专题05 平方根与立方根的三类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024八年级上册

专题05 平方根与立方根的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、平方根与立方根综合问题 类型二、平方根、立方根与数轴综合问题 类型三、平方根、立方根的整数部分问题 压轴专练 类型一、平方根与立方根综合问题 例1．已知正数两个不同的平方根分别为和，的立方根为，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了无理数的估算和平方根与立方根． （1）先根据平方根的定义列出关于a的方程，解方程求出a，再求出这个数的算术平方根，从而求出m即可； （2）根据立方根的定义列出关于b的方程，解方程求出b，再估算的大小，求出其整数部分c，最后把a，b，c代入进行计算，求出其平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数m的两个平方根分别是和， ∴， ， ， ， ∴， ∴； （2）解：∵的立方根为2， ∴， 解得：， ∵， ∴的整数部分， ∴， ∴的平方根是． 变式1-1．已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分； (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，；(2)． 【分析】（1）利用正数的两个不同平方根互为相反数这一性质，列出关于的方程，求解得出的值。 根据立方根的定义，由的立方根为，得到，进而求出的值。通过估算的大小，确定其整数部分，得到的值。 （2）把（1）中求得的、、的值代入，计算出该式的值。 再根据平方根的定义，求出这个值的平方根。 本题主要考查了平方根的性质（正数的两个平方根互为相反数 ）、立方根的定义以及无理数的估算，熟练掌握这些概念和性质是解题的关键。 【详解】（1）解：∵某正数的两个平方根分别是和， ∴， ∴， ∵的立方根为， ∴， ∴， ∵c是的整数部分， ∴， ∴，，； （2）解：当，，时， ， ∴的平方根是． 变式1-2．已知是的平方根，是的算术平方根： (1)求出的值； (2)若，且是整数，求的算术平方根． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题考查了平方根和算术平方根，无理数的估算，代数式求值，掌握无理数的估算方法是解题关键． （1）根据平方根和算术平方根的定义，得到，，即可求出的值； （2）根据无理数的估算，得到，再代入计算求出算术平方根即可． 【详解】（1）解：是的平方根，是的算术平方根， ，， ，； （2）解：， ， ， ， ， 的算术平方根是． 变式1-3．已知的立方根是3，的算术平方根是4， c是 的整数部分． (1)求 的小数部分； (2)求的平方根． 【答案】(1)；(2) 【分析】本题主要考查的是算术平方根以及立方根的意义，无理数的估算，掌握立方根的定义、算术平方根的定义和平方根的定义是解决此题的关键． （1）先估算的整数部分，进而得到的整数部分，再求其小数部分即可； （21）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值，代入代数式求出值后，进一步求的平方根即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，∴， ∴，∴的整数部分为3， 的小数部分为 （2）解：由（1）的整数部分为3，则， 由的立方根是3，可知，解得，， 由的算术平方根是4， 可知，则，解得，， ∴， ∴的平方根为． 类型二、平方根、立方根与数轴综合问题 例1．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1)2；(2) 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个． （1）利用数轴上两点间的距离公式计算即可； （2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵与互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是． 变式2-1．已知点，是数轴上两点，，点在点右侧，点表示的数为，点表示的数为的算术平方根． (1)求的值； (2)化简； (3)，是数轴上两点，所表示的数分别为和，，且满足与互为相反数，其中为实数，求的平方根． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，立方根，平方根，实数与数轴，化简绝对值，熟知相关知识是解题的关键． （1）求出，再由2的算术平方根为得到点B表示的数为，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）可证明，据此化简绝对值求解即可； （3）根据相反数的定义可得，则由非负性的性质可得，，再根据求出d的值，进而求出b的值，最后求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解；∵，2的算术平方根为， ∴点B表示的数为， ∵，点在点右侧， ∴点A表示的数为，即； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴或， 当时，则，解得， ∴， ∴的平方根为； 当时，则，解得， ∴， ∴的平方根为； 综上所述，的平方根为或． 变式2-2．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬到点B，点C，B在数轴上的对应点表示的数为3和，其中点C是的中点，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)蚂蚁在数轴上还爬过D、E两点，D、E两点分别表示实数d和e，且有与互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2)6 (3) 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离求解即可． （2）根据绝对值的意义化简绝对值，再进行运算即可． （3）根据相反数的定义以及非负数的性质得到e，d的值，代入代数式求值，再求平方根即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点C，B在数轴上的对应点表示的数为3和，其中点C是的中点，设点A表示的数为m， ∴， 解得：； 故答案为： （2）解：，则， ； 答：的值为6． （3）解：与互为相反数， ， ，且， 解得：， ， 的平方根为． 答：的平方根为． 【点睛】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，实数的运算，相反数的定义，绝对值的非负性，代数式求值，以及求一个数的平方根，掌握这些定义以及性质是解题的关键． 类型三、平方根、立方根的整数部分问题 例3．已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求和的值； (2)若，是整数，求的平方根． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了算术平方根、立方根和平方根，无理数的估算，代数式求值，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据算术平方根和立方根的定义列方程求解即可； （2）估算的范围确定的值，代入计算后求平方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是3，的立方根是2， ，， ，； （2）解：， ， ，是整数， ， ， 的平方根为． 变式3-1．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【答案】的平方根是． 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根概念，无理数大小估算，先由题意得，，求出，，再利用无理数大小估算求出，然后代入求出的值，最后通过平方根的定义即可求解，熟练掌握相关概念及运算是解题的关键． 【详解】解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， 解得：， 把代入， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴的平方根为， ∴的平方根是． 变式3-2．已知的算术平方根是3，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，；(2) 【分析】本题主要考查了算术平方根、立方根的定义，无理数整数部分的估算以及平方根的计算，熟练掌握这些定义和估算方法是解题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义，以及无理数整数部分的确定方法来求解、、的值．对于，利用算术平方根的定义建立方程；对于，依据立方根的定义构建方程；对于，通过估算的范围确定其整数部分． （2）先将（1）中求得的、、的值代入计算出结果，再根据平方根的定义求出该结果的平方根． 【详解】（1）解：的算术平方根是（算术平方根的定义：若一个非负数的平方等于，即，则叫做的算术平方根 ） 的立方根是（立方根的定义：若一个数的立方等于，即，则叫做的立方根 ） 把代入得： （比较与完全平方数、的大小 ） 即 的整数部分 综上，，， （2）解：把，，代入得： （平方根的定义：若（），则叫做的平方根， ） 的平方根是 即的平方根是 1．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 先估算的大小后即可求得，的值，然后代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， 则，， 那么， 故选：D． 2．在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方根的定义，绝对值和算术平方根的非负性，先根据非负数的性质和相反数的定义求出，，得出，最后根据平方根定义求出结果即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，，解得：，， ∴， ∵14的平方根为， ∴的平方根为． 故选：A 3．（1）若，，请求出的值； （2）是的立方根和的算术平方根的和，是比大且最相邻的整数，请求出的立方根 【答案】（1）4或；（2） 【分析】本题考查平方根和立方根，理解平方根和立方根定义是解答的关键． （1）先根据平方根和立方根定义求得或，，再代值求解即可； （2）先求得，再根据无理数的估算方法求解，然后代值求解，进而利用立方根定义求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴或，， 当时，， 当时，， ∴的值为：4或； （2）∵是的立方根和的算术平方根的和， ∴， ∵，又是比大且最相邻的整数， ∴， ∴， ∴的立方根是． 4．如图，已知数轴上的点A，B，C分别表示实数a，b，c， (1)化简： (2)若，，．且满足与互为相反数，是绝对值最小的负整数，，互为倒数，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数轴判断数，，的大小关系，继而求得，，，再结合算术平方根和绝对值的性质化简，整理即可； （2）由相反数的定义得，由绝对值的性质得到，由倒数的性质得到，再利用有理数的加减乘除法则，分别解出，，的值，继而解题． 【详解】（1）解：由数轴可知： ，，， ； （2）解：由题意可知：，，， ，，， ． 【点睛】本题考查数轴、绝对值、相反数、倒数、有理数的混合运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 5．已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，求平方根等知识，正确估算是解题的关键；先对无理数进行估算，则可求得a与b的值，代入计算，最后即可求得其平方根． 【详解】解：∵，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（1）一个长方体的体积为.它的长、宽、高之比为.求这个长方体的表面积； （2）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的平方根. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设这个长方体的长、宽、高分别为，， ，根据这个长方体的体积为列方程得，求得，则可得这个长方体的长、宽、高分别为，， ，进而可求出这个长方体的表面积； （2）根据平方根的性质可得，求得．根据立方根的定义可得，求得，再代入中，求得，再根据平方根的定义即可得解． 本题主要考查了平方根和立方根的性质，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． 【详解】(1)解：设这个长方体的长、宽、高分别为，， ， 则， ， ， ， ∴，， ∴这个长方体的长、宽、高分别为，， ， ∴这个长方体的表面积为． （2）解：∵一个正数的平方根分别是和， ∴， 解得． ∵的立方根为， ， 解得， ， 2的平方根为， ∴的平方根为． 7．（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查算术平方根、平方根和立方根的定义，非负数的性质，代数式求值．解题的关键是： （1）由算术平方根和立方根的定义可求出，，即得出，，，代入中求值，再求其立方根即可； （2）由被开方数为非负数即可求出，由算术平方根的定义可求出，代入中求值，再求其平方根即可． 【详解】解：（1）∵是的算术平方根，是的立方根， ∴，， ∴，， ∴，， ∴的立方根为； （2）根据题意得， ∴， ∴ ∵n的算术平方根是5， ∴， ∴的平方根为． 8．已知的算术平方根是5，是27的立方根，的平方根是0． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，；(2) 【分析】本题考查平方根、算术平方根以及立方根，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． （1）算术平方根、立方根、平方根的定义求出a、b、c的值即可； （2）将a，b，c的值代入，求出代数式的值，再求其平方根即可． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是5， ∴ 解得：； ∵是27的立方根， ∴ 解得：； ∵的平方根是0 ∴ 解得：． （2）解：∵，，， ∴ ∴的平方根为． 9．在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)的整数部分为4， 小数部分为．(2) 【分析】本题考查了估算无理数的大小，立方根和算术平方根以及平方根的定义，审清题意掌握相关概念是解题的关键． （1）根据无理数的估算方法求解即可； （2）根据题意立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，再仿照题意求出c的值，然后代入求其值，最后根据平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：（1）∵， ∴， ∴的整数部分为4， ∴的小数部分为． （2）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴的整数部分是3， ∴， ∴， ∴的平方根是． 10．已知的平方根为，的立方根为，是的整数部分 (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根的定义以及无理数的估算，熟练掌握平方根、立方根的定义和无理数估算方法是解题的关键． （1）根据平方根的定义，一个数的平方根互为相反数，其平方相等，可由的平方根为列出方程求；再依据立方根的定义，若一个数的立方根为，则这个数是的立方，结合的值列出关于的方程求解． （2）先确定的整数部分得到，再将、、的值代入计算，最后求其平方根． 【详解】（1）解：的平方根为， ，即， ， ． 的立方根为，， ，即， ， ， ． （2）解：， ，即， ． 把，，代入， ． ， 的平方根为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 平方根与立方根的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、平方根与立方根综合问题 类型二、平方根、立方根与数轴综合问题 类型三、平方根、立方根的整数部分问题 压轴专练 类型一、平方根与立方根综合问题 例1．已知正数两个不同的平方根分别为和，的立方根为，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 变式1-1．已知某正数的两个不同的平方根是和，的立方根为，c是的整数部分； (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 变式1-2．已知是的平方根，是的算术平方根： (1)求出的值； (2)若，且是整数，求的算术平方根． 变式1-3．已知的立方根是3，的算术平方根是4， c是 的整数部分． (1)求 的小数部分； (2)求的平方根． 类型二、平方根、立方根与数轴综合问题 例1．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． (1)求的值； (2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有与互为相反数，求的平方根． 变式2-1．已知点，是数轴上两点，，点在点右侧，点表示的数为，点表示的数为的算术平方根． (1)求的值； (2)化简； (3)，是数轴上两点，所表示的数分别为和，，且满足与互为相反数，其中为实数，求的平方根． 变式2-2．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬到点B，点C，B在数轴上的对应点表示的数为3和，其中点C是的中点，设点A表示的数为m． (1)实数m的值是______； (2)求的值； (3)蚂蚁在数轴上还爬过D、E两点，D、E两点分别表示实数d和e，且有与互为相反数，求的平方根． 类型三、平方根、立方根的整数部分问题 例3．已知的算术平方根是3，的立方根是2． (1)求和的值； (2)若，是整数，求的平方根． 变式3-1．已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分，求的平方根． 变式3-2．已知的算术平方根是3，的立方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 1．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 2．在数轴上有，两点分别表示实数和，且有与互为相反数，则的平方根为（   ） A． B． C．7 D． 3．（1）若，，请求出的值； （2）是的立方根和的算术平方根的和，是比大且最相邻的整数，请求出的立方根 4．如图，已知数轴上的点A，B，C分别表示实数a，b，c， (1)化简： (2)若，，．且满足与互为相反数，是绝对值最小的负整数，，互为倒数，试求的值． 5．已知a是的整数部分，b是的小数部分，求的平方根． 6．（1）一个长方体的体积为.它的长、宽、高之比为.求这个长方体的表面积； （2）已知一个正数的平方根分别是和，的立方根为，求的平方根. 7．（1）已知是的算术平方根，是的立方根，求的立方根． （2）若的算术平方根是5，求的平方根． 8．已知的算术平方根是5，是27的立方根，的平方根是0． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 9．在数学中，我们可以通过区间估计法估算一个无理数的近似值．例如： ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 10．已知的平方根为，的立方根为，是的整数部分 (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$