第4章 第6节 第一课时 正弦定理、余弦定理的简单应用（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第6节　正弦定理、余弦定理 1．掌握正弦定理、余弦定理．(重点) 2．能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题．(热点) [对应学生用书P109] 一、余、正弦定理的内容及其变形 在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则 定理 余弦定理 正弦定理 内容 a2＝b2＋c2－2bc_cos_A； b2＝c2＋a2－2ca_cos_B； c2＝a2＋b2－2ab_cos_C ＝＝＝2R 变形 cos A＝； cos B＝； cos C＝ (1)a＝2R sin A， b＝2R sin B， c＝2R sin C； (2)a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C； (3) ＝＝2R 二、三角形常用面积公式 1．S＝a·ha(ha表示边a上的高). 2．S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A. 3．S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径). (1)大边对大角，大角对大边，如a＞b⇔A＞B⇔sin A＞sin B. (2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)在△ABC中，内角A，B，C成等差数列⇔B＝，A＋C＝. (4)有关三角形内角的三角函数关系式： sin (A＋B)＝sin C；cos (A＋B)＝－cos C；tan (A＋B)＝－tan C；sin ＝cos ；cos ＝sin . (5)在斜△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A·tan B·tan C. (6)合分比：＝＝＝＝＝＝＝2R. 一、“教考衔接”例证 高考真题 (2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝______ 追根溯源 (人教B版必修第四册P20 T7)已知AD是△ABC的角平分线，且AC＝2，AB＝3，A＝60°，求AD的长 发现感悟 两题的考查角度、考查方式完全一样，只是修改了数值．求三角形角平分线的长度要恰当地利用正、余弦定理解决，此外高考题可利用角平分线定理求解，这说明平时要激发考生运用创新思维、多角度分析解决问题的能力 二、教材典题改编 1．(苏教版必修第二册P114T7)在△ABC中，若＝1，则A＝(　　) A．150° B．120° C．90° D．60° 答案：C 2．(人教A版必修第二册P44T2改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　) A． B． C． D． C　解析：在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－.因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝. 3．[人教A版必修第二册P48T2(2)改编]在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝________. 答案：＋　解析：B＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理，得＝，得c＝＋. 三、易误易混澄清 1．(判断三角形形状时考虑不全)已知△ABC中，三个内角A，B，C，sin 2A＝sin 2B，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 D　解析：由sin 2A＝sin 2B，得2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝. 2．(忽视对角的讨论)在△ABC中，已知B＝30°，b＝，c＝2，则C＝________． 答案：45°或135°　解析：由正弦定理得sin C＝＝＝，因为c>b，B＝30°，所以C＝45°或C＝135°. 第一课时　正弦定理、余弦定理的简单应用 [对应学生用书P110] 考点一　利用正弦定理、余弦定理解三角形 [例1] (1)(2023·全国乙卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a cos B－b cos A＝c，且C＝，则B＝(　　) A． B． C． D． (2)(2024·全国甲卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝ac，则sin A＋sin C＝(　　) A． B． C． D． (1)C　(2)C　解析：(1)因为a cos B－b cos A＝c，所以由正弦定理得sin A cos B－sin B cos A＝sin C＝sin (B＋A)，则2sin B cos A＝0.在△ABC中，sin B≠0，则cos A＝0，A＝.所以B＝π－A－C＝π－－＝. (2)因为B＝，b2＝ac，则由正弦定理得sin A sin C＝sin2B＝.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝ac，即a2＋c2＝ac，根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝sinA sin C＝，所以(sin A＋sin C)2＝sin2A＋sin2C＋2sinA sin C＝，因为A，C为三角形内角，则sin A＋sin C>0，则sin A＋sin C＝. 利用正、余弦定理解三角形的策略 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理，以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 训练1 (1)(2024·成都诊断)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a tan B＝，b sin A＝4，则a的值为(　　) A．