精品解析：北京市清华大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

高一第二学期期末试卷 数学 （高24级）2025.07 年级_________班_________姓名_________考号_________ 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的实部为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 3. 设实数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量.若，则（ ） A. B. 4 C. D. 1 5. 已知，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 6. 下列函数中，存在极小值的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列为等比数列，为其前项和，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，已知正方形的中心为点，其边长为2.分别以为圆心，1为半径作圆.若动点分别在圆，圆，圆，圆上，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 10. 已知的定义域为，对于任意的，总有，成立，且在单调递减.则下列选项错误的是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是__________. 12. 使等式成立的一个的值为_________. 13. 已知平面向量满足，则_________. 14. 已知 （1）当时，函数的极值点的个数为_________； （2）若，使得，则的取值范围为_________. 15. 已知数列的各项均为正数，，且对于任意的有恒成立.给出下面四个结论： ①； ②存在，使得单调递增； ③若，则对于任意的，都有； ④若对于任意成立，则为常数列. 其中正确命题的序号为_________. 三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知数列为等差数列，公差为整数，，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 17. 已知函数. （1）求的单调递增区间及最小正周期； （2）设，若集合恰有两个元素，求的取值范围. 18. 已知函数的图象与轴交于点.曲线在点处的切线交轴于点. （1）当时，求的方程； （2）当时，过作轴于点，求面积的最大值. 19. 在中，. （1）求的大小； （2）从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使存在，求的面积. ①，②，③. （注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分） 20. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若存在，使得的解集为，直接写出的取值范围. 21. 已知是无穷数列，，设.其中表示中的最大值，表示中的最小值.定义. （1）若，求的值； （2）已知为正数，求证：“”为“是公差为的等差数列”的充要条件； （3）设各项均为整数，，且.若为正整数，，总有，判断是否存在最大值.若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一第二学期期末试卷 数学 （高24级）2025.07 年级_________班_________姓名_________考号_________ 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知全集，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由补集的概念即可求解. 【详解】已知全集，则. 故选：A. 2. 已知复数，则的实部为（ ） A. 4 B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数除法的运算得到，从而得到的实部. 【详解】，所以实部为， 故选：D. 3. 设实数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于ACD，取即可说明错误；对于B，结合指数函数单调性即可判断. 【详解】对于ACD，取，此时、、不成立， 对于B，因为指数函数是增函数，，所以，故B正确. 故选：B. 4. 已知平面向量.若，则（ ） A. B. 4 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】计算出，根据向量平行得到方程，求出. 【详解】， ，故，解得. 故选：C 5. 已知，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由指数、对数运算即可求解. 【详解】已知，则. 故选：A. 6. 下列函数中，存在极小值的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对于AC，由指数函数、对数函数单调性判断即可；对于BD，求导判断函数单调性，进一步得极小值情况即可. 【详解】对于AC，因为对数函数、是增函数，故它们都不存在极小值，故AC错误； 对于B，，求导得， 或，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，故B正确； 对于D，对求导得，且不恒成立， 所以是增函数，即不存在极小值. 故选：B. 7. 已知数列为等比数列，为其前项和，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，，进一步得即可求解. 【详解】因为，，而，其中是等比数列的公比， 从而“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 8. 圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求，在中利用正弦定理求，在中即可求. 【详解】， 在中由正弦定理得：，即， 所以， 又因为在中，， 所以, 故选：D 【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题. 9. 如图所示，已知正方形的中心为点，其边长为2.分别以为圆心，1为半径作圆.若动点分别在圆，圆，圆，圆上，则的最大值为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】利用引用角度作为圆上动点的参数，然后利用向量的坐标运算来求模，最后可求最大值. 【详解】 如图建立平面直角坐标系，由题意可设： 则 所以 ，当且仅当时取等号， 故选：D. 10. 已知的定义域为，对于任意的，总有，成立，且在单调递减.则下列选项错误的是（ ） A. B. C. 为偶函数 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可推导函数的一个解析式为，然后可判断. 【详解】因为， 所以符合， 又，所以关于对称，且在单调递减， 所以， 即符合题意得一个函数， ，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确； 故选：B. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5道小题，每小题5分，共25分. 11. 函数的定义域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数的限制条件可得答案. 【详解】由题意得，得，所以定义域是. 故答案为： 12. 使等式成立的一个的值为_________. 【答案】（答案不唯一）. 【解析】 【分析】由诱导公式得，进一步得即可求解. 【详解】因为， 所以或 所以. 故答案为：（答案不唯一）. 13. 已知平面向量满足，则_________. 【答案】18 【解析】 【分析】根据数量积的运算律得，再根据数量积的运算律求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，而，解得， 所以. 故答案为：18. 14. 已知 （1）当时，函数的极值点的个数为_________； （2）若，使得，则的取值范围为_________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】（1）通过求导判断函数的单调性，利用极值点的概念判断即可. （2）条件要求函数非单射的，即存在不同自变量有相同的函数值，结合分段函数，需分析使两段函数值有重叠或单调性不唯一，进而确定的取值范围. 【详解】（1）当时，， 当或时，，即在单调递减；在单调递增， 当时，恒成立，即在单调递增， 在处，左侧单调递增，右侧单调递增，不是极值点； 在处，左侧单调递增，右侧单调递减，是极值点； 故函数的极值点的个数为个. （2）若，使得，意味着函数的每个函数值对应至少两个不同自变量，即函数不是单射， 由题意得，当或时，，即在单调递减；在单调递增， 在时取最大值，即的值域为， 当时，恒成立，的值域分别为：当时，；当时，；当时，； 要保证题干的条件，必须满足一次函数的值域与二次函数的值域有交集，且一次函数值域被包含于二次函数的值域， 当时，，此时符合题意， 当时，一次函数的值域为，要求，即，解得，故或， 综上所诉，则的取值范围为. 故答案为：；. 15. 已知数列的各项均为正数，，且对于任意的有恒成立.给出下面四个结论： ①； ②存在，使得单调递增； ③若，则对于任意的，都有； ④若对于任意成立，则为常数列. 其中正确命题的序号为_________. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】利用作差法比较大小判断①③；根据递增数列的定义判定②，根据常数列定义判定④ 【详解】由， 所以， 要证明，只需证明， 即证， 这总是成立，因此结论①正确， 使得单调递增，假设， 若， 即， 与矛盾， 所以不存在，使得单调递增；故②错； 若，故，而， 故，且， 故由可得，，依次有，； ，，下面用数学归纳法证明：， 当时，由前述分析可得， 设当时，，则， 故，故，故， 故即， 故即， 故由数学归纳法可得，故③对； 若， 所以， 根据递推得， ， ， 由，解得，即为常数列.故④对； 故答案为：①③④ 三、解答题共6道小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 已知数列为等差数列，公差为整数，，且成等比数列. （1）求的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列，联立求得，从而得到通项公式； （2）写出数列的通项公式，利用分组求和求得数列的前项和. 【小问1详解】 由题意得， ，即，即， 代入，得到，解得，或（舍）， 则，所以. 【小问2详解】 ， 则. 17. 已知函数. （1）求的单调递增区间及最小正周期； （2）设，若集合恰有两个元素，求的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为， （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差正弦余弦公式将变形为，再根据正弦的周期公式及整体代换法求正弦的单调增区间即可. （2）法一，令，解得，由集合恰有两个元素，令，即可得到的取值范围；法二，由，得到的范围，由集合恰有两个元素，得到，解出即可. 【小问1详解】 . 因此的最小正周期. 设. 解得. 因此的单调递增区间为. 【小问2详解】 方法一：令，于是， 因此，解得. 因为集合恰有两个元素， 所以，即. 方法二：因为，所以. 若集合恰有两个元素， 则，解得. 即. 18. 已知函数的图象与轴交于点.曲线在点处的切线交轴于点. （1）当时，求的方程； （2）当时，过作轴于点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】（1）首先求得函数的表达式，求导，只需求得即可得解； （2）首先得，然后构造函数，利用导数求最大值即可. 【小问1详解】 由题可知，解得， 时，故切线方程； 【小问2详解】 过点的切线方程， ，所以. 故. 令，则时， . 4 + 0 - 极大值 ，故面积最大值为16，当时取到. 19. 在中，. （1）求的大小； （2）从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使存在，求的面积. ①，②，③. （注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分） 【答案】（1） （2）选①，三角形不存在；选②，面积为；选③，面积为 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理、二倍角公式得即可； （2）结合余弦定理逐一分析各个条件下是否存在，然后结合三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 由正弦定理，， . ，故. 【小问2详解】 ①不存在； ②， 故. 由有，故. 故. ③由余弦定理，， 于是，解得（负值舍去）. 因为，所以， .解得（负值舍去）. 故. 20. 已知函数. （1）若曲线在处的切线与轴垂直，求的值； （2）讨论的单调性； （3）若存在，使得的解集为，直接写出的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，的增区间为，减区间为； 当时，的增区间为和，减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的增区间为和，减区间为. （3） 【解析】 【分析】（1）先对进行求导，根据即可解出的值； （2）先求导，分别对，，，四种情况分类讨论函数单调性即可； （3）的解集为，说明的解为，由于，由可得，所以要么只有一个根为2，要么恒成立.①若只有一个根为2，可得；若恒成立，当时该不等式恒成立，当时，取代入，不符合题意，舍；当时，可化为，设，求导求单调性求其最大值即可解得，再考虑端点值时，不符合题意，舍，即得的取值范围. 【小问1详解】 由题可得， 由曲线在处的切线与轴垂直，可得， 因此. 【小问2详解】 由题知定义域为，且， ①当时，对任意， 令，则，列表如下： 1 - 0 + 极小值 所以的增区间为，减区间为； ②当时，由，可得，且，列表如下： 1 + 0 - 0 + 极大值 极小值 所以的增区间为和，减区间为； ③当时，， 令，可得，列表如下： 1 + 0 + 所以在上单调递增； ④当时，令，可得，且，列表如下： 1 + 0 - 0 + 极大值 极小值 所以的增区间为和，减区间为， 综上所述：当时，的增区间为，减区间为； 当时，的增区间为和，减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的增区间为和，减区间为. 【小问3详解】 . 【点睛】关键点点睛：本题考查根据不等式解集求参数范围，解题关键是对进行因式分解后，分析有根，无根，根大于2，小于2的各个情况，再结合图象即可得出结果. 21. 已知是无穷数列，，设.其中表示中的最大值，表示中的最小值.定义. （1）若，求的值； （2）已知为正数，求证：“”为“是公差为的等差数列”的充要条件； （3）设各项均为整数，，且.若为正整数，，总有，判断是否存在最大值.若存在，求的最大值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）存在，2047 【解析】 【分析】（1）直接根据新定义求解即可； （2）结合等差数列定义，分充分性、必要性两方面证明即可； （3）首先说明中没有最小值，然后构造新数列，再结合新定义求解即可. 【小问1详解】 ； ，； ； 【小问2详解】 充分性.若是公差为的等差数列，由为正数知递增，故， 所以.充分性得证. 必要性.假设，要证明是公差为的等差数列. 先证明递增，证明如下： 因为，注意到， 所以对任意成立.因此递增. 由递增得，所以， 即.所以是公差为的等差数列.必要性得证. 【小问3详解】 由条件，. ①中没有最小值.否则，假设中最小的项为，则，，矛盾. ②定义数列如下：.由于中没有最小值，数列是无穷数列. ③对任意的正整数.否则，若有，则 ，矛盾！ ④假设总有，则.否则，若，则全为非负数.另一方面，.，所以，矛盾！ ⑤构造：定义数列如下： 可验证：. 综上，的最大值为2047. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $