题 双曲线的弦长问题，定 13 20 难 0.28 点问题 ·17 ·数学（苏教版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 香考誉案及解析 一、选择题 1.C 【解析】由题意可得n=5一9=16，故该双曲线的 断近线方程为产士震=士子散选心 :A(a,0)∴MA⊥x轴，又∠MAN=琴∠NAE= 2.A【解析】由已知可得，||PA|一|PB||=2k<4k 号，则an∠NAF,=5=k=会6=25a,则 =|AB|,又因为A,B两地听到炮弹爆炸声的时间 相差2秒，所以炮弹爆炸点P的轨迹可能是以A,B C=a+B=13a,e=二=√/3.放选B. a 为焦点的双曲线的一支.故选A 3.C【解析】由题意可设双曲线的方程为x2一y=a, a>0,右焦点为F:,则2a=2=4,解得a=√2，则 F(一2,0)，F:(2,0),由双曲线的定义可得|PF| |PF|=2a=2√2，则|PF,|-|PA|=2E+ |PF:|-|PA|≤2WE+|AF:|=22+1,当F, A,P三点共线时，取等号，则|PF|一|PA的最大 值为2√2+1.故选C. 二、选择题 4.D【解析】由题意可知|FF2|=2×√干45=14， 7.ACD【解析】对于A,若t∈(4，十o∞)，则 1P5|-PE,=4=号PF:,解得PE,=10, 一0则曲线为焦点在y轴上的双曲线，故A正 14-1<0 |PF,|=6,在△PFF:中，由余弦定理可知 (4-t>0 os∠F,pm,-1o-合，又0<∠F,P吓 确：对于B,若曲线是椭圆，则t一1>0，解得1<1 2×10×6 4-t≠t-1 <,所以n∠RPE,-号，所以△PE,R的面积S <4且1≠号，故B错误，对于C,依题意得 之×10X6×号-15B.故选D (4一>0解得t<1,故C正确：对于D,若曲线是焦 t-1<0. 5.D【解析】因为e=二=2，所以c=2a,所以b V一口=Ba,不妨设双曲线的标准方程为父-号 点在)鞋上的双肩线，则仁。部得心4，此时 21-5 =1,|PF:|=m(m>0)则|PF|=m+2,所以 。=1-1,0=1一42=21-5，则e=名=√ m2十(m十2)=4，解得m=√7-1或m=一√厅-1 √层+2，令f(0=层+2，当>4时， (舍去)，所以cos∠F:F:P= =只故 FF f(t)单调递增，当t趋向于十∞时，f(t)趋向于√瓦， 选D 所以f(t)∈(1厄)，即e∈(1√2)，故D正确.故 6,B【解折】易知双曲线的南近线方程为y=士会， 选ACD. 不妨设M,N位于一，三象限的渐近线上，且以F1F: &AB【解折】对于A,设黄金椭圆”的方程为号+兰 b =1(a>b>0),椭圆上的点P(x0%),焦点F1(一c, 为直径的圆的方程为x2+y=c,联立 x十y=c 0.Rc,0),由导+若=1，可得=公(1-) P求=(-c-x,-),PF=(c-,-为)，又因 18 高二周测卷 ·数学（苏教版）选择性必修第一册· 为黄金椭圆“的离心率台=一，所以（任）广 三、填空题 9.9【解析】因为2c=8,所以c=4,所以a=2一6= (5)=35e=35,所以m,呢 16一12=4，解得a=2,根据双曲线定义可得 1IMF,-1MF:|=2a=4,即|5-MF,I|=4,解 +明-心2=城+（1-吾)-- a +a2-2e 得MF2=1或1MF2|=9,当IMF,|=1时， |MF,|十|MF:|=6<8,不合题意，故舍去：当 =3-5+5-2)a>0,所以“黄金椭圆”上不存 1MF:=9时，MF,|+|MF:|=14>8.满足题意. 在一点，与两焦点的连线互相垂直，故A正确：对于 综上，MF,1=9. B,因为双曲线号一若 =1(a>0,b>0)是“黄金双曲 10. 【解析】该塔筒的轴截面如图所示，以塔筒的 最细处所在直线为x轴，其垂直平分线为y轴建立 线”，所以e= -E+1,即c=5+1。 a.则6=c 2 2 平面直角坐标系， a=(5出)广-=5=a,故B正确：对于C 2 以C的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系， 设双曲线的方程为号一芳=1(a>0,b>0).由题意 设△ABC的边长为2，以B,C为焦点，且过D,E的 可知双曲线的离心率：一√+（合丁 =3,所以b= 椭圆方程设为后十长 =1(a>b>0),所以|CD|= y 2/2a,所以双曲线的方程为无一=1，即8x 5,所以椭圆的离心率为若=DCD丽 BC y=8a,因为上底直径为6cm,下底直径为8cm 2=5一1，故C错误：对于D,以AD的中点为原 高为8cm,所以设双曲线过点(3，m),(4,m一8)， 3+1 m= 点，建立如图所示的直角坐标系， (72-m2=8a 128-(m-8)1=8a…解得 ,则塔筒 57 8 最细处的直径为2a=7 4 。cm 四、解答题 11.解：(1)设双曲线C的方程为mx2十ny2=1, = 6n=1 设正六边形ABCDEF的边长为2，以A,D为焦点， 则 ,解得 1m十9n=1 且过B,CE,F的双曲线方程设为导一芳-1 6 (a>0,b>0),则|AD|=4,|FD川=23，所以双曲 所以双曲线C的方程为爷-专=1。 (6分) 线的离心率为会=动92疗 25 (2)由(1)可知双曲线C的渐近线方程为y=士√3x 1,故D错误，故选AB. 选①，设双曲线E的标准方程为后。下三1(a>0 b>0)+ .19. ·数学（苏教版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 b=5 则△=（一4）一4×2×3=-8<0，方程()尤解， 所以 ,解得a=1,b=3, (10分) 直线1与双曲线C无交点， 2c=4 所以点P不是线段AB的中点， (15分) c=a'+b 所以双曲线E的实轴长为2. (13分) 18,解：1由题设，易知直线1的方程为)=之一 选@，设双曲线E的标准方程为号一若-1(a>0, 设A(x1y),B(x·y) x-y2=1 b>0), 联立 y=1,3,得3x+6x-13=0.4>0, 所以。 12c=4 ,解得a=√5，b=1, (10分) 所以x1十x=一2，x1x= 13 3 (4分) c2=a+6 所以双曲线E的实轴长为2√， 所以1AB=+E1西-x1=√1+（号）'· (13分) 12,解：(1)设M(x,y),将点M(x,)代入双曲线 W-2)-4×()=4厘 3 (6分) 方程，得-兰-1， (2)因为∠MPA=∠MPB. 所以y始=2x一2≥0，所以x≤一1或x≥1， 所以cos∠MPA=cos∠MPB, (2分) 所以 PM.PA PM.PB 所以|MN|2=(-3)十y=(x。-3)2+2x话-2 IPMI PAPMIIPB面1 =3(x-1)°十4， 所以 PM·PA_|PA 当x=1时，|MN|的最小值为4， (5分) PM·PBPB 所以|MN|的最小值为2. (6分) 由∠MPA=∠MPB及角平分线定理得 PA (2)当直线1垂直于x轴时，直线（的方程为x=1, PBI 此时直线！与双曲线C只有一个交点，不满足题意： AM (8分) MBI 当直线不垂直于x轴时，斜率存在， 所以P立财 AM PM PB MBI (10分) 设A(x1,y),B(x,y), 设A(x1,y),B(x,y),直线l的方程为y=kx (k+1),易知-1<k<1, 所以 1x2-y=1 联立 y=kx-(k+1) 两式作差得(-)-（停-菩）-0， 得(1-k)x2十2k(k十1)x-k-2k-2=0, △=8(k+1)>0, 整理得一=艺一兰 所以+=-2，西=一+2+2 1一k2 即(x1一x)(x十)=(y一)(y十) (12分) 若P(1,1)是线段AB的中点，则x1+x=2,+ 因为Pi=(1-,1-t),pA=(n-ty-t+2) =2, Pi=(x-t,y-1+2), 则x一=立(y一的 所以PM·PA=(1-1)(x十一2t+2)= (1-t)(x1十kx1-k-21+1), 所以直线1的斜率k=当二业=2， (12分) 1一xg PM.Pi=(1-1)(十y-21+2)=(1-1)(m+ 所以直线的方程为y=2(x一1)十1， kx4-k-21+1), (14分) 即y=2x-1, (y=2x-1 所德专-号 联立 -苦-得2-+8=0( 整理得(k+1)xx一(k+t)(x1十x2)十k十21-1 =0, ·20 将韦达公式代入得号=0， y 所以1=号， (18分) y 所以存在定点P(受，-子)，使得∠MPA= ∠MPB. (20分) M