6 B．5 C．4 D．3 B　解析：由正弦定理得＝，则b sin A＝a sin B＝4，又a tan B＝，所以cos B＝，则sin B＝，所以a＝5. (2)(2023·北京卷)在△ABC中，(a＋c)·(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则C＝(　　) A． B． C． D． B　解析：由正弦定理＝＝＝2R(R为三角形ABC外接圆半径)可得sin A＝，sin B＝，sin C＝，∴(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)可化为(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝＝.又C∈(0，π)，∴C＝. 考点二　判断三角形的形状 [例2] (1)在△ABC中，若＝＝，则△ABC是(　　) A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．钝角三角形 (2)在△ABC中，已知a2＋b2－c2＝ab，且2cos A sin B＝sin C，则该三角形的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形 (1)B　(2)C　解析：(1)∵＝＝＝， ∴sin A·cos A＝sin B·cos B，∴sin 2A＝sin 2B.∵＝，∴a≠b，∴2A＋2B＝π，∴A＋B＝，∴C＝. (2)∵a2＋b2－c2＝ab，∴cos C＝＝，又C∈(0，π)，∴C＝.由2cos A sin B＝sin C，得cos A＝＝＝，∴b2＝a2，即b＝a，又C＝，∴该三角形为等边三角形． 判断三角形形状的两种思路 (1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状． (2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论． 训练2 △ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2＋＝，则△ABC的形状为(　　) A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 A　解析：∵sin2＋＝，∴＝－， ∴cos A＝.∵cos A＝＝，∴b2＋c2－a2＝2b2，∴b2＋a2＝c2，∴△ABC为直角三角形，且C＝90°. 考点三　三角形的周长、面积问题 [例3] (2024·新课标Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab. (1)求B； (2)若△ABC的面积为3＋，求c. 解：(1)由余弦定理有a2＋b2－c2＝2ab cos C， 已知a2＋b2－c2＝ab， 可得cos C＝＝＝， 因为C∈(0，π)，所以sin C>0， 从而sin C＝＝＝， 又sinC＝cos B，即cos B＝， 注意到B∈(0，π)，所以B＝. (2)由(1)可得B＝，cos C＝，C∈(0，π)， 从而C＝，A＝π－－＝， 而sin A＝sin ＝sin (＋)＝×＋×＝， 由正弦定理得＝＝， 从而a＝·c＝c，b＝·c＝c， 由三角形面积公式可知，△ABC的面积可表示为 S△ABC＝ab sin C＝·c·c·＝c2， 由△ABC的面积为3＋，可得c2＝3＋，所以c＝2. 三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝ab sin C＝ac sin B＝bc sin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化． 训练3 (2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋cos A＝2. (1)求A； (2)若a＝2，b sin C＝c sin 2B，求△ABC的周长． 解：(1)由sin A＋cos A＝2可得sin A＋cos A＝1， 即sin (A＋)＝1， 由于A∈(0，π)⇒A＋∈(，)，故A＋＝，解得A＝. (2)由题设条件和正弦定理， 可得b sin C＝c sin 2B⇔sin B sin C＝2sin C·sin B cos B， 又B，C∈(0，π)，则sin B sin C≠0，进而cos B＝， 得到B＝，于是C＝π－A－B＝， sin C＝sin (π－A－B)＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋sin B cos A＝， 由正弦定理可得，＝＝， 即＝＝，解得b＝2，c＝＋， 故△ABC的周长为2＋＋3. [对应学生用书P112] 定理一　射影定理 设△ABC的三边是a，b，c，它们所对的角分别是A，B，C，则有a＝b cos C＋c cos B；b＝c cos A＋a cos C；c＝a cos B＋b cos A. [例1] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC为锐角三角形，且满足sin B(1＋2cos C)＝2sin A cos C＋cos A sin C，则下列等式成立的是(　　) A．a＝2b B．b＝2a C．A＝2B D．B＝2A A　解析：方法一　因为sin B(1＋2cos C)＝2sin A cos C＋cos A sin C，所以sin B＋2sin B cos C＝sin A cos C＋sin (A＋C)，所以sin B＋2sin B cos C＝sin A cos C＋sin B，即cos C(2sin B－sin A)＝0，所以cos C＝0或2sin B＝sin A，即C＝90°或2b＝a，又△ABC为锐角三角形，所以0°＜C＜90°，故2b＝a. 方法二　由正弦和余弦定理得b(1＋)＝2a×＋c×，所以2b2(1＋)＝a2＋3b2－c2，即(a2＋b2－c2)＝a2＋b2－c2，即(a2＋b2－c2)·(－1)＝0，所以a2＋b2＝c2或2b＝a，又△ABC为锐角三角形，所以a2＋b2＞c2，故2b＝a. 