第3章 第2节 导数与函数的单调性（Word教参）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A培优版）

第2节　导数与函数的单调性 1．了解函数的单调性与导数的关系．(重点) 2．能利用导数研究函数的单调性．(热点) 3．对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间． [对应学生用书P66] 一、函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 (1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则． (2)有相同单调性的单调区间不止一个时，用“，”隔开或用“和”连接，不能用“∪”连接． 二、利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 用充分必要条件诠释导数与函数单调性的关系 (1)f′(x)>0(<0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充分不必要条件． (2)f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的必要不充分条件． (3)若f′(x)在区间(a，b)的任意子区间内都不恒等于零，则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a，b)内单调递增(减)的充要条件． 一、“教考衔接”例证 高考真题 (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x在区间(1，2)单调递增，则a的最小值为(　　) A.e2　　B．e　　C．e－1　　D．e－2 追根溯源 (人教B版选择性必修第三册P113T4)已知关于x的函数y＝x3－t2x－tx2＋t3在区间(－1，3)上单调递减，求实数t的取值范围 发现感悟 高考试题与教材习题的考查角度完全相同，都是根据函数在已知区间上的单调性求参数的范围．只不过高考试题的函数更为复杂一点，这就要求考生的解题能力要在完成教材习题的基础上深化拓展 二、教材典题改编 1．(人教A版选择性必修第二册P86例1改编)函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上(　　) A．先增后减 B．先减后增 C．单调递增 D．单调递减 D　解析：∵当x∈(0，π)时，f′(x)＝－sin x－1＜0，∴f(x)在(0，π)上单调递减． 2．[人教B版选择性必修第三册P112T8(1)改编]函数f(x)＝2x2－ln x的单调递减区间是________． 答案：(0，)　解析：因为函数f(x)＝2x2－ln x，x>0，所以f′(x)＝4x－＝＝，由f′(x)<0，解得0<x<，所以函数f(x)的单调递减区间是(0，). 三、易误易混澄清 1．(求单调区间忽视定义域)函数f(x)＝ln x－x的单调递增区间为________． 答案：(0，1)　解析：易知f(x)的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝－1＝，令f′(x)>0，得0<x<1，故f(x)的单调递增区间为(0，1). 2．(求参数范围忽视验证等号是否成立)若y＝x＋(a>0)在[2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________． 答案：(0，2]　解析：由y′＝1－≥0，得x≤－a或x≥a，所以y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞).因为函数在[2，＋∞)上单调递增，所以[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，所以a≤2.又a>0，所以0<a≤2. [对应学生用书P67] 考点一　不含参函数的单调性 1．(多选)下列选项中，在(－∞，＋∞)上单调递增的函数是(　　) A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x－sin x C．f(x)＝xex D．f(x)＝ex－e－x BD　解析：对于A，由f(x)＝x4，得f′(x)＝4x3，当x<0时，f′(x)<0，则函数在(－∞，0)上单调递减，所以A错误；对于B，由f(x)＝x－sin x，得f′(x)＝1－cos x≥0，所以f(x)＝x－sin x在(－∞，＋∞)上单调递增，所以B正确；对于C，由f(x)＝xex，得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，当x<－1时，f′(x)<0，则函数在(－∞，－1)上单调递减，所以C错误；对于D，由f(x)＝ex－e－x，得f′(x)＝ex＋e－x>0，所以f(x)＝ex－e－x在(－∞，＋∞)上单调递增，所以D正确． 2．函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是(　　) A．(0，1) B．(－∞，1) C．(－∞，0) D．(0，＋∞) C　解析：f(x)的定义域为(－∞，1]，f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝0；当0<x<1时，f′(x)<0；当x<0时，f′(x)>0，所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，1). 3．已知函数f(x)＝x sin x＋cos x，x∈[0，2π]，则f(x)的单调递减区间为(　　) A.(0，) B．(，) C．(π，2π) D．(，2π) B　解析：由题意f(x)＝x sin x＋cos x，x∈[0，2π]，则f′(x)＝x cos x，当x∈(0，)∪(，2π)时，f′(x)>0，当x∈(，)时，f′(x)<0，故f(x)的单调递减区间为(，). 不含参函数单调性问题的注意点 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“，”或“和”隔开． 考点二　含参数函数的单调性 [例1] (2025·亳州模拟)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(a＋1)x，a∈R，讨论函数f(x)的单调性． 解：函数f(x)＝ln x＋ax2＋(a＋1)x的定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝＋ax＋a＋1＝＝. 当a≥0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a<0时，令f′(x)<0，得x>－，令f′(x)>0，得0<x<－，所以f(x)在(－，＋∞)上单调递减，在(0，－)上单调递增． 综上，当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，f(x)在(－，＋∞)上单调递减，在(0，－)上单调递增． 求含参函数的单调区间的策略 (1)注意确定函数的定义域，在定义域的限制条件下研究单调区间． (2)注意观察f(x)的表达式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负)，这往往是分类讨论的出发点． (3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法，例如：对二次项系数正负的讨论，对判别式Δ的讨论，对根的大小比较的讨论等；若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内． (4)分类讨论要做到不重不漏，同时还要注意对结果进行综述． 训练1 已知函数f(x)＝ln (x＋2)＋x2＋m，讨论f(x)的单调性． 解：函数f(x)的定义域为(－2，＋∞)，f′(x)＝＋ax＝. 当a＝0时，f′(x)>0恒成立，即f(x)在(－2，＋∞)上为增函数． 当a>0时，由4a2－4a≤0得0<a≤1， 此时f′(x)≥0恒成立，即f(x)在(－2，＋∞)上为增函数； 由4a2－4a>0得a>1，由f′(x)>0 得x<－1－或x>－1＋， 由f′(x)<0得－1－<x<－1＋，又x>－2，∴f(x)在(－2，－1－)，(－1＋，＋∞)上单调递增，在(－1－，－1＋)上单调递减． 当a<0时，4a2－4a>0恒成立， 由f′(x)<0得x>－1＋，－1－<－2(舍去)， 由f′(x)>0得－2<x<－1＋. ∴f(x)在(－2，－1＋)上单调递增，在(－1＋，＋∞)上单调递减． 综上，当a<0时，f(x)在(－2，－1＋)上单调递增，在(－1＋，＋∞)上单调递减；当0≤a≤1时，f(x)在(－2，＋∞)上单调递增；当a>1时，f(x)在(－2，－1－)，(－1＋，＋∞)上单调递增， 在(－1－，－1＋)上单调递减． 考点三　函数单调性的应用 考向1　比较大小或解不等式 [例2] (1)已知函数f(x)＝sin x＋cos x－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln 2)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>c>b B．a>b>c C．b>a>c D．c>b>a (2)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)>1的解集为________． (1)A　(2)(，＋∞)　解析：(1)因为f′(x)＝cos x－sin x－2＝cos (x＋)－2<0恒成立，所以f(x)在R上是减函数．因为－π<ln 2<2e，所以f(－π)>f(ln 2)>f(2e)，即a>c>b. (2)∵f(x)＝ex－e－x－2x＋1，定义域为R，∴f′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时，等号成立，∴f(x)在R上是增函数．又f(0)＝1，∴原不等式可化为f(2x－3)>f(0)，即2x－3>0，解得x>，∴原不等式的解集为(，＋∞). 比较大小或解不等式的关键 (1)若已知函数解析式比较函数值的大小，首先要判断已知函数的单调性，根据单调性比较大小． (2)若是比较数值的大小，其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数，并根据构造的辅助函数的单调性比较大小． (3)解不等式的关键是利用导数判断函数的单调性． 考向2　求参数的范围 [例3] 已知g(x)＝2x＋ln x－. (1)若函数g(x)在区间[1，2]内单调递增，求实数a的取值范围； (2)若函数g(x)在区间[1，2]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意知g(x)＝2x＋ln x－(x>0)， 则g′(x)＝2＋＋(x>0). ∵函数g(x)在[1，2]上单调递增， ∴g′(x)≥0在[1，2]上恒成立，即2＋＋≥0在[1，2]上恒成立， ∴a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立， ∴a≥(－2x2－x)max，x∈[1，2]. 当x∈[1，2]时，(－2x2－x)max＝－3， ∴a≥－3， ∴实数a的取值范围是[－3，＋∞). (2)g(x)在[1，2]上存在单调递增区间， 则g′(x)>0在[1，2]上有解，即a>－2x2－x在[1，2]上有解，∴a>(－2x2－x)min. 又当x∈[1，2]时，(－2x2－x)min＝－10， ∴a>－10. ∴实数a的取值范围是(－10，＋∞). 根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集． (2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解． (3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题． 训练2 (1)已知函数f(x)＝(x2－2ax)ex，若f(x)在[－1，1]上单调递减，则实数a的取值范围是(　　) A．[，＋∞) B．[，＋∞) C．[，) D．[0，) A　解析：由f(x)＝(x2－2ax)ex，得f′(x)＝(2x－2a)ex＋(x2－2ax)ex＝(x2－2ax＋2x－2a)ex.∵函数f(x)在[－1，1]上单调递减，∴f′(x)＝(x2－2ax＋2x－2a)ex≤0对x∈[－1，1]恒成立，即x2－2ax＋2x－2a≤0对x∈[－1，1]恒成立，∴解得a≥，∴a的取值范围是[，＋∞). (2)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c<b<a B．c<a<b C．a<c<b D．a<b<c C　解析：由b＝＝，令f(x)＝，则f′(x)＝，令f′(x)＝0，则x＝e，当x∈(0，e)时，f′(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，故f(x)＝在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，由7>5>e，则>>，即b>c>a. (3)已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ex－cos x，则不等式f(x－1)－1<eπ的解集是______________． 答案：(1－π，1＋π)　解析：当x≥0时，f(x)＝ex－cos x，f′(x)＝ex＋sin x≥1＋sin x≥0，则f(x)在[0，＋∞)上单调递增．因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)在(－∞，0]上单调递减．若f(x－1)－1<eπ，即f(x－1)<eπ＋1＝f(π)，可得|x－1|<π，解得1－π<x<1＋π，所以不等式f(x－1)－1<eπ的解集是(1－π，1＋π). 利用导数解决开放性问题 [例] 已知函数f(x)满足下列条件：①f(x)的导函数f′(x)为偶函数；②f(x)在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，则f(x)的一个解析式为f(x)＝__________． 答案：x3－4x(答案不唯一)　解析：因为f(x)在区间(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，所以当x∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)，f′(x)>0，因为f(x)的导函数f′(x)为偶函数，所以令f′(x)＝x2－4，满足题意，所以f(x)＝x3－4x＋C，C为常数． 训练 (2025·毕节校考模拟)设函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝|f(x)|，当x>0时，f′(x)<0，写出一个满足上述条件的函数f(x)＝________． 答案：()|x|(答案不唯一)　解析：当x>0时，f′(x)<0，说明f(x)在(0，＋∞)上为减函数，f(－x)＝|f(x)|，说明f(x)的函数值非负，根据上述条件可得满足条件的一个函数为f(x)＝()|x|.当x>0时，f(x)＝()x为减函数，且f(－x)＝()|－x|＝()|x|＝|f(x)|. [对应学生用书P69] 函数与导数问题中往往含有变量或参数，这些变量或参数取不同值时会导致函数单调性的变化，因而解决问题时需要进行分类讨论．在进行分类讨论时往往因找不到分类讨论界点，导致解题步骤不完整或无法解题，本节针对含参函数单调性问题从四个角度举例． 角度1　由二次项系数引起的分类讨论 [例1] 设函数f(x)＝ax－＋ln x，且f(1)＝0.若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围． 解：由f(1)＝0得，a－b＝0，即a＝b，所以f(x)＝ax－＋ln x，x∈(0，＋∞). 于是f′(x)＝a＋＋＝. ①当a＝0时，f′(x)＝>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，满足题意． ②当a>0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，满足题意． ③当a<0时，若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则ax2＋x＋a≥0在(0，＋∞)上恒成立，显然不可能； 若f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则ax2＋x＋a≤0在(0，＋∞)上恒成立，而y＝ax2＋x＋a的图象的对称轴为直线x＝－，且－>0，所以ax2＋x＋a＝0的根的判别式Δ＝1－4a2≤0，解得a≤－. 综上，实数a的取值范围是(－∞，－]∪[0，＋∞). 若导函数f′(x)解析式的局部可构造成二次项系数含有参数的二次型函数，则必须讨论二次项系数，往往分为系数为零、系数为正、系数为负三类，再判断f′(x)的符号或确定f′(x)的零点，从而实现解题目标． 角度2　由区间的包含关系引起的分类讨论 [例2] 已知函数f(x)＝2ln x＋x2－5x在区间(k－，k)上为单调函数，则实数k的取值范围是____________________． 答案：{}∪[1，2]∪[，＋∞)　解析：f′(x)＝＋2x－5＝＝，x>0. 当x∈(0，)∪(2，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在区间(0，)，(2，＋∞)上单调递增；当x∈(，2)时，f′(x)<0，所以f(x)在区间(，2)上单调递减． 要使函数f(x)在(k－，k)上单调，则(k－，k)⊆(0，)或(k－，k)⊆(2，＋∞)或(k－，k)⊆(，2)，解得k＝或k≥或1≤k≤2. 综上可知，实数k的取值范围是{}∪[1，2]∪[，＋∞). 对于已知f(x)在某个待定区间上的单调性，要确定此单调区间中参数的取值范围问题，必须先求函数f(x)在定义域上的单调区间，再按待定区间是每个单调区间的子区间分类讨论，列出相应的不等式(组)，解得参数的取值范围． 角度3　由f′(x)的零点引起的分类讨论 [例3] 已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R，a<0)，其图象在点(1，f(1))处的切线平行于x轴．试讨论函数f(x)在定义域上的单调性． 解：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2ax＋b－(x>0). 因为f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝2a＋b－1＝0，即b＝－2a＋1. 于是f′(x)＝2ax－－2a＋1＝. 令＝0得，x1＝－，x2＝1. ①当－＝1，即a＝－时，f′(x)＝－≤0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． ②当－>1，即－<a<0时，当0<x<1或x>－时，f′(x)<0；当1<x<－时，f′(x)>0. 所以f(x)的单调递减区间是(0，1)，(－，＋∞)，单调递增区间是(1，－). ③当－<1，即a<－时，f(x)的单调递减区间是(0，－)，(1，＋∞)，单调递增区间是(－，1). 综上，当a＝－时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－<a<0时，f(x)在(0，1)，(－，＋∞)上单调递减，在(1，－)上单调递增；当a<－时，f(x)在(0，－)，(1，＋∞)上单调递减，在(－，1)上单调递增． 一般地，当f′(x)有不止一个零点且零点大小关系无法确定时，就无法确定f′(x)>0或f′(x)<0的解集，进而无法确定函数f(x)的单调区间，此时必须对零点的大小关系分类讨论．若f′(x)有两个零点x1，x2，往往分成x1>x2，x1＝x2，x1<x2三类讨论，由此实现解题目标． 角度4　由函数的定义域引起的分类讨论 [例4] 设函数f(x)＝＋2ln x，其中a∈R且a≠0.试讨论函数f(x)的单调性． 解：f′(x)＝－＋＝(x>0且x≠－a). 方程2x2＋(4a－1)x＋2a2＝0的根的判别式Δ＝(4a－1)2－16a2＝1－8a. 当Δ>0时，方程2x2＋(4a－1)x＋2a2＝0有两个不相等的实根， 不妨令x1＝， x2＝. (1)若a>0，则f(x)的定义域是(0，＋∞). ①当a≥时，Δ≤0，则f′(x)≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当0<a<时，Δ>0，x1＋x2＝>0，x1x2＝a2>0，所以x1>0，x2>0，令f′(x)>0得0<x<x1或x>x2，所以f(x)在(0，x1)和(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减． (2)若a<0，则f(x)的定义域是(0，－a)∪(－a，＋∞). 因为x1－(－a)＝<0，x2－(－a)＝>0，所以0<x1<－a，x2>－a>0. 故f(x)在(0，x1)和(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，－a)和(－a，x2)上单调递减． 综上，当a≥时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当0<a<时，f(x)在(0，)和(，＋∞)上单调递增，在(，)上单调递减；当a<0时，f(x)在(0，)和(，＋∞)上单调递增，在(，－a)和(－a，)上单调递减． 一般地，需要讨论导函数f′(x)的零点是否含在定义域内，零点将定义域划分为哪几个区间，若不能确定，则需要进行分类讨论． [课时训练(19)见P381] 学科网（北京）股份有限公司 $$