专题15 分式运算中规律与新定义型问题的四类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版八年级下册

专题15 分式运算中规律与新定义型问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式的混合运算规律探究问题 类型二、分式的混合运算假分数问题 类型三、分式的混合运算“倒数法”求值问题 类型四、分式的混合运算新定义型问题 压轴专练 类型一、分式的混合运算规律探究问题 1.先算前几项，寻找规律：题目通常会让你计算 n=1, n=2, n=3... 时的结果。你先把这几项的结果算出来，写在一起。 2.观察结果，总结通项：仔细看一下你算出来的这几个结果，看看分子、分母和序号 n 之间有什么联系。试着用 n 把这个规律表示出来，这就是通项公式。 3.验证规律，确保正确：找到规律后，最好再用 n=4 或 n=5 验证一下。把值代入你总结的公式，看结果是否和直接计算的一样。 例1．（2025·安徽滁州·一模）观察下列各式的规律． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)根据上述规律，直接写出第4个等式：______． (2)猜想满足上述规律的第个等式，并证明其成立． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了数字类的规律以及分式的加减混合运算． （1）模仿题意，直接写出第4个等式即可． （2）结合（1）的结论，得，再把等式左边和右边进行变形整理，即可作答． 【详解】（1）根据题意得，第4个等式：； （2）猜想第个等式为． 证明：等式左边， 等式右边， 左边右边， 第个等式为． 【变式1-1】（24-25九年级下·安徽六安·开学考试）【规律探索】观察以下等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， … 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：_____，由此可计算的结果为 ； (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． 【答案】(1)，； (2)猜想：，证明见解析 【分析】本题考查了数字的变化规律、分式的减法、平方差公式，解题的关键是由所给的等式总结出存在的规律． （1）根据所给的等式的形式进行求解即可； （2）分析所给的等式，总结出存在的规律即可． 【详解】（1）解：由题意得：第6个等式为：， ∴ ； 故答案为：，； （2）解：猜想第个等式为：， 证明：右边 =左边． 故猜想成立． 【变式1-2】（24-25八年级下·广东清远·月考）【观察】（1）请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： ______； ______； ______； 【发现】（2）请根据上面式子的规律，试写出第个等式（为正整数），并证明； 【应用】（3）利用上面所揭示的规律计算：． 【答案】（1）；；；（2）（为正整数），证明见解析；（3） 【分析】本题考查数字类规律探索、分式的加减、二次根式的混合运算，理解题意并总结出正确的规律是解题的关键． （1）将各式计算后即可求得答案； （2）根据已知等式总结规律并证明即可； （3）利用规律将原式化简后进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， 故答案为：；；； （2）第个等式为（为正整数），证明如下： ； （3）原式 ． 【变式1-3】（24-25八年级上·山东菏泽·期中）阅读下面的解题过程． 计算： 解：因为 所以原式， 根据以上解题方法，观察：……以此类推．你发现了什么规律？请你根据发现的规律，回答下列问题： (1)根据发现的规律，填空：________． (2)利用发现的规律，计算：． (3)类比发现的规律，化简求值：已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查分式的加减法，数字的规律变化，分式的化简求值，读懂题目信息，观察出规律是解题的关键． （1）根据题中给出的规律即可求出答案； （2）根据题中给出的规律即可求出答案； （3）根据题中给出的规律进行化简，然后将代入即可得出答案． 【详解】（1）由 可得． （2） ， ． （3） ， ∵， ∴， 原式 类型二、分式的混合运算假分数问题 1.拆分假分数：当分式的分子次数大于或等于分母次数时，就可以把它拆成一个整式加上一个真分数。 例如，(x² + 2x + 3)/(x+1) 可以拆成 (x+1) + 2/(x+1)。 2.拆分后再通分：拆分后，原式通常会变成几个整式和简单分式的加减。 这时候再进行通分，计算量会比直接对假分数通分小得多。 3.利用拆分求最值：在一些求最值的题目中，拆分假分数后可能会出现可以使用基本不等式的形式。 这能帮你快速找到最大值或最小值。 例2．（25-26八年级上·内蒙古兴安·期末）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：，，，这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：，， 解答下列问题： (1)分式是______分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式______． (3)当的值为整数时，求整数的值． 【答案】(1)真 (2) (3) 【分析】本题考查阅读理解，读懂题意，理解真分式与假分式定义及假分式化为真分式的方法是解决问题的关键． （1）由材料中真分式的定义直接判断即可得到答案； （2）由材料中将假分式化为带分式的方法计算即可得到答案； （3）由（2）知，当的值为整数时，是整数，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由真分式定义，在分式中，对于只含有一个字母的分式，分子的次数小于分母的次数，可知分式是真分式， 故答案为：真； （2）解：， 故答案为：； （3）解：由（2）知， 当的值为整数时，是整数， 的取值是的因数， 即取值为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，整数的值为． 【变式2-1】（25-26八年级上·江西宜春·月考）通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如： ．我们定义：在分式中，对于只含有1个字母的分式．当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，这样的分式就是真分式．类似的，“假分式”也可以化为“带分式”（即：整式与真分式的和的形式）．如：；再如：． 解决下列问题： (1)分式是___________分式（填“真”或“假”）； (2)请将假分式化为带分式的形式； (3)若分式的值为整数，求满足条件的整数x的值． 【答案】(1)真 (2) (3)整数x的值为，，0，2 【分析】本题考查了分式的次数与“真分式”“假分式”的定义，假分式化为带分式及分式值为整数的条件． （1）根据“真分式”的定义，分子次数<分母次数，分析分子、分母的次数即可判断； （2）仿照“假分数化带分数”的方法，将分子拆分为“含分母的项”+“剩余项”，再拆分分式即可； （3）先将假分式化为带分式，再分析“真分式部分为整数”的条件，最终根据所求式子求解x的值即可． 【详解】（1）解：分式中分子次数为0，分母次数为1，分子次数小于分母次数，故为真分式， 故答案为：真． （2）解：． （3）解：， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴为整数， ∴是3的因数，即或， 解得：，，2，， 即整数x的值为，，0，2． 【变式2-2】（25-26八年级上·湖南株洲·期中）我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或等于分母的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如、这样的分式就是假分式；再如、这样的分式就是真分式．假分数可以化成即带分数的形式．类似的，假分式也可以化为带分式整式与真分式的和或差的形式． 如： 再如： 解决问题： (1)分式是______填“真分式”或“假分式”； (2)将分式化成带分式； (3)将分式化成带分式； (4)一个三位数m，个位数字是百位数字的两倍．另一个两位数n，十位数字与m的百位数字相同，个位数字与m的十位数字相同，若m的平方能被n整除，求满足条件的两位数 【答案】(1)假分式 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式的加减和分式的定义，解题关键是理解已知条件中的新定义，熟练掌握分式的加减法则． （1）根据真假分式的定义，观察分子和分母的次数，进行判断即可； （2）把分式的分子拆成的形式，把分式写成一个整式加一个分式的形式即可； （3）利用完全平方公式将分子拆成的形式，把分式写成一个整式加一个分式的形式即可； （4）通过设未知数，表达三位数m和两位数n，计算时用完全平方公式，根据整除的意义分情况讨论即可． 【详解】（1）解：因为分式的分子和分母的次数都是1， 此分式是假分式， 故答案为：假分式； （2）解： 故答案为：； （3）解： ， 故答案为：； （4）解：设m的百位数字为a，十位数字为b，则m的个位数字为，n的十位数字为a，个位数字为b， 则：， 所以 ， 由题意得，，且a、b均为整数， 因为m的平方能被n整除， 所以为整数， 当时，，没有满足题意的b的值； 当时，，没有满足题意的b的值； 当时，，； 当时，，没有满足题意的b的值． 综上，满足条件的两位数n为36． 故答案为：36． 【变式2-3】（25-26八年级上·山东临沂·期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如：，这样的分式就是假分式：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．例如：，． 解决下列问题： 【理解知识】 （1）分式是 分式（选填“真”或“假”）； 【掌握知识】 （2）将下列假分式化为带分式： ①；②； 【运用知识】 （3）如果分式的值为整数，求x的整数值． 【答案】（1）真；（2）①，②；（3） 【分析】（1）根据“真分式”和“假分式”定义即可判断； （2）①将分子写成，然后进行变形即可解答；②将分子写成，然后进行变形即可解答； （3）先将分式化为带分式，根据x为整数，分式的值为整数即可得到x的值． 【详解】解：（1）∵分子2026的次数为0，分母的次数为1， ∴是真分式． （2）①； ②． （3）原式 ， ∵的值为整数，x为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∵在化简过程中，各分母均不能为0， ∴，，，， 解得，，，， ∴在中，应舍去， ∴． ∴x的整数值为． 类型三、分式的混合运算“倒数法”求值问题 1. 取倒数，化繁为简：如果题目给的条件或要求的式子看起来很复杂，像是一个分式套分式，就可以尝试对它取倒数。取倒数后，复杂的分式结构常常会变得非常简单。 2. 结合已知条件：取倒数后，得到的新等式通常能和题目给的已知条件联系起来。你可以把已知条件代入，快速求出这个倒数的值。 3. 再倒回来，得到答案：求出倒数的值后，再取一次倒数，就能得到原来那个复杂式子的值了。 例3．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， (1)已知，求的值； (2)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值； (3)问题解决： 已知：，，，求代数式的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． （1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； （3）根据已知等式得出，，求出，将此式分别与前面三式相减，可求得：，，，再求出结果即可． 【详解】（1）由，知，，即． ，． （2）由，得，即，． ， ． （3）由，得，即：． 由，得：；由，得：． 以上三式相加，得， ． 将此式分别与前面三式相减，可求得：，，， 【变式3-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 若，求代数式的值． 解：，，即，， ． (1)若，则________，________； (2)解分式方程组； (3)若，，，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题干中所给的倒数法即可求解； （2）先结合倒数法得出新的方程组，再结合二元一次方程组的加减消元法即可求解，注意最后需进行检验； （3）结合倒数法求出，，，三式相加再除以可推出，则根据倒数法即可得解． 【详解】（1）解：， ， 即， ， ， 则， 即， ， ． 故答案为：，． （2）解： 由得，， 由得，, 得，， 得，， 得，， ， ， ， ， 将代入得，， 解得， 经检验是分式方程组的解， 该分式方程组的解为． （3）解：， ， 即， ， ， 即， ， ， 即， ， ， 即， ． 【变式3-2】（25-26八年级上·天津南开·月考）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴，即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的化简求值，参数法和倒数法的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设（），则 ，，，然后代入即可求解； （）利用倒数法将分式方程变形，再通过完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：设（），则，，， ∴ ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式3-3】（25-26七年级上·上海·期末）在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知：，求代数式的值． 解：∵，∴即，∴ 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：若，且，求的值． 解：令则，，，∴， 根据材料回答问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． (3)若，，，，且，求的值． 【答案】(1) (2)34 (3)8 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握完全平方公式及分式的通分与约分是解题的关键． （1）仿照材料二，设，则，，，代入所求式子即可； （2）仿照材料一，取倒数，再约分，利用完全平方公式性质求解即可； （3）令，求得，，，代入求解，得，据此求解可得结论． 【详解】（1）解：设，则，，， ； （2）解：， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴令， ∴， 解得：∴， ∴，，， 将其代入中得：， ∴（，，，） ∴，，， ∴， ∴． 类型四、分式的混合运算新定义型问题 1. 仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题目会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。 2. 套用公式，代入计算：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入进去。这就像套用一个新的数学公式一样。 3. 结合已有知识，综合求解：在套用新定义的同时，别忘了分式运算的基本法则。在新定义的运算过程中，可能还会涉及到分式的化简、通分等，这些都需要用我们已经学过的知识来解决。 例4．（2025·广东深圳·模拟预测）（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． 【理解】分式：①，②中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； （2）【应用】先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）②；（2），当时，该式的值为整数 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． （1）根据“和谐分式”的定义判断即可； （2）原式化简为，继而得出原式，结合分式有意义的条件可得答案． 【详解】解：（1）为整式，， 是“和谐分式”， 故答案为：②； （2）原式 ， 且， 且且， 若该分式的值为整数，则，此时分式的值． 【变式4-1】（25-26八年级上·广东广州·期末）定义：若两个分式的和为为正整数，则称这两个分式互为“阶分式”． 例如，分式与互为“阶分式”． (1)分式与 互为“阶分式” (2)若正数，互为倒数，求证：分式与互为“阶分式”； (3)若分式与互为“阶分式”（其中，为正数），求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了分式的混合运算，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，列式，然后结合分式减法法则计算，即可作答． （2）结合倒数的性质，得，再分别化简，，则，即可作答． （3）结合“阶分式”的定义得，整理，即，又因为为正数，得，故，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， ∴分式与互为“阶分式”； （2）解：∵正数，互为倒数， ∴， ∴， ， 则， 故分式与互为“阶分式”； （3）解：与互为“阶分式”， ． ． ， ∴ 即． ∴， 又为正数， ∴， ∴， ． 【变式4-2】（25-26八年级上·广东东莞·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：，则是“美好分式”． (1)下列分式中，属于“美好分式”的是___________；（只填序号） ①；②；③． (2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)判断的结果是否为“美好分式”，并说明理由． 【答案】(1)①③ (2) (3)是美好分式，理由见解析 【分析】本题考查“美好分式”的定义，分式的计算和化简，掌握分式的化简是解题的关键． （1）根据“美好分式”的定义，逐一转化判断即可； （2）根据题意，将分式转化即可； （3）先根据分式的运算法则，计算的结果，再根据“美好分式”的定义，转化判断即可． 【详解】（1）解：， 是“美好分式”； ， 不是“美好分式”； ， 是“美好分式”； 故选：① ③； （2）解：； （3）是美好分式，理由如下， ， 则原式， 故的结果为“美好分式”． 【变式4-3】（25-26八年级上·辽宁大连·期末）定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)分式，，判断与是否互为“和常分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”的值； (2)分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． 求代数式（用含的式子表示）； 若分式的值为正整数，求的值； (3)分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”的值． 【答案】(1)与互为“和常分式”，且“和常值” (2)；或 (3) 【分析】本题考查了分式的加法计算，正确理解“和常分式”的定义是解题的关键． （1）根据分式的加法计算法则求出的结果即可得到结论； （2）先根据分式的加法计算法则表示出，再根据“和常分式”的定义且“和常值”，列式计算即可；先表示出，再根据分式的值为正整数求解即可； （3）根据分式的加法计算法则表示出，根据与互为“和常分式”，列式后化简整理，然后对比系数列方程求解即可． 【详解】（1）解：与互为“和常分式”．理由如下： ， 与互为“和常分式”，且“和常值”． （2）解： ， 与互为“和常分式”，且“和常值”， ， ，即， ． 由可知，． 分式的值为正整数， 或， 或． （3）解： ． 与互为“和常分式”， ． ， ， ，解得， 由得， ，均为整数，满足题意， “和常值”的值为． 一、单选题 1．（2025·广东江门·一模）定义：．已知，，则（    ） A． B．8 C． D．32 【答案】B 【分析】此题考查了分式的减法、因式分解、代数式的求值．先利用新定义和分式减法得到，再把代数式因式分解并整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴ 故选：B 2．（25-26八年级上·广西来宾·期中）已知，将分别用和代入计算后，再根据所得结果规律，计算的结果是（   ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】此题考查分式的加法计算，利用已知等式将每个分式拆项，通过通分求和简化表达式，即可得到答案 【详解】解：∵ = ， = ， ⋯ = ， ∴ 原式 = ， 中间项相互抵消， ∴ 原式 = = ， 通分得： = ， 故选：A． 3．（24-25八年级下·重庆·期中）若定义三个函数分别为：，，，下列结论：①的最小值为；②若为整数，则满足条件的整数的个数为个；③当时，．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】①由，可判断①； ②把化简得，然后根据为整数，为整数，可判断②； ③由得，然后把变形，可判断③． 【详解】解：①∵，， ∴ ， ∴的最小值为，故结论①正确； ②∵，， ∴， ∵为整数，为整数， ∴，，，，，，，， ∴，，，，，，，， ∵， ∴，，，，，，共个，故结论②正确； ③∵，，， ∴，即， ∴，即， ∴ ， 故结论③错误． 综上所述，正确结论为①和②，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查整式的加减，完全平方公式，分式的化简求值等知识点，掌握相应的运算法则是解题的关键． 二、填空题 4．（25-26八年级上·山东淄博·期中）观察下列等式，根据其中的规律，猜想_______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据已知数列的计算公式得出其循环周期是解题的关键．根据题意分别用含x的式子表示出、、、，从而得出数列的循环周期为3，据此即可得解答． 【详解】解：∵， ∴， ， ， …… ∴每3个数为一周期循环， ∵， ∴， 故答案为：． 5．（24-25八年级上·湖南娄底·期中）已知，，，，……，，根据规律，请计算______（用含x的式子表示） 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探究、分式的混合运算，通过计算，探索出运算结果的循环规律是解题的关键．根据题意，先求得、、、、，……，进而得到变化规律即可求解． 【详解】解：根据题意，， ， ， ， ， ……， 发现结果以、、为一组循环出现， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（25-26八年级上·山东泰安·期中）定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”．下列3组分式：①与；②与；③与；其中属于“友好分式组”的有____（只填序号）． 【答案】②③ 【分析】本题考查了分式的减法运算． 根据“友好分式组”的定义，计算每组分式的差，判断是否等于2． 【详解】解：①； ②； ③． 因此，属于“友好分式组”的有②③． 故答案为：②③． 三、解答题 7．（2025·安徽淮北·一模）观察下列各式的规律 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ┈┈ (1)根据上述规律，直接写出第4个等式： (2)猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了数字类的规律以及分式的加减混合运算． （1）模仿题意，直接写出第4个等式，即可作答． （2）结合（1）的结论，易得，再把等式左边进行变形整理，即可作答． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ∴第4个等式； 故答案为：； （2）解：由（1）的规律得第个等式：， 证明如下： 左边 右边， ∴成立． 8．（25-26八年级上·山东济宁·月考）观察下列各式：，，，，，… (1)请你猜想出表示上列各式特点的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来_______． (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了分式的加减法，分式的规律性问题，弄清题中的拆项法是解题的关键． （）根据给出的式子，写出用x表示的一般规律即可； （）利用找出的一般规律进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， ， ∴， 故答案为：； （2）解： ． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）定义：若分式，满足，则与互为“平衡分式”． (1)若，，判断与是否互为“平衡分式”，并说明理由． (2)若实数能使与互为“平衡分式”，求实数的值． 【答案】(1)与互为“平衡分式”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了新定义平衡分式的理解与应用，以及同分母分式的加减运算，掌握并紧扣定义，将新问题转化为分式加减运算的方法是解题的关键． （1）根据平衡分式的定义，计算的和，判断其是否等于； （2）根据定义列出等式，合并同分母分式后，通过分子相等建立方程求解． 【详解】（1）解：与互为“平衡分式”．理由如下： ， 与互为“平衡分式”． （2）解：根据题意，得， 整理，得， 则 故， 解得． 10．（25-26八年级上·安徽合肥·期末）观察下列各式： 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：； 第个等式：． …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第个等式： ________； (2)写出你猜想的第（为正整数）个等式： ________，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查数字规律探究，分式的运算与通分，掌握裂项相消是解题关键． （1）根据前个等式的规律，直接写出第个等式； （2）先归纳出第个等式的猜想形式，再通过分式通分计算，验证等式左右两边相等． 【详解】（1）解：由题可知，． 答：． （2）解：，证明如下： ， ， ． 11．（25-26八年级上·湖南郴州·月考）观察下列算式，第一个式子；第二个式子；第三个式子；第四个式子；…… 根据你发现的规律解决下列问题： (1)写出第n个式子： （n为正整数）． (2) （n，m为正整数且n>m）． (3)若，试求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了分式的运算，绝对值的非负性，分式的规律性问题； （1）根据题意找出规律即可求出； （2）根据题意找出规律即可求出； （3）由题意得到，解得，代入原式，再根据计算即可． 【详解】（1）解：第n个式子为： ， 故答案为：． （2）解：设， ， ∴， 令，则， 令，则， ∴ ， ， 故答案为：． （3）解：由题意，， 解得， 原式 ． 12．（25-26八年级上·贵州铜仁·月考）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为”和谐分式” 如，，则和都是”和谐分式”． (1)将”和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数，这个整数是多少． 【答案】(1) (2)，时，整数为1 【分析】此题考查分式的变形计算，分式的四则混合运算，同分母分式加法逆运算． （1）根据同分母分式加法将各分式变形； （2）先根据分式的四则混合运算法则化简，再变形为，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 要使得该式的值为整数， 则， ∴或（为满足分母不为0，故舍）， ∴该式子的值为． 13．（24-25八年级下·福建福州·期中）定义1：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”． 例如：，则分式与互为“3阶分式”． 定义2：若两个分式的和等于两个分式的积，即，那么就称分式与分式“互为友好分式”． 例如：分式与分式，因为，， 所以分式与分式“互为友好分式”． (1)分式与互为“______阶分式”． (2)分式与______互为“6阶分式”． (3)请通过计算判断分式与分式是不是“互为友好分式”？ 【答案】(1)5 (2) (3)不是 【分析】本题考查了新定义，分式的加减以及分式的乘法运算． （1）把所给两个分式相加即可判断； （2）用6减去即可求解； （3）分别计算所给两个分式的和与差几颗判断． 【详解】（1）∵ ∴式与互为“5阶分式”． 故答案为：5； （2）由题意，得 故答案为：； （3）∵， ， ∴分式与分式不是“互为友好分式”． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题15分式运算中规律与新定义型问题的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、分式的混合运算规律探究问题 类型二、分式的混合运算假分数问题 类型三、分式的混合运算“倒数法”求值问题 类型四、分式的混合运算新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、分式的混合运算规律探究问题 1.先算前几项，寻找规律：题目通常会让你计算n=1,n=2,n=3.·时的结果。你先把这几项的结果算 出来，写在一起。 2.观察结果，总结通项：仔细看一下你算出来的这几个结果，看看分子、分母和序号n之间有什么联系 试着用n把这个规律表示出来，这就是通项公式。 3.验证规律，确保正确：找到规律后，最好再用n=4或n=5验证一下。把值代入你总结的公式，看结 果是否和直接计算的一样。 例1.(2025安徽滁州一模)观察下列各式的规律. 第1个等式：4+1-1= 3 3 第2个等式：5+2-1三4： 4 第3个等式：号3-1号 (1)根据上述规律，直接写出第4个等式： (②)猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立. 【变式1-1】(24-25九年级下，安徽六安开学考试)【规律探索】观察以下等式： 第1个等式：2一i3 211 第2个等式：4一35 211 1/11 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第3个等式： 211 62-157’ 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：， 此可算名+子子的储果为 (2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明. 【变式1-2】(24-25八年级下·广东清远月考)【观察】(1)请你观察下列式子的特点，并直接写出结果： 11 11 +下+2京=1+ 12 11 11 +2+京1+ 23 11 11 V++=1+ 34 【发现】(2)请根据上面式子的规律，试写出第n个等式（n为正整数)，并证明； 11 ,11 ，11 1 【应用】(3)利用上面所揭示的规律计算： 1++2+V1+2+3+V1+3+4++1+ (n+12 【变式1-3】(24-25八年级上山东菏泽期中)阅读下面的解题过程. 1 计算： 1×22×33×4 9×10 解同为14行g而古0 所以原--引目》居g: =1 10 9 根据以上解题方法，观察：上=1-，1。=11,1=11， 1x222x323’3×434,以此类推.你发现了什么规律？请你 根据发现的规律，回答下列问题： 1 (①)根据发现的规律，填空： n(n-1) (2)利用发现的规律，计算：1-】1上-11_1 2612203042 1 (类比发现的规律，化简求值：已知。+3a-9=0,求代数式aa+十a+1a+2十a+2a+习的值. 2/11 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、分式的混合运算假分数问题 1.拆分假分数：当分式的分子次数大于或等于分母次数时，就可以把它拆成一个整式加上一个真分数。 例如，(x2+2x+3)/x+1)可以拆成(x+1)+2/(x+1)。 2.拆分后再通分：拆分后，原式通常会变成几个整式和简单分式的加减。 这时候再进行通分，计算量会比直接对假分数通分小得多。 3.利用拆分求最值：在一些求最值的题目中，拆分假分数后可能会出现可以使用基本不等式的形式。 这能帮你快速找到最大值或最小值。 例2.（25-26八年级上·内蒙古兴安期末)阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如： 8-6+2-2+2-22 33 33 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假 分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”. 如，-，+，上，￡这样的分式就是假分式。 x+1’x-2’x+2’x-1 再如：3，L,×,2x这样的分武就是真分式 x+1’x-2’x2-1’x2+1 类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）. 如：=-x+-2-1-2,+--2+3-1+3 x+1x+1 x+1’x-2x-2 -2 解答下列问题： 0分式2是 分式（填“真”或“假”）； ②将假分式2x-一化为带分式 x+1 3)当2x-1 的值为整数时，求整数x的值， x+1 【变式2-1(25-26八年级上江西宜春·月考)通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和假分数”.而 假分数都可化为带分数，如： 号6：2-号子=2号我们定义：在分式中，对于只含有1个字的分式当 3 分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为假分式”，如：+4，亡这样的分式就是假分式， x+1’x-1 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式，如：3,2x这样的分式就是真分式.类似的， x+1’x2+19 “假分式”也可以化为“带分式”（即：整式与真分式的和的形式）.如： 2r44-2+2+2-2++2=2+2:再如：上-1111-x+1+ x+1 x+1 x+1 x+1 x-1x-1x-1x-1 x-1 3/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解决下列问题： ①分式是 分式（填“真”或“假”）； ②)请将假分式5r-3化为带分式的形式： x+2 ③)若分式2x一的值为整数，求满足条件的整数x的值。 x+1 【变式2-2】(25-26八年级上湖南株洲期中)我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”，分子大于或 等于分母的分数，叫做“假分数”.类似的，我们定义：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时， 我们称之为假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式.如二、￡这样的分式 x+1、x+1 就是假分式：再如、这样的分式就是真分式。假分数可以化成1+（即骨带分数的形式。类 x+、x2+i 5 似的，假分式也可以化为带分式（整式与真分式的和或差）的形式. 如：2x-12(x+1)-3_2x+1+-3=2-3 x+1x+1x+1x+1x+1 。2+3a2+1+2-a2+1+2=1+ 2 再如： a+I-a+l-a+lfa+l-+a+l 解决问题： (①分式x是 (填“真分式”或“假分式”)； x+3 2将分式4+20+3化成带分式， a+2 ③)将分式“+4ab+4+5化成带分式 a+2b (4)一个三位数m,个位数字是百位数字的两倍.另一个两位数n,十位数字与m的百位数字相同，个位数 字与m的十位数字相同，若m的平方能被n整除，求满足条件的两位数n. 【变式2-3】(25-26八年级上·山东临沂期末)著名数学教育家波利亚曾说：“对于一个数学问题，改变它的 形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则.” 【阅读材料】通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数.如： 86+2:2+22我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母 33 3 的次数时，我们称之为假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为真分式.如：X- +i, 这样的分式就是假分式：，这祥的分式就是真分式。类似的，假分式也可以化为带分式即 x-1 整式与真分式的和的形式.例如：=x+-21-2,之-x-+x-+山+1+L x+1x+1 x+1x-1 x-1 x-1 4/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解决下列问题： 【理解知识】 (1)分式2026 x+1 分式（选填“真”或“假”）： 【掌握知识】 (2)将下列假分式化为带分式： +4:②22-4+1 ①t+ x-2 【运用知识】 《3》如果分式3x+7_-1?-1的值为整数，求x的整数值。 x+1 x x2+3x 类型三、分式的混合运算“倒数法”求值问题 1.取倒数，化繁为简：如果题月给的条件或要求的式子看起来很复杂，像是一个分式套分式，就可以尝 试对它取倒数。取倒数后，复杂的分式结构常常会变得非常简单。 2.结合已知条件：取倒数后，得到的新等式通常能和题目给的已知条件联系起来。你可以把已知条件代 入，快速求出这个倒数的值。 3.再倒回来，得到答案：求出倒数的值后，再取一次倒数，就能得到原来那个复杂式子的值了。 行求子的值 例3.(25-26八年级上贵州铜期中)操作发现：阅读下列解题过程：已知x=, x4+1 解由知0，所以1=，即x+3 -2=32-2=7, x2 的值为7的倒数，即x=1」 x4+1 x4+17 以上解法中先将己知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数 法”， 0已如片果云的值： x4+1 (2)实践探索：请你利用倒数法”解决下面问题： x4-x2+1 (3)问题解决： 已知：”，-号石-号：求代数成+：的收 5/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-1】(24-25八年级下·江苏扬州期末)阅读材料：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技 巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的. +求代数式2+是的值。 解：：x=1 2+12’ :+1=2,即+=2，x+=2, x2+1=12 -2=22-2=2. 1 )诺x+3则x+ x x4+7x2+1 mn 1 (2)解分式方程组 2m+3n5 mn 1 3m+2n3 3)若 1 bc 1 ac I a+62024'b+e2025'a+c2026’求。 abc一的值。 ab+bc+ac 【变式3-2】(25-26八年级上·天津南开·月考)在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化 式子，解答问题 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的 保：已短：子课代数式x+的做 解行4即4. xx 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”,将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以 通过适当变形解决问题 侧：若2x=3y=4红，且20，求+2的偷 解：令2=3y=4:=k0则x交y k kx 3’2= 4’: y+z 二k+ 根据材料回答问题： (0)已知g-=Sabc≠0)，求30+4c的值： 543 2a @2手®r之0 6/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-3】(25-26七年级上·上海期末)在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子， 解答问题， 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式， 从而运用约分化简，以达到计算目的， 例：已知：下1子求代数式+的值 解：子4即之+4，一 xx 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“k”,将连等式变成几个值为k的等式，这样就可以 通过适当变形解决问题， 例：若2x=3y=4,且0，求本三的值 1 解：令2x=3y=4红=kk≠0)则x=, k 一 2 2 4’ y+z 1 1 k+ 3 12 根据材料回答问题： 号写ac≠0，求0c的值， ()已知g=bc 2a (2)已知。x一1 Px+写求+的值 x x2+y2+z2 bz+qycr+azay+br4a2+4h2+4c,r≠0，y≠0，z≠0，且abc=1,求z的值. 类型四、分式的混合运算新定义型问题 1.仔细审题，吃透定义：这是最关键的一步。题月会用一个新的符号（比如※、⊕、△等）来定义一种 新的运算。你需要仔细阅读这个定义，弄清楚它到底代表什么样的计算过程。 2.套用公式，代入计算：理解新定义后，把题目给出的具体数字或字母，严格按照定义的运算顺序代入 进去。这就像套用一个新的数学公式一样。 3,结合己有知识，综合求解：在套用新定义的同时，别忘了分式运算的基本法则。在新定义的运算过程 中，可能还会涉及到分式的化简、通分等，这些都需要用我们已经学过的知识来解决。 例4.(2025广东深圳模拟预测)(1)【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和 头意9大方烟粉对惠智-片异，骨瑞粉安 理解】分式：①x3,②2中，属于“和谐分式的是 (填序号)； 7/11 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)【应用】先化简4x+7_x-1x2-1 ,并求x取何整数时，该式的值为整数， x+1 x x2+2x 【变式4-1】(25-26八年级上广东广州期末)定义：若两个分式的和为n(n为正整数)，则称这两个分式互 为“阶分式”. 例如，分式3与3x互为3阶分式 x+11+x 0合式39与.直5阶分式 2送正数x，)为数，求证：分武与，互为2阶分式 3)若分式a。 Q+46与 2b互为1阶分式（其中a,b为正数），求b的值. a2+2b 【变式4-2】(25-26八年级上·广东东莞期末)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分 武的和的形式，聚么称这个分式为美好分式”，如：11+21之过子，则是美野 x-1x-1x-1x-1 分式”. ()下列分式中，属于“美好分式”的是 ；(只填序号) 02,®2，@ x+3 ②将“美好分式-2x+2化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， x-1 6)判断5x--1-1的结果是否为美好分式，并说明理由。 x+l x x2-7x 【变式4-3】(25-26八年级上辽宁大连期末)定义：如果两个分式P与Q的和为常数k,则称P与0互为“和 常分式”，常数k称为和常值.例如：分式P=,Q=2m-1,P+Q=1+2m-」=2，则P与Q互为和 m mm 常分式”，“和常值”k=2. :十？，判断4与8是香互为和常分式，若不是，请说明理；若是，请求出和 、（1)分式A=m+2，B=2”+9 常值”k的值； M 2)分式C=2m-,D= m一9，若C与D互为和常分式”，且和常值”k=2. ①求代数式M(用含m的式子表示)： ②若分式D的值为正整数，求m的值； 3分式Eam+3,F三m+0一(a,b为整数，若E与F4月帝分式，求“和常值”k的值 m2-2m+1 8/11 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9w 压轴专练 一、单选题 1.(2025广东江门一模)定义：※y=11 ,已知x-y=4,※y=2,则xy2-x2y=() x V A.-8 B.8 C.-32 D.32 ,111 2.(25-26八年级上广西来宾期中)已知 中，将分别用+1和+2代入计算后， 11 1 1 再根据所得结果规律，计算一+ 十xx+1+x+lx+2+…+(x+nx+n+的结果是（） x+2n+2 x+n+2 A. B.0 C. D.1 x(x+n+1 x(x+n+1) 3.(24-25八年级下·重庆·期中)若定义三个函数分别为：G(x=x2-9x,F(x=2x2-3x-2, T(x=-2 下列结论：①F(x-Gy)的最小值为-1，②若G)T日为整数，则满足条件的整数x的 x-3 个数为7个，国当T习 F\x)=2时，4x4+7x2+48 x2 =.其中正确的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题 4.(25-26八年级上山东淄博期中)观察下列等式4，=x,4=1-L, 41 ,04-1-1 ，…，根据其中的 41 a, a 规律，猜想a2025= (用含x的代数式表示). 1 1 1 5.(24-25八年级上湖南姿底期中)已知y=-，凸=， ’⅓为，4- ,，y1-y ,根据规律，请计算y=（用含x的式子表示) 6.(25-26八年级上山东泰安期中)定义：若两个分式的差为2，则称这两个分式属于“友好分式组”.下列 0+1与a中7：②30与a+2 3组分式：①3a与。 ，与二：③“与十2：其中属于“友好分式组的有一只填序 号) 三、解答题 7.(2025·安微淮北一模)观察下列各式的规律 9/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第1个等式： +1+1= > 42 第2个等式：+2+1= 3 第3个等式：9+ 52 -+3+1= 4 4 00 (1)根据上述规律，直接写出第4个等式：一· (②)猜想满足上述规律的第n个等式，并证明其成立. 8.(25-26八年级上山东济宁月考)观察下列各式： 1=1=1_1,1=1=1_1,1-1-11 21×212’62x323'123×434 11111111 ，204×5=45’305x656’… )请你猜想出表示上列各式特点的一般规律，用含x(x表示整数)的等式表示出来xx+刀 1 1,1,1,11 (2)请利用上述规律计算：（要求写出计算过程） 2+612+ …十 (n-1)nnn+1 9.(25-26八年级下·全国课后作业)定义：若分式A,B满足A+B=1,则A与B互为“平衡分式”. (0)若M=x2-1 十2·Y十判图M与N是否互为平衡分式，并说明理 ②若实数能使-2与+2x+7互为平衡分式”，求实数k的值 2x+52x+5 10.(25-26八年级上安徽合肥期末)观察下列各式： 第1个等试：1分1+号 1 第2个等式：兮 1111 第3个等式：3×434 111,1 第4个等式：-4×5一45 111.1 第5个等式：5×656 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： (2)写出你猜想的第n(n为正整数)个等式： ,并证明. 1.公2ǒ八年拨上满南都州月考发整下列常式，第个式f可-店，第二个于 10/11