方法三　由正弦定理及射影定理，得b＋2b cos C＝2a cos C＋c cos A＝a cos C＋(a cos C＋c cos A)＝a cos C＋b，即2b cos C＝a cos C，又因为△ABC为锐角三角形，所以cos C≠0，则2b＝a. 训练1 (2025·河南名校联考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若2a cos C＋b＝2c cos A，c＝a，则A＝(　　) A． B． C． D． A　解析：方法一　已知c＝a，由正弦定理得sin C＝sin A，所以sin2C＝3sin2A，所以cos2C＝1－sin2C＝1－3sin2A.由2a cosC＋b＝2c cos A，得2sin A cos C＋sin B＝2sin C cos A，2sin A cos C＋sin (A＋C)＝2sin C cos A，3sin A cos C＝sin C cos A，则9sin2A cos2C＝sin2C cos2A，9sin2A(1－3sin2A)＝3sin2A(1－sin2A)，由sinA≠0，解得sin A＝±.又0＜A＜π，且A<C，所以A＝. 方法二　由射影定理，得b＝a cos C＋c cos A代入2a cos C＋b＝2c cos A，得3a cos C＝c cos A，又c＝a，所以cos A＝cos C　①，由c＝a及正弦定理得sin A＝sin C　②，①2＋②2，可得cos2A＋3sin2A＝1，即sinA＝，又由①得A∈(0，)，故A＝. 定理二　角平分线定理 在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若AD是∠BAC的平分线，D在BC上，则有＝. [例2] (2023·全国甲卷)在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________． 答案：2　解析：方法一　在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC，即()2＝22＋AC2－2×2×AC×cos 60°，即AC2－2AC－2＝0，解得AC＝1＋或AC＝1－(舍).由于AD平分∠BAC，且∠BAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°.∵S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，∴×2×(＋1)×＝×2×AD×＋×(＋1)×AD×，即×(＋1)＝AD＋AD，解得AD＝2. 方法二　在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，得sin C＝.又知0°＜C＜120°，∴C＝45°，∴B＝75°.在△ABD中，∠BAD＝30°，∴∠ADB＝180°－30°－75°＝75°， ∴△ABD为等腰三角形，∴AD＝AB.又AB＝2，∴AD＝2. 训练2 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A，C，B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，且CD＝，a＝3b，则c的值为(　　) A．3 B． C． D．2 C　解析：如图，在△ABC中，由角A，C，B成等差数列，角C的角平分线交AB于点D，则C＝， 所以∠ACD＝∠BCD＝，由CD＝，a＝3b，所以＝＝，在△ACD和△BCD中，由余弦定理得AD2＝b2＋3－2b×cos 30°＝b2－3b＋3，DB2＝(3b)2＋3－2×3b×cos 30°＝9b2－9b＋3，故9b2－9b＋3＝9(b2－3b＋3)，解得b＝，故a＝4.在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即c2＝16＋－2×4××＝， 故c＝. 定理三　中线定理 在△ABC中，AD是BC边上的中线，则AD2＝(AB2＋AC2)－BC2. [例3] (2025·长沙模拟)在△ABC中，b sin B＝a sin A－(b＋c)sin C. (1)求角A的大小； (2)若BC边上的中线AD＝2，且S△ABC＝2，求△ABC的周长． 解：(1)由b sin B＝a sin A－(b＋c)sin C和正弦定理，得b2＝a2－bc－c2， 由余弦定理得cos A＝＝－， 在△ABC中，因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)由S△ABC＝bc sin A＝bc＝2，得bc＝8　①， 由(1)知b2＝a2－bc－c2，即b2＋c2＝a2－8　②， 在△ABD中，由余弦定理得 c2＝()2＋(2)2－2·2··cos ∠ADB， 在△ADC中，由余弦定理得 b2＝()2＋(2)2－2·2··cos ∠ADC， 因为cos ∠ADB＝－cos ∠ADC， 所以b2＋c2＝＋24　③， 由①②③，得a＝8，b2＋c2＝56，bc＝8， 所以b＋c＝＝＝＝6， 所以△ABC的周长为a＋b＋c＝8＋6. 训练3 (多选)(2025·南京调研)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝a cos C，b＝2，若边BC的中线AD＝3，则下列结论正确的有(　　) A．A＝ B．A＝ C．·＝6 D．△ABC的面积为3 ACD　解析：由(2b－c)cos A＝a cos C，得2sin B·cos A－sin C cos A＝sin A cos C，得2sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A＝sin (A＋C)＝sin (π－B)＝sin B，因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，因此2cos A＝1，得cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝，A正确，B错误；因为AD是中线，所以由＝(＋)，得42＝2＋2＋2·，得36＝c2＋12＋2×2×c，得c＝2或c＝ －4(舍去)，因此·＝2×2×＝6，C正确；S△ABC＝bc sin A＝×2×2×＝3，D正确． [课时训练(31)见P411] 学科网（北京）股份有限公司 $$