专题07 整式加减应用的三类综合题型（压轴题专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题07 整式加减应用的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、方案选择综合问题 类型二、销售利润问题 类型三、分类讨论比较大小综合问题 压轴专练 类型一、方案选择综合问题 例1．某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期几？最低单价比最高单价少多少元？ (2)求出这一周超市出售此种百香果的总利润是多少？ (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤13元，超出5斤的部分，每斤打8折； 方式二：每斤售价12元． ①顾客买斤百香果，则按照方式一购买需要______元，按照方式二购买需要______元．（请用含a的代数式表示，结果要求化简） ②如果某顾客决定买30斤百香果，通过计算说明应该选择上述两种促销方案中的哪种方式购买更省钱． 变式1-1．日常生活中，人们经常面临需要排队的情形，某小组想要知道是否可以通过安排排队方式的方法让人们的排队时间更短． 实验研究：现有一个办事窗口，人们需要排队进行办公，每个人办事的时间称为他自身的办公时间，一个人除去自身办公以外所需消耗时间称为这个人的排队时间．如：若第一个人的办公时间为3，第二个人的办公时间为4，那么第一个人排队时间为0，第二个人排队时间为3，第三个人的排队时间为7． 不难发现，对每个人来说满足排队时间最短的方式是排在队伍的首位，这时排队时间为0，但这对每个人来说不能同时满足．于是小组希望研究出最合适的安排可以使所有人的总排队时间最短． 假设现在有甲、乙、丙三人需要排队办公，他们的办公时间分别为18、25、27． 数据计算：对三种排队方案进行计算比较． 方案一：排队方式顺次为甲、乙、丙，则总排队时间为 ； 方案二：排队方式顺次为乙、丙、甲，则总排队时间为 ； 方案三：排队方式顺次为丙、乙、甲，则总排队时间为 ． 实验结论：对比可知，方案 的总排队时间最短．（填“一”、“二”、“三”） 推广证明：甲、乙、丙三人排队办公，他们的办公时间分别为a、b、c（其中），请给出所有的排队方式，从中选出总排队时间最短的方案并证明． 变式1-2．【综合与实践】 【知识背景】为丰富市民和游客的文化生活，青秀山举办花灯展．花灯的制作方法主要包括以下步骤：①设计；②选材；③骨架制作；④裱糊（将绸缎等材料粘贴在骨架上）；⑤安装灯珠和电路；⑥装饰． 【目标设定】某兴趣小组模仿图1的造型制作花灯．如图2，花灯由4条骨架构成，依次记为，每条骨架包括半圆和两条垂直于地面的相等线段． 【步骤实施】的长为2米，半圆的半径为米，完成以下任务（取3）． 任务一：求中线段的长； 任务二：如图2所示，与的间距为米，相邻两条骨架的间距由内自外依次递增米，每条骨架的长度如下表所示，请直接写出骨架的长度； 任务三：求裱糊面积（即与地面所围成的图形面积）； 任务四：若装饰花灯需要裱糊材料和灯珠盏，在购买材料时有以下两种方案可供选择： 方案1：裱糊材料每平米30元，每盏灯珠10元； 方案2：裱糊材料每平米20元，每盏灯珠15元． 选择哪一种方案更划算？并说明理由． 骨架 骨架的长度（单位：米） 2 ▲ 变式1-3．某超市进行商品促销活动、一次性买够一定重量的猪肉就会有优惠，原价为50元/千克的猪肉按照如下活动进行售卖： 一次性购买数量（千克） 优惠金额 不超过30千克的部分 按原价优惠 超过30千克 按原价优惠 (1)某餐馆打算一次性购买猪肉45千克，若在促销期间购买，则该餐馆会比按原价购买节省多少钱？ (2)若某顾客打算一次性购买猪肉a千克，请用含a的代数式表示促销期间这个顾客的花费； (3)促销期间，某校食堂准备购买80千克猪肉，采购员计划了两种购买方案： 方案一：一次性购买猪肉80千克； 方案二：分两次购买，每次购买猪肉40千克；计算说明哪种方案更划算？并求出两种方案相差的金额． 类型二、销售利润问题 例2．今年春季，三元土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有辆，根据如表提供的信息，解答以下问题： 土特产种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 4 3 每吨土特产利润（元） 140 160 (1)求这10辆汽车共装运土特产的数量（用含有的式子表示）； (2)求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有的式子表示）． (3)现为了促销，公司决定甲种土特产每吨让利元，乙种土特产每吨利润不变，若无论装运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的土产品销售完后，总利润都保持不变，求的值． 变式2-1．某商店销售一种商品，在“双十一”期间开展了线上，线下两种促销活动，某一天的线上销售情况统计如下： 单件利润／元 销量／件 第单 第单 第单 (1)这一天线下的销售总利润比线上销售总利润少元，这天线下的销售总利润多少元？ (2)若线下销售的总件数比线上的总件数少件，求线上销售每件商品的平均利润比线下每件商品的平均利润多多少元？ 变式2-2．【阅读理解】 已知；若A值与字母的取值无关，则，解得． 所以当时，A值与字母的取值无关． 【知识应用】 已知， ． （1）用含的式子表示； （2）若的值与字母的取值无关，则的值为___________． 【知识拓展】 （3）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元：乙种羽绒服每件进价500元，每件售价800元，购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服件，当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时，请求出此时的利润． 类型三、分类讨论比较大小综合问题 例3．某地区实施阶梯电价制，居民生活用电（一户一表）价格方案如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第一档 月用电量度 第二档 200度月用电量400度 第三档 月用电量400度 例：若某用户2014年9月份的用电量为300度，则需缴电费为：（元）． (1)填空：如果小华家2014年9月份的用电量为100度，则需缴电费______元； (2)如果小华家2014年10月份的用电量为度（其中），则需缴电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） (3)如果小华家2014年11、12两个月共用电600度，已知12月份的用电量比11月份多．设11月份的用电量为度，则小华家这两个月共需缴电费多少元？（结果可用含的代数式表示，并化简） 变式3-1．巴中市为鼓励居民节约用水，对我市居民用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准如下：用户每月用水量在立方米及以下的为第一级水量，按一级用水价格收取；超过立方米且不超过立方米的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的倍收取；超过立方米的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的倍收取．为节约用水量，小明同学记录了月他家每月号的水表读数． 月份 月 月 月 月 月 月 月 水表读数/立方米 (1)直接写出小明家月的用水量是_______立方米；月平均每月的用水量为________立方米； (2)已知小明家月的水费为元，请你帮他计算月、月需缴纳的水费； (3)小明的同学小李也想计算他家月份的水费，若小李家月份的用水量为立方米，试求小李家月份需缴纳水费多少元（用含的代数式表示）？ 变式3-2．为提倡节约用水，某地对每户按年累积用水实行阶梯收费．具体水价执行标准如下表：（水费一月一缴） 用水类别 供水价格（元） 阶梯水量（年度） 第一阶梯 3 （含）以下 第二阶梯 5 （不含）～（含） 第三阶梯 10 （不含）以上 根据表中的内容，解答下列问题： (1)今年小杰家1，2，3，4月份的用水量分别为，，，，则4月份应缴水费多少元？ (2)若小杰家5月的用水量为，试用含的代数式表示应缴水费． 1．网约快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 长途费 单价 2元公里 0.5元分钟 0.8元公里 注：车费由里程费、时长费、长途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；长途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收长途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.8元． (1)若甲乘坐网约快车，行车里程为8公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元； (2)若乙乘坐网约快车，行车里程为x公里，行车时间为y分钟，则乙应付车费多少元？（用含x，y的代数式表示，并化简） (3)甲乙两人各自乘坐网约快车，行车里程分别为9.5公里与12公里，并且甲的行车时间比乙的行车时间多13.2分钟，请计算说明两人下车时所付车费有何关系？ 2．如图所示的一扇窗户（单位：米），窗户的上部是一个半圆，下部由三个完全相同的长方形组成．窗框为铝合金材料，窗户全部安装玻璃． (1)这样一扇窗户共需要铝合金_____米；（用含有x，y的代数式表示） (2)这样一扇窗户共需要玻璃_____平方米：（铝合金窗框宽度忽略不计，用含有x，y的代数式表示） (3)某公司需要购进5扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两家厂商分别给出报价如下表： 铝合金的报价 玻璃的报价 甲 180元/米 不超过100平方米的部分，定价80元/平方米；超过100平方米的部分，定价50元/平方米 乙 200元/米 定价70元/平方米，每购买7平方米的玻璃赠送1米的铝合金窗框 当，时，该公司在哪家厂商购买窗户更合算（取3）？ 3．滴滴快车已成为人们出行的首选便捷工具，行车计费规则如下表：乘客车费由时长费、里程费、远途费三部分构成．其中时长费按行车实际时间计算；里程费按行车的实际里程计算；远途费收取标准如下：行车里程千米以内（含千米）不收远途费，超过千米的，超出部分每千米收元． 项目 时长费 里程费 远途费 单价 元/分钟 元/千米 元/千米 (1)赵老师乘坐滴滴快车，行车里程为千米，行车时间为分钟，需付车费______元； (2)若小楠乘坐滴滴快车，行车里程为千米．行车时间为分钟，则小楠应付车费多少元？（用含、的整式表示，并化简） (3)小熙和小帆都乘坐滴滴快车，行车里程分别是千米和千米，受路况等因素的影响，小帆比小熙乘车多用分钟，请问小帆比小熙需多付车费多少元？ 4．某出租车公司推出A专车和B快车两种出租车，它们的收费方式如下． A专车：3千米以内收费10元，超过3千米的部分每千米收费2.5元，不收其他费用； B快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 8元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程2千米；里程大于2千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过12千米的，超出的部分每千米加收1元． (1)如果乘车路程是3千米，使用A专车出行，需支付的费用是 元；使用B快车出行，需支付的费用是 元； (2)如果乘车路程是10千米，使用A专车出行，需支付的费用是 元；使用B快车出行，需支付的费用是 元； (3)如果乘车路程是x（）千米，使用A专车出行，需支付的费用是 元；使用B快车出行，需支付的费用是 元（用含x的式子表示）； 5．综合与实践 为进一步强化体育评价，培养学生养成良好的体育锻炼习惯和健康的生活方式，提升学生身体素质和综合素养．某中学要配足体育训练器材，准备向体育用品批发公司采购一批足球和跳绳．根据以下素材，解决问题． 素材一 素材二 已知每个足球定价140元，每根跳绳定价20元． 该体育用品批发公司给该中学提供以下两种优惠方案： 方案A：足球和跳绳都按定价的九折付款； 方案B：买一个足球送一根跳绳． 该中学计划购买足球60个，跳绳根 问题解决 任务一：当时，试通过计算说明按哪种方案购买比较划算． 任务二：请用含x的代数式分别表示出两种方案需付的费用． 任务三：若两种优惠方案可同时使用，当时，请你设计出一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元． 6．每年“双11”，网上商城都会推出各种优惠活动进行促销．某民宿负责人张阿姨准备在今“双11”当天，从网上商城的三家店铺中选择一家购买被子若干条，每条被子标价800元． 【信息收集】 “双11”当天优惠活动 A店铺 享受八折优惠； B店铺 商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城购物津贴券50元，并且每单还可立减80元；（例如：一单购买2条被子需支付元） C店铺 购买10条以内（包括10条），每条立减150元；购买10条以上，前10条优惠不变，超过部分每条立减180元． 【模型建构】 （1）若一单购买a条被子，请用含a的代数式分别表示在这三家店铺采购的实际费用． 【问题解决】 （2）若张阿姨准备一单购买20条被子，应选择哪家店铺最划算？请说明理由． 7．某地区居民用电收费方式有以下两种： 方式一：未开通峰谷 阶梯递增电价 I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分） 元/度 元/度 元/度 方式二：开通峰谷 时段 峰谷分时电价 I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分） 高峰时段 元/度 元/度 元/度 低谷时段 （以外时间） 元/度 元/度 元/度 (1)已知小明家月份用电度． ①若未开通峰谷，需缴交电费______元； ②若开通峰谷，且高峰时段用电度，则小明家月份能节约多少电费？ (2)经测算，小安家月份平均每个月用电度（低谷总用电量占），其它月份平均每个月用电度（低谷用电量占）．请从电费角度说明小安家是否要开通峰谷． 8．某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 八折优惠 500元或超过500元 其中500元给予八折优惠，超过500元的部分给予七折优惠 (1)若王老师一次性购物600元，他实际付款______元，若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是 元； (2)如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a元（），用含a的代数式表示分别表示这第一天购物王老师实际付款多少元？第二天购物王老师实际付款多少元(结果要化简)？当元时，王老师两天一共节省了多少元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 整式加减应用的三类综合题型 目录 典例详解 类型一、方案选择综合问题 类型二、销售利润问题 类型三、分类讨论比较大小综合问题 压轴专练 类型一、方案选择综合问题 例1．某水果超市最近新进了一批百香果，每斤8元，为了合理定价，在第一周试行机动价格，卖出时每斤以10元为标准，超出10元的部分记为正，不足10元的部分记为负，超市记录第一周百香果的售价情况和售出情况： 星期 一 二 三 四 五 六 日 每斤价格相对于标准价格（元） 售出斤数 20 35 10 30 15 5 50 (1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期几？最低单价比最高单价少多少元？ (2)求出这一周超市出售此种百香果的总利润是多少？ (3)超市为了促销这种百香果，决定从下周一起推出两种促销方式： 方式一：购买不超过5斤百香果，每斤13元，超出5斤的部分，每斤打8折； 方式二：每斤售价12元． ①顾客买斤百香果，则按照方式一购买需要______元，按照方式二购买需要______元．（请用含a的代数式表示，结果要求化简） ②如果某顾客决定买30斤百香果，通过计算说明应该选择上述两种促销方案中的哪种方式购买更省钱． 【答案】(1)这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最低单价比最高单价少9元 (2)这一周超市出售此种百香果盈利135元 (3)①，；选择方式一购买更省钱 【分析】本题考查了正负数的应用及列代数式，解答本题的关键是看懂图表，理解题意，应用数量关系式进行解答． （1）通过看图表的每斤价格相对于标准价格，可直接得结论； （2）计算总进价和总售价，比较即可； （3）计算两种购买方式，比较得结论． 【详解】（1）解：这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最低的是星期日， （元）， 答：这一周超市售出的百香果单价最高的是星期六，最低单价比最高单价少9元； （2）解：（元）， （元）， （元）， 所以这一周超市出售此种百香果盈利135元； （3）解：①方式一：元； 方式二：（元）； 故答案为：，； ②方式一：（元）， 方式二：（元）， ∵， ∴选择方式一购买更省钱． 变式1-1．日常生活中，人们经常面临需要排队的情形，某小组想要知道是否可以通过安排排队方式的方法让人们的排队时间更短． 实验研究：现有一个办事窗口，人们需要排队进行办公，每个人办事的时间称为他自身的办公时间，一个人除去自身办公以外所需消耗时间称为这个人的排队时间．如：若第一个人的办公时间为3，第二个人的办公时间为4，那么第一个人排队时间为0，第二个人排队时间为3，第三个人的排队时间为7． 不难发现，对每个人来说满足排队时间最短的方式是排在队伍的首位，这时排队时间为0，但这对每个人来说不能同时满足．于是小组希望研究出最合适的安排可以使所有人的总排队时间最短． 假设现在有甲、乙、丙三人需要排队办公，他们的办公时间分别为18、25、27． 数据计算：对三种排队方案进行计算比较． 方案一：排队方式顺次为甲、乙、丙，则总排队时间为 ； 方案二：排队方式顺次为乙、丙、甲，则总排队时间为 ； 方案三：排队方式顺次为丙、乙、甲，则总排队时间为 ． 实验结论：对比可知，方案 的总排队时间最短．（填“一”、“二”、“三”） 推广证明：甲、乙、丙三人排队办公，他们的办公时间分别为a、b、c（其中），请给出所有的排队方式，从中选出总排队时间最短的方案并证明． 【答案】数据计算：61，77，79； 实验结论：一； 推广证明：方案一的总排队时间最短，证明见解析 【分析】本题考查了有理数加法的应用，整式加减法的应用，准确理解题意是解题的关键． 数据计算：分别计算每种方案的排队时间； 实验结论：进行比较即可； 推广证明：先分别计算每种方案的排队时间，再作差进行比较即可． 【详解】数据计算： 方案一：总排队时间为， 方案二：总排队时间为， 方案三：总排队时间为， 实验结论： ， 方案一的排队时间最短， 故答案为：61，77，79，一； 推广证明： 方案一：排队方式顺次为甲、乙、丙，则总排队时间为； 方案二：排队方式顺次为甲、丙、乙，则总排队时间为； 方案三：排队方式顺次为乙、甲、丙，则总排队时间为； 方案四：排队方式顺次为乙、丙、甲，则总排队时间为； 方案五：排队方式顺次为丙、甲、乙，则总排队时间为； 方案六：排队方式顺次为丙、乙、甲，则总排队时间为． ∵， ∴方案一比方案二总排队时间短， ∵， ∴方案一比方案三总排队时间短， ∵， ∴方案一比方案四总排队时间短， ∵， ∴方案一比方案五总排队时间短， ∵， ∴方案一比方案六总排队时间短， 综上，方案一的总排队时间最短． 变式1-2．【综合与实践】 【知识背景】为丰富市民和游客的文化生活，青秀山举办花灯展．花灯的制作方法主要包括以下步骤：①设计；②选材；③骨架制作；④裱糊（将绸缎等材料粘贴在骨架上）；⑤安装灯珠和电路；⑥装饰． 【目标设定】某兴趣小组模仿图1的造型制作花灯．如图2，花灯由4条骨架构成，依次记为，每条骨架包括半圆和两条垂直于地面的相等线段． 【步骤实施】的长为2米，半圆的半径为米，完成以下任务（取3）． 任务一：求中线段的长； 任务二：如图2所示，与的间距为米，相邻两条骨架的间距由内自外依次递增米，每条骨架的长度如下表所示，请直接写出骨架的长度； 任务三：求裱糊面积（即与地面所围成的图形面积）； 任务四：若装饰花灯需要裱糊材料和灯珠盏，在购买材料时有以下两种方案可供选择： 方案1：裱糊材料每平米30元，每盏灯珠10元； 方案2：裱糊材料每平米20元，每盏灯珠15元． 选择哪一种方案更划算？并说明理由． 骨架 骨架的长度（单位：米） 2 ▲ 【答案】任务一：米，任务二：；任务三：裱糊面积为7平方米，任务四：．两种方案费用相同，当时，是负数，表明方案2费用更低；当时，是正数，表明方案1费用更低 【分析】任务一：根据圆的周长公式列式计算即可； 任务二：用半圆的长度加两条线段的长度即可得出答案； 任务三：先分别求出半圆的面积和长方形的面积，然后相加即可； 任务四：先根据两种方案列出代数式，然后再根据a的取值范围比较大小即可． 【详解】解：任务一： （米）． 答：中线段AB的长为米． 任务二：（米）． 任务三：半圆面积为：（平方米）． 长方形面积为：（平方米）． 裱糊面积为（平方米）． 答：裱糊面积为7平方米． 任务四：方案1的费用：元． 方案2的费用：元． 当时， 解得：． 所以两种方案费用相同． 方案2的费用变形为． 当时，是负数，表明方案2费用更低； 当时，是正数，表明方案1费用更低． （方法二） 方案1的费用：元． 方案2的费用：元． 当时， 解得：． 所以两种方案费用相同． 令 ． 当时，为负数，表明方案1更划算； 当时，为正数，表明方案2更划算． 【点睛】本题主要考查了列代数式，有理数混合运算的应用，整式加减的应用，解题的关键是理解题意，列出代数式． 变式1-3．某超市进行商品促销活动、一次性买够一定重量的猪肉就会有优惠，原价为50元/千克的猪肉按照如下活动进行售卖： 一次性购买数量（千克） 优惠金额 不超过30千克的部分 按原价优惠 超过30千克 按原价优惠 (1)某餐馆打算一次性购买猪肉45千克，若在促销期间购买，则该餐馆会比按原价购买节省多少钱？ (2)若某顾客打算一次性购买猪肉a千克，请用含a的代数式表示促销期间这个顾客的花费； (3)促销期间，某校食堂准备购买80千克猪肉，采购员计划了两种购买方案： 方案一：一次性购买猪肉80千克； 方案二：分两次购买，每次购买猪肉40千克；计算说明哪种方案更划算？并求出两种方案相差的金额． 【答案】(1)375元 (2)用含a的代数式表示促销期间这个顾客的花费为； (3)方案一更划算，按照两种方案购买相差75元 【分析】本题考查了整式加减的应用，根据题意列出代数式是解题的关键； （1）根据题意，计算优惠价格即可求解； （2）分情况讨论即可求解； （3）分别计算方案一和方案二购买金额，进行比较即可求解； 【详解】（1）解：， 则节省金额为：（元）； （2）解：当时，顾客的花费为：（元）， 当，顾客的花费为： 元， 综上所述，促销期间顾客的花费为：； （3）解：方案一花费：（元）， 方案二花费：（元）， ， 方案一划算，相差：（元）． 类型二、销售利润问题 例2．今年春季，三元土特产喜获丰收，某土特产公司组织10辆汽车装运甲，乙两种土特产去外地销售，按计划10辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一土特产，且必须装满，设装运甲种土特产的汽车有辆，根据如表提供的信息，解答以下问题： 土特产种类 甲 乙 每辆汽车运载量（吨） 4 3 每吨土特产利润（元） 140 160 (1)求这10辆汽车共装运土特产的数量（用含有的式子表示）； (2)求销售完装运的这批土特产后所获得的总利润（用含有的式子表示）． (3)现为了促销，公司决定甲种土特产每吨让利元，乙种土特产每吨利润不变，若无论装运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的土产品销售完后，总利润都保持不变，求的值． 【答案】(1)吨 (2)元 (3) 【分析】（1）先求出运乙种土特产的汽车有辆，再根据表格中的数据求出总运输量即可； （2）根据利润每吨利润数量进行求解即可； （3）根据利润每吨利润数量表示出总利润，再根据题意可知总利润与x的值无关，据此即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，装运乙种土特产的汽车有辆， ∴这10辆汽车共装运土特产的数量为吨； （2）解：由题意得，销售完装运的这批土特产后所获得的总利润为元； （3）解：由题意得，总利润为元， ∵无论装运甲的汽车为多少辆，这10辆车装运的土产品销售完后，总利润都保持不变， ∴总利润与x的值无关，∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式加减的应用，正确理解题意列出对应的代数式是解题的关键． 变式2-1．某商店销售一种商品，在“双十一”期间开展了线上，线下两种促销活动，某一天的线上销售情况统计如下： 单件利润／元 销量／件 第单 第单 第单 (1)这一天线下的销售总利润比线上销售总利润少元，这天线下的销售总利润多少元？ (2)若线下销售的总件数比线上的总件数少件，求线上销售每件商品的平均利润比线下每件商品的平均利润多多少元？ 【答案】(1)这天线下的销售总利润为元 (2)这天线上销售每件商品的平均利润比线下每件商品的平均利润多元 【分析】本题考查列代数式，整式加减的应用， （1）根据“线下的销售总利润线上销售总利润”列式并化简即可； （2）分别表示出线上销售每件商品的平均利润和线下每件商品的平均利润，然后相减即可； 正确理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，得： ， ∴这天线下的销售总利润为元； （2）依题意，得： ∴线上销售每件商品的平均利润比线下每件商品的平均利润多元． 变式2-2．【阅读理解】 已知；若A值与字母的取值无关，则，解得． 所以当时，A值与字母的取值无关． 【知识应用】 已知， ． （1）用含的式子表示； （2）若的值与字母的取值无关，则的值为___________． 【知识拓展】 （3）春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共30件进行销售，甲种羽绒服每件进价700元，每件售价1020元：乙种羽绒服每件进价500元，每件售价800元，购进羽绒服后，该超市决定：每售出一件甲种羽绒服，返还顾客现金元，乙种羽绒服售价不变．设购进甲种羽绒服件，当销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关时，请求出此时的利润． 【答案】（1）   （2）   （3）9000元 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减——化简求值，掌握整式的加减——化简求值的方法是关键． （1）把A与B代入中，去括号、合并同类项即可得到结果； （2）把（1）的化简结果变形后，根据的值与字母m的取值无关，确定出此的值即可； （3）根据题意列出代数式并求解，结合获得的利润与x的取值无关，即可获得答案． 【详解】解：（1） ． ． （2） ∵的值与字母的取值无关， ∴， 解得：； 故答案为：； （3）由题意可知，这30件羽绒服的利润为 ， 销售完这30件羽绒服的利润与的取值无关， ，解得． 当时，利润为9000元． 类型三、分类讨论比较大小综合问题 例3．某地区实施阶梯电价制，居民生活用电（一户一表）价格方案如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第一档 月用电量度 第二档 200度月用电量400度 第三档 月用电量400度 例：若某用户2014年9月份的用电量为300度，则需缴电费为：（元）． (1)填空：如果小华家2014年9月份的用电量为100度，则需缴电费______元； (2)如果小华家2014年10月份的用电量为度（其中），则需缴电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） (3)如果小华家2014年11、12两个月共用电600度，已知12月份的用电量比11月份多．设11月份的用电量为度，则小华家这两个月共需缴电费多少元？（结果可用含的代数式表示，并化简） 【答案】(1)50 (2)元 (3)元或310元 【分析】本题考查了列代数式及整式加减的应用，读懂图表信息是解题的关键． （1）根据题意选择第一阶梯电价列代数式求解即可； （2）根据题意选择第一阶梯和第二阶梯列代数式求解即可； （3）根据题意，先进行判断的取值范围，根据三种情况列代数式进行表示即可． 【详解】（1）解：（元） 故答案为：50； （2）解：根据题意得， 元， 答：用电量为度（其中），则需缴电费元； （3）解：∵12月份的用电量比11月份多， ∴，根据题意分以下几种情况： ①当时，共需缴费为 元； ②当时，共需缴费为 （元）； ③当时，共需缴费为 （元）； 综上，小华家这两个月共需缴电费元或310元． 变式3-1．巴中市为鼓励居民节约用水，对我市居民用水实行“阶梯水价”收费，具体收费标准如下：用户每月用水量在立方米及以下的为第一级水量，按一级用水价格收取；超过立方米且不超过立方米的部分为第二级水量基数，按一级用水价格的倍收取；超过立方米的部分为第三级水量基数，按一级用水价格的倍收取．为节约用水量，小明同学记录了月他家每月号的水表读数． 月份 月 月 月 月 月 月 月 水表读数/立方米 (1)直接写出小明家月的用水量是_______立方米；月平均每月的用水量为________立方米； (2)已知小明家月的水费为元，请你帮他计算月、月需缴纳的水费； (3)小明的同学小李也想计算他家月份的水费，若小李家月份的用水量为立方米，试求小李家月份需缴纳水费多少元（用含的代数式表示）？ 【答案】(1)； (2)答：月的水费为元，月的水费为元． (3)当立方米时，水费为（元）；当立方米时，水费为：（元）；当立方米时，水费为：（元） 【分析】本题考查有理数，整式的知识，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算，整式的加减，进行计算，即可． （1）根据表格，可得月的用水量为：立方米，月平均每月的用水量为：，即可； （2）根据表格，求出小明家月的用水量，再根据月水费为元，求出从而得出一级用水价格，即可计算月、月需缴纳的水费； （3）分类讨论，；；，进行计算，即可． 【详解】（1）解：由表格可得，月的用水量为：立方米；月平均每月的用水量为立方米； 故答案为：；． （2）解：由表格可得，月的用水量为：（立方米），， ∵小明家月的水费为元， ∴一级用水价格为：（元/立方米）， 月的用水量为：（立方米）， ， ∴月的水费为：（元）； 月的用水量为：（立方米）， ， ∴月的水费为：（元）； 答：月的水费为元，月的水费为元． （3）解：当立方米时，水费为（元）；当立方米时，水费为：（元）；当立方米时，水费为：（元）． 变式3-2．为提倡节约用水，某地对每户按年累积用水实行阶梯收费．具体水价执行标准如下表：（水费一月一缴） 用水类别 供水价格（元） 阶梯水量（年度） 第一阶梯 3 （含）以下 第二阶梯 5 （不含）～（含） 第三阶梯 10 （不含）以上 根据表中的内容，解答下列问题： (1)今年小杰家1，2，3，4月份的用水量分别为，，，，则4月份应缴水费多少元？ (2)若小杰家5月的用水量为，试用含的代数式表示应缴水费． 【答案】(1)4月份应缴水费120元；(2)见解析 【分析】此题考查了整式加减的应用、有理数的混合运算，掌握其数量关系是解决此题的关键． （1）根据数量×单价计算可得答案； （2）分当，，时三种情况计算可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴4月份应缴水费元 （2）解：由（1）知，1至4月份已用水， ，， 当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元； 当时，应缴水费元． 1．网约快车是一种便捷的出行工具，计价规则如表： 计费项目 里程费 时长费 长途费 单价 2元公里 0.5元分钟 0.8元公里 注：车费由里程费、时长费、长途费三部分构成，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；长途费的收取方式为：行车里程10公里以内（含10公里）不收长途费，超过10公里的，超出部分每公里收0.8元． (1)若甲乘坐网约快车，行车里程为8公里，行车时间为20分钟，则需付车费多少元； (2)若乙乘坐网约快车，行车里程为x公里，行车时间为y分钟，则乙应付车费多少元？（用含x，y的代数式表示，并化简） (3)甲乙两人各自乘坐网约快车，行车里程分别为9.5公里与12公里，并且甲的行车时间比乙的行车时间多13.2分钟，请计算说明两人下车时所付车费有何关系？ 【答案】(1)需付车费26元 (2) (3)两人车费一样多，理由见解析 【分析】此题考查列代数式，代数式求值，解题关键是结合题意列出代数式，注意分情况讨论． （1）由题意可知行车里程为8公里，行车时间为20分钟，根据表内的计费规则即可求得车费； （2）分情况讨论，当时与当时两种情况，分别写出乙应付的车费； （3）设甲与乙乘坐网约快车分别为分钟、t分钟，分别列出小王和小张的车费，进行做差比较即可求解． 【详解】（1）解：（元）， 答：需付车费26元； （2）解：当时，乙应付费（元）； 当时，乙应付费 （元）； （3）解：设甲与乙乘坐网约快车分别为分钟、t分钟， 则甲应付车费， 乙应付车费， 因此，两人车费一样多． 2．如图所示的一扇窗户（单位：米），窗户的上部是一个半圆，下部由三个完全相同的长方形组成．窗框为铝合金材料，窗户全部安装玻璃． (1)这样一扇窗户共需要铝合金_____米；（用含有x，y的代数式表示） (2)这样一扇窗户共需要玻璃_____平方米：（铝合金窗框宽度忽略不计，用含有x，y的代数式表示） (3)某公司需要购进5扇这样的窗户，在同等质量的前提下，甲、乙两家厂商分别给出报价如下表： 铝合金的报价 玻璃的报价 甲 180元/米 不超过100平方米的部分，定价80元/平方米；超过100平方米的部分，定价50元/平方米 乙 200元/米 定价70元/平方米，每购买7平方米的玻璃赠送1米的铝合金窗框 当，时，该公司在哪家厂商购买窗户更合算（取3）？ 【答案】(1)米； (2)平方米； (3)该公司在乙厂购买窗户更合算． 【分析】本题考查代数式求值，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）求出制作窗框的铝合金材料的总长度即可； （2）求出窗框的面积即可； （3）分别求出甲、乙的费用比较大小即可判断； 【详解】（1）解：根据题意，得， 因此，一扇这种窗户共需要铝合金米； （2）解：根据题意，得 ， 因此，一扇这种窗户共需要玻璃平方米； （3）解：当，时，， ， 则共需铝合金米， 玻璃平方米； 根据甲厂报价，购进5扇这样的窗户需（元） 根据乙厂报价，购进5扇这样的窗户需（元） 因为， 所以该公司在乙厂购买窗户更合算． 3．滴滴快车已成为人们出行的首选便捷工具，行车计费规则如下表：乘客车费由时长费、里程费、远途费三部分构成．其中时长费按行车实际时间计算；里程费按行车的实际里程计算；远途费收取标准如下：行车里程千米以内（含千米）不收远途费，超过千米的，超出部分每千米收元． 项目 时长费 里程费 远途费 单价 元/分钟 元/千米 元/千米 (1)赵老师乘坐滴滴快车，行车里程为千米，行车时间为分钟，需付车费______元； (2)若小楠乘坐滴滴快车，行车里程为千米．行车时间为分钟，则小楠应付车费多少元？（用含、的整式表示，并化简） (3)小熙和小帆都乘坐滴滴快车，行车里程分别是千米和千米，受路况等因素的影响，小帆比小熙乘车多用分钟，请问小帆比小熙需多付车费多少元？ 【答案】(1) (2)当时，小楠应付费元，当时，小楠应付费元 (3)小帆比小熙多付车费元 【分析】本题主要考查了列代数式，整式的加减，有理数的混合运算，弄清题意，列出相应的代数式是解题的关键． （1）根据滴滴快车行车计费规则进行计算即可； （2）根据的值在千米以内，还是超过千米，分别写出小楠应付车费即可； （3）根据滴滴快车行车计费规则，计算出两人所付里程费和远途费，再计算出小帆比小熙多付的时长费，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意得（元）赵老师需付车费72元， 故答案为：； （2）解：当时，小楠应付费元 当时，小楠应付费元 （3）解：设小熙乘车用x分钟，则小帆乘车用分钟 小熙需付车费：元 小帆需付车费：元 （元） ∴小帆比小熙多付车费元． 4．某出租车公司推出A专车和B快车两种出租车，它们的收费方式如下． A专车：3千米以内收费10元，超过3千米的部分每千米收费2.5元，不收其他费用； B快车： 计费项目 起步价 里程费 远途费 计费价格 8元 2元/千米 1元/千米 注：车费由起步价、里程费、远途费三部分组成，其中起步价包含里程2千米；里程大于2千米的部分按计价标准收取里程费；远途费的收取方式为：行车不超过12千米，不收远途费，超过12千米的，超出的部分每千米加收1元． (1)如果乘车路程是3千米，使用A专车出行，需支付的费用是 元；使用B快车出行，需支付的费用是 元； (2)如果乘车路程是10千米，使用A专车出行，需支付的费用是 元；使用B快车出行，需支付的费用是 元； (3)如果乘车路程是x（）千米，使用A专车出行，需支付的费用是 元；使用B快车出行，需支付的费用是 元（用含x的式子表示）； 【答案】(1)10，10 (2)27.5，24 (3) 【分析】此题考查了整式加减、列代数式等知识． （1）分别根据两种方式列式计算即可； （2）分别根据两种方式列式计算即可； （3）分别根据两种方式列代数式进行整式加减法计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：如果乘车路程是3千米，使用A专车出行，需支付的费用是10元； 使用B快车出行，需支付的费用是（元）． 故答案为：10，10； （2）根据题意得：如果乘车路程是10千米，使用A专车出行，需支付的费用是（元）； 使用B快车出行，需支付的费用是（元）． 故答案为：27.5，24； （3）根据题意得：如果乘车路程是x（）千米，使用A专车出行，需支付的费用是（元）； 使用B快车出行，需支付的费用是（元）． 故答案为：； 5．综合与实践 为进一步强化体育评价，培养学生养成良好的体育锻炼习惯和健康的生活方式，提升学生身体素质和综合素养．某中学要配足体育训练器材，准备向体育用品批发公司采购一批足球和跳绳．根据以下素材，解决问题． 素材一 素材二 已知每个足球定价140元，每根跳绳定价20元． 该体育用品批发公司给该中学提供以下两种优惠方案： 方案A：足球和跳绳都按定价的九折付款； 方案B：买一个足球送一根跳绳． 该中学计划购买足球60个，跳绳根 问题解决 任务一：当时，试通过计算说明按哪种方案购买比较划算． 任务二：请用含x的代数式分别表示出两种方案需付的费用． 任务三：若两种优惠方案可同时使用，当时，请你设计出一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元． 【答案】任务一、按方案B购买较为划算，计算见解析； 任务二、方案A：元，方案B：元； 任务三、先按方案购买足球60个送60根跳绳，再按方案购买30根跳绳最省钱，需款8940元 【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，有理数混合运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． 任务一、根据方案A：足球和跳绳都按定价的折付款即可；方案B：买一个足球送一根跳绳先计算出买60个足球所需要的钱数再加上30根跳绳的钱数即可； 任务二、方案A足球和跳绳都打九折列代数式，方案B买60个足球赠60根跳绳，所以用买60个足球的钱数加上买剩余的跳绳的钱数列代数式即可； 任务三、先按方案B购买足球60个送根跳绳，再按方案A购买30根跳绳最省钱，然后计算费用即可． 【详解】解：任务一 方案A：（元）， 方案B：（元）， ∵， ∴按方案B购买较为划算； 任务二 方案A：（元）， 方案B：（元）； 任务三 先按B方案购买足球60个送60根跳绳，再按A方案购买30根跳绳最省钱．需付款（元）， 答：先按方案购买足球60个送60根跳绳，再按方案购买30根跳绳最省钱，需款8940元． 6．每年“双11”，网上商城都会推出各种优惠活动进行促销．某民宿负责人张阿姨准备在今“双11”当天，从网上商城的三家店铺中选择一家购买被子若干条，每条被子标价800元． 【信息收集】 “双11”当天优惠活动 A店铺 享受八折优惠； B店铺 商品每满800元可使用店铺优惠券50元，同时每满400元可使用商城购物津贴券50元，并且每单还可立减80元；（例如：一单购买2条被子需支付元） C店铺 购买10条以内（包括10条），每条立减150元；购买10条以上，前10条优惠不变，超过部分每条立减180元． 【模型建构】 （1）若一单购买a条被子，请用含a的代数式分别表示在这三家店铺采购的实际费用． 【问题解决】 （2）若张阿姨准备一单购买20条被子，应选择哪家店铺最划算？请说明理由． 【答案】（1）若购买10条以内（包括10条），需支付元，若购买10条以上，需支付元；（2）张阿姨选择C店铺购买被子最划算，理由见解析 【分析】本题考查列代数式及整式加减法的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式． （1）根据题意可以分别得到三家店铺需要支付的费用； （2）根据题意可以得出在三家店铺的购买费用，即可求解． 【详解】解：（1）一单购买a条被子的实际费用： 在A店铺一单购买a条被子，需支付：元； 在B店铺一单购买a条被子，需支付：元； 在C店铺一单购买a条被子， 若购买10条以内（包括10条），需支付：（元）， 若购买10条以上，需支付：元． （2）一单购买20条被子的实际费用： 在A店铺一单购买20条被子，需支付：元； 在B店铺一单购买20条被子，需支付：元； 在C店铺一单购买20条被子，元． ， 张阿姨选择C店铺购买被子最划算． 7．某地区居民用电收费方式有以下两种： 方式一：未开通峰谷 阶梯递增电价 I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分） 元/度 元/度 元/度 方式二：开通峰谷 时段 峰谷分时电价 I档（月用电量度及以下） Ⅱ档（月用电量度的部分） Ⅲ档（月用电量度及以上的部分） 高峰时段 元/度 元/度 元/度 低谷时段 （以外时间） 元/度 元/度 元/度 (1)已知小明家月份用电度． ①若未开通峰谷，需缴交电费______元； ②若开通峰谷，且高峰时段用电度，则小明家月份能节约多少电费？ (2)经测算，小安家月份平均每个月用电度（低谷总用电量占），其它月份平均每个月用电度（低谷用电量占）．请从电费角度说明小安家是否要开通峰谷． 【答案】(1)①；②节约电费元 (2)小安家要开通峰谷 【分析】本题考查列代数式，有理数的混合运算，整式加减的应用，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出开通峰谷全年可节省的钱数． （1）①利用“需缴交电费超过度的部分”即可求出结论； ②利用“节省的钱数低谷时段的用电量高峰时段的用电量”即可求出结论； （2）观察方式一及方式二数据间的关系，可得出“高峰时段：每度电在各档电价基础上加价元，低谷时段：每度电在各占电价基础上降低元”，利用“开通峰谷时多出的全年电费高峰时段全年的用电量低谷时段全年的用电量”可求出开通峰谷时多出的全年电费，由，可得出，进而可得出开通峰谷全年可节省元，由此可作出判断； 【详解】（1）解：①根据题意得： （元）， ∴若未开通峰谷，需缴交电费元， 故答案为：； ②根据题意得： （元）， ∴小明家月份能节约元电费； （2）小安家要开通峰谷． 理由： （元）， ∵， ∴， ∴开通峰谷全年可节省元， ∴小安家要开通峰谷． 8．某超市在双十一期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 低于500元但不低于200元 八折优惠 500元或超过500元 其中500元给予八折优惠，超过500元的部分给予七折优惠 (1)若王老师一次性购物600元，他实际付款______元，若王老师实际付款160元，那么王老师一次性购物可能是 元； (2)如果王老师有两天去超市购物原价合计900元，第一天购物的原价为a元（），用含a的代数式表示分别表示这第一天购物王老师实际付款多少元？第二天购物王老师实际付款多少元(结果要化简)？当元时，王老师两天一共节省了多少元？ 【答案】(1)470；160或200 (2)第一天购物王老师实际付款为元，第二天购物王老师实际付款元， 当元时，王老师两天一共节省元 【分析】本题考查了列代数式、整式加减的应用等知识，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键． （1）根据购物超过500元的优惠办法计算即可得；设王老师实际付款160元，分两种情况：少于200元和低于500元但不低于200元，根据优惠办法求解即可得； （2）先求出第二天购物的原价为元，再根据优惠办法列式，计算整式的加减，然后将代入计算即可得答案． 【详解】（1）解：王老师一次性购物600元，他实际付款为：元)； 若王老师实际付款160元，有两种可能： 一是一次性购物元，没有优惠； 二是一次性购物不少于200元时，则有八折优惠，实际付款元， 则王老师一次性购物原价为 （元）． 所以，王老师一次性购物可能是或元． 故答案为：；或； （2）因为第一天购物原价为a元， 则第二天购物原价为元，易知：， 第一天购物优惠后实际付款 元)， 第二天购物优惠后实际付款： 元， 王老师两天一共付款 元， 当元时， 实际一共付款：（元）， 一共节省（元）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$