精品解析：河北省衡水市冀州区滏运中学2025-2026学年高三上学期7月月考数学试题

2025—2026学年上学期月一考试 高三年级 数学试题 考试时间：120分钟 试题分数：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ） A. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D. 横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 5. 已知的二项展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在等比数列中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数满足恒成立，则当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 以下说法正确的是（ ） A. 将4封不同的信全部投入3个邮筒，共有64种不同的投法 B. 将4本不同的数学书和2本不同的物理书排成一排，且物理书不相邻的排法有480种 C. 若随机变量，且，则 D. 若随机变量，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的最大值为3 C. 函数在区间上有2个极值点 D. 函数在点处的切线方程为 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数，为偶函数，则的值为______ 13. 设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为______. 14. 函数恒有，且在上单调递增，则__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求; （2）设函数，求的值域和单调区间． 16. 如图，已知四棱锥，底面，，，，，E为棱上靠近点P的三等分点． （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 中国哈尔滨冰雪大世界是由哈尔滨市政府为迎接千年庆典神州世纪游活动，凭借哈尔滨的冰雪时节优势，而推出的大型冰雪艺术精品工程，展示了北方名城哈尔滨冰雪文化和冰雪旅游的魅力．“南方小土豆”勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的追捧．某新闻媒体机构随机调查男、女性游客各100名，统计结果如下表所示： 男性游客 女性游客 合计 喜欢滑雪 60 35 95 不喜欢滑雪 40 65 105 合计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，判断能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关？ （2）冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个基本滑雪动作（起步、滑行、转弯、制动）进行指导．根据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，，，，且四个基本滑雪动作是否达到优秀相互独立．若这四个基本滑雪动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号． （ⅰ）求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率； （ⅱ）现有一个旅游团去哈尔滨冰雪大世界游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为滑雪初学者，每个人滑雪身体条件相当，令为荣获“优秀学员”称号的人数，求的数学期望，并求这30人中多少人荣获“优秀学员”称号的概率最大． 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 19. 已知，函数 （1）求曲线在处的切线方程； （2）若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年上学期月一考试 高三年级 数学试题 考试时间：120分钟 试题分数：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简集合，由交集的概念即可得解. 【详解】因为，且注意到， 从而. 故选：A. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，结合解出即可得. 【详解】由题意可得，即， 又，故，即定义域为. 故选：C. 3. 若点是函数的图象的一个对称中心，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正切函数的图象对称性特征，建立方程求解即得. 【详解】依题意，，即， 又，故的最小值为. 故选：B. 4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上的所有点（ ） A. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 B. 横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 C. 横坐标变为原来的倍，纵坐标不变 D. 横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】 【分析】由，根据平移法则即可得到答案. 【详解】，因此是需要用的图象得到的图象，即， 所以只需把函数的图象上的所有点横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象. 故选：A. 5. 已知的二项展开式中，第项与第项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据第项与第项的二项式系数相等列出等式，解出，再用赋值法即可得出结果. 【详解】解：因为，且第项与第项的二项式系数相等， 所以，解得，取，所以所有项的系数之和为：. 故选：C 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 7. 在等比数列中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等比数列的性质计算可得所求代数式的值. 【详解】在等比数列中，，解得， 所以，， 所以，. 故选：A. 8. 已知函数满足恒成立，则当时，曲线与的交点个数为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先根据函数的对称性，确定的值，利用辅助角公式把函数化成的形式，再利用数形结合法，观察曲线与在的交点个数. 【详解】因为恒成立，所以为的一条对称轴， 那么，所以， 解得，， 与的图象如图所示： 由图可知，曲线与的交点个数为4． 故选：B 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 以下说法正确的是（ ） A. 将4封不同的信全部投入3个邮筒，共有64种不同的投法 B. 将4本不同的数学书和2本不同的物理书排成一排，且物理书不相邻的排法有480种 C. 若随机变量，且，则 D. 若随机变量，则 【答案】BC 【解析】 【分析】按照分步乘法计数原理判断A，利用插空法判断B，根据正态分布的性质判断C，根据二项分布的方差公式求出，再根据方差的性质判断D. 【详解】对于A：第1封信可以投入3个信箱中的任意一个，有3种投法； 同理，第2，3，4封信各有3种投法．根据分步乘法计数原理，共有种投法．故A错误； 对于B：先排4本不同的数学书有种排法，再将2本不同的物理书插空有种排法， 所以共有种不同的排法，故B正确； 对于C：因为，且， 所以，故C正确； 对于D：因为，所以， 所以，故D错误； 故选：BC 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的最大值为3 C. 函数在区间上有2个极值点 D. 函数在点处的切线方程为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据中的几何意义，结合图象，求得的解析式，再结合正弦函数的性质及导数的几何意义、直线的点斜式方程，逐项分析即可. 【详解】由图可知，，，即， 又有，因此，，即， 又有，因此，，综上，. 对于A，的最小正周期为，故A正确； 对于B，当时，，，，故的最大值为2，B错误； 对于C，令，则，， 当时，，当时，，当时，（舍），当时，（舍）， 故函数在区间上有2个极值点，一个是，一个是，C正确； 对于D，，，斜率， 根据直线的点斜式方程，函数在点处的切线方程为，即，故D正确； 故选：ACD. 11. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 函数，为偶函数，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的性质可求满足的等式，结合的范围可求其值. 【详解】因为为偶函数，故轴为其图象的对称轴， 所以，故， 因为，故， 故答案为：. 【点睛】本题考查三角函数的图象和性质，若已知正弦型函数图象的对称轴或对称中心，我们一般利用代入法求参数的值，本题属于基础题. 13. 设某批产品中，甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占45%、35%、20%，甲、乙车间生产的产品的次品率分别为2%和3%.现从中任取一件，若取到的是次品的概率为2.95%，则推测丙车间的次品率为______. 【答案】5% 【解析】 【分析】令A表示“取到的是一件次品”，，， 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，设，由全概率公式即可求解. 【详解】解：令A表示“取到的是一件次品”，，， 分别表示取到的产品是由甲、乙、丙车间生产的，显然是样本空间S的一个划分，且有，，.由于，，设， 由全概率公式得： ， 而，故. 故答案为：5%. 14. 函数恒有，且在上单调递增，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数最值得出，所以，已知在上单调递增，所以，解出.分和，根据在上单调性进行讨论，得出值. 【详解】已知恒有，根据正弦函数的性质可得：，即， 所以，所以 已知在上单调递增，所以，即，解得. 当时，因为，所以， 因为在上单调递增，所以， 解得，所以， 解得，故. 当时，因为，所以. 取，则，因为， 所以，故在上单调递减，不满足题意. 同理可得，时，也不满足题意. 综上可得：. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数． （1）求; （2）设函数，求的值域和单调区间． 【答案】（1） （2）值域为，单调递减区间为，单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【小问1详解】 由题意，所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 16. 如图，已知四棱锥，底面，，，，，E为棱上靠近点P的三等分点． （1）证明：直线平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由相似三角形可得线段比例，从而可得线线平行，根据线面平行的判定，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标，求得直线的方向向量以及平面的法向量，利用线面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 连接，记，连接，如下图： 在梯形中，易知，则， 由题意可得，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 由题意易知两两垂直， 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，所以平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 则. 17. 中国哈尔滨冰雪大世界是由哈尔滨市政府为迎接千年庆典神州世纪游活动，凭借哈尔滨的冰雪时节优势，而推出的大型冰雪艺术精品工程，展示了北方名城哈尔滨冰雪文化和冰雪旅游的魅力．“南方小土豆”勇闯冰雪大世界点燃了民众对冰雪运动的热情，其中雪上运动深受游客的追捧．某新闻媒体机构随机调查男、女性游客各100名，统计结果如下表所示： 男性游客 女性游客 合计 喜欢滑雪 60 35 95 不喜欢滑雪 40 65 105 合计 100 100 200 （1）依据小概率值的独立性检验，判断能否认为游客是否喜欢滑雪与性别有关？ （2）冰雪大世界招募初学者进行滑雪培训，对四个基本滑雪动作（起步、滑行、转弯、制动）进行指导．根据统计，每位初学者对起步、滑行、转弯、制动这四个动作达到优秀的概率分别为，，，，且四个基本滑雪动作是否达到优秀相互独立．若这四个基本滑雪动作至少有三个达到优秀，则可荣获“优秀学员”称号． （ⅰ）求滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率； （ⅱ）现有一个旅游团去哈尔滨冰雪大世界游玩，其中有30人参加滑雪培训，且均为滑雪初学者，每个人滑雪身体条件相当，令为荣获“优秀学员”称号的人数，求的数学期望，并求这30人中多少人荣获“优秀学员”称号的概率最大． 附：，． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）可以认为游客是否喜欢滑雪与性别有关 （2）（ⅰ）；（ⅱ），9人 【解析】 【分析】（1）计算，与临界值比较即可得出答案； （2）（ⅰ）令滑雪初学者荣获“优秀学员”称号为事件，事件包含四个基本滑雪动作均达到优秀和四个基本滑雪动作中有三个达到优秀，由独立事件的乘法公式求解即可； （ⅱ）由题意知，，设有人荣获“优秀学员”称号的概率最大，由二项分布的概率公式列不等式，解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 零假设为：游客是否喜欢滑雪与性别无关联． 由题可得． 所以依据小概率值的独立性检验，推断不成立，即可以认为游客是否喜欢滑雪与性别有关． 【小问2详解】 （ⅰ）令事件分别表示起步、滑行、转弯、制动达到优秀， 令滑雪初学者荣获“优秀学员”称号为事件，则事件之间相互独立， 事件包含四个基本滑雪动作均达到优秀和四个基本滑雪动作中有三个达到优秀， 所以滑雪初学者荣获“优秀学员”称号的概率是． （ⅱ）由题意知，， 因此，． 设有人荣获“优秀学员”称号的概率最大， 则，解得． 因为，所以， 故9人荣获“优秀学员”称号的概率最大． 18. 已知点A(0，－2)，椭圆E： (a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当△OPQ的面积最大时，求l的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】试题分析：设出，由直线的斜率为求得，结合离心率求得，再由隐含条件求得，即可求椭圆方程；（2）点轴时，不合题意；当直线斜率存在时，设直线，联立直线方程和椭圆方程，由判别式大于零求得的范围，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得到的距离，代入三角形面积公式，化简后换元，利用基本不等式求得最值，进一步求出值，则直线方程可求. 试题解析：（1）设，因为直线的斜率为， 所以，. 又 解得， 所以椭圆的方程为. （2）解：设 由题意可设直线的方程为：， 联立消去得， 当，所以，即或时 . 所以 点到直线的距离 所以， 设，则， ， 当且仅当，即， 解得时取等号， 满足 所以的面积最大时直线的方程为：或. 【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的. 19. 已知，函数 （1）求曲线在处的切线方程； （2）若曲线和有公共点， （i）当时，求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出可求切线方程； （2）（i）当时，曲线和有公共点即为在上有零点，求导后分类讨论结合零点存在定理可求. （ii）曲线和有公共点即，利用点到直线的距离得到，利用导数可证，从而可得不等式成立. 【小问1详解】 ，故，而， 曲线在点处的切线方程为即. 【小问2详解】 （i）当时， 因为曲线和有公共点，故有解， 设，故，故在上有解， 设，故在上有零点， 而， 若，则恒成立，此时在上无零点， 若，则在上恒成立，故在上为增函数， 而，，故在上无零点， 故， 设，则， 故在上为增函数， 而，， 故在上存在唯一零点， 且时，；时，； 故时，；时，； 所以在上为减函数，在上为增函数， 故， 因为在上有零点，故，故， 而，故即， 设，则， 故在上为增函数， 而，故. （ii）因为曲线和有公共点， 所以有解，其中， 若，则，该式不成立，故. 故，考虑直线， 表示原点与直线上的动点之间的距离， 故，所以， 下证：对任意，总有， 证明：当时，有，故成立. 当时，即证， 设，则（不恒为零）， 故在上为减函数，故即成立. 综上，成立. 下证：当时，恒成立， ，则， 故在上为增函数，故即恒成立. 下证：在上恒成立，即证：， 即证：，即证：， 而，故成立. 故，即成立. 【点睛】思路点睛：导数背景下零点问题，注意利用函数的单调性结合零点存在定理来处理，而多变量的不等式的成立问题，注意从几何意义取构建不等式关系，再利用分析法来证明目标不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $