北京市第二中学2023-2024学年高一下学期第六学段（期末）学段考试数学试卷

北京二中2023—2024学年度第六学段高一年级学段考试试卷 数学必修Ⅱ 一、选择题（每小题5分，共50分） 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量．若，则（ ） A 3 B. C. 6 D. 3. 高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查，假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是 A. 两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同 B. 两组同学的样本平均数一定相等 C. 两组同学的样本标准差一定相等 D. 该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同 4. 已知非零向量，则“”是“或”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 甲、乙两人某体育项目近五次训练成绩如图，设甲、乙两人成绩的平均数分别为，标准差分别为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 我们连接一个正方体各个面的中心，可以得到一个正八面体（如图）．若该正八面体的所有棱长均为2，则二面角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，若，则的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 9. 设是边长为1正三角形，M是所在平面上的一点，且满足，则当取最小值时，的值为（ ） A. B. 3 C. D. 2 10. 如图，在边长为4的正三角形ABC中，E为边AB的中点，过E作于D．把沿DE翻折至的位置，连结．翻折过程中，有下列三个结论： ①；②存在某个位置，使；③若，则BF的长是定值． 其中所有正确结论的编号是（ ） A ① B. ①② C. ②③ D. ①③ 二、填空题（每小题5分，共30分） 11. 某地区采用分层抽样的方法，抽取一定数量的高中学生参加禁毒知识竞赛．若得到的样本中高二的学生数量比高一多40人、比高三少20人，且该地区高一、高三学生数之比为，则样本容量为_____________． 12. 已知复数，则z共轭复数_____________． 13. 已知函数(其中为实数),若对恒成立,则满足条件的值为______________(写出满足条件的一个值即可) 14. 以下为甲、乙两组按从小到大顺序排列的数据： 甲组：14，30，37，a，41，52，53，55，58，80； 乙组：17，22，32，43，45，49，b，56． 若甲组数据的第40百分位数和乙组数据的平均数相等，则__________． 15. 如图，点P是正方体的面对角线上一点，对任意的点P，有以下四个结论： ①点P到直线距离不变；②平面；③；④平面平面． 其中正确结论的序号是_____________．（写出所有你认为正确结论的序号） 16. 已知向量，满足，，若对任意实数x都有，则的最小值为______ 三、解答题（共70分） 17. 为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． （1）求图中a的值； （2）试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） （3）该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前13%的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？ 18. 如图，已知平面ABCD，四边形ABCD是矩形，，E，F分别是BC和PB的中点． （1）求证：平面； （2）求证：； （3）求三棱锥的体积． 19. 在中，角A．B．C的对边分别为a，b，c，已知． （1）问：中是否必有一个内角为钝角，说明理由； （2）从下列四个条件中选取三个，使得存在，并求出的面积． ①；②；③；④． 20. 如图，在四棱锥中，平面平面，且．四边形满足．为侧棱上的任意一点，且平面与侧棱交于点． （1）求证：平面平面； （2）设直线与平面所成的角为，求的最大值； （3）是否存在点，使得直线与平面垂直？若存在，写出证明过程并求出线段的长；若不存在，请说明理由． 21. 对任意的非空数集，定义：，其中表示非空数集中所有元素的乘积，特别地，如果，规定. （1）若，请直接写出集合和中元素的个数. （2）若，其中是正整数，求集合中元素个数的最大值和最小值，并说明理由. （3）若，其中是正实数，求集合中元素个数的最小值，并说明理由. 北京二中2023—2024学年度第六学段高一年级学段考试试卷 数学必修Ⅱ 一、选择题（每小题5分，共50分） 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 【9题答案】 【答案】C 【10题答案】 【答案】D 二、填空题（每小题5分，共30分） 【11题答案】 【答案】460 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】答案不唯一，如： 【14题答案】 【答案】100 【15题答案】 【答案】②④ 【16题答案】 【答案】 三、解答题（共70分） 【17题答案】 【答案】（1）； （2）； （3）. 【18题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）． 【19题答案】 【答案】（1）是，理由见解析 （2）选①③④， 【20题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，证明见解析，． 【21题答案】 【答案】（1）有4个元素，有7个元素 （2）个，11个 （3）13，理由见解析 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $