专题02 一元二次方程中含参数问题（专项训练）数学人教版九年级上册

专题02 一元二次方程中含参数问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用一元二次方程的定义求参数 1 题型二、一元二次方程的解求参数的值 3 题型三、一元二次方程的解求代数式的值 4 题型四、根据一元二方程根的情况求参数 6 题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用一元二次方程的定义求参数 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）当 时，是关于的一元二次方程． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义得出且，再求出m即可． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴且， 解得：． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程，根据一元二次方程的定义，可知且，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，且， 解得或， 解得：， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知是一元二次方程，则实数 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数都是2，象这样的方程叫做一元二次方程．根据的最高次数是2，且系数不等于0列式求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程， ∴且， 解得． 故答案为：． 5．（24-25九年级上·云南昆明·期中）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 题型二、一元二次方程的解求参数的值 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若是一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解满足方程是解答的关键．将代入方程中求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴，解的， 故答案为：． 7．（2025·新疆·模拟预测）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 【答案】4 【详解】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入一元二次方程得到，然后解关于m的方程即可． 【分析】解：把代入得， 解得， 故答案为：4． 8．（2025·湖南·模拟预测）已知关于x的方程的一个根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的含义，掌握以上知识是解题的关键．把代入原方程求． 【详解】解：把代入原方程： ， ， 故答案为：． 9．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的一个根， ∴ 即 解得：， 故答案为：10． 10．（24-25九年级上·青海西宁·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为的 ． 【答案】 【分析】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到，求解，即可解题． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，， 解得，， 综上，， 故答案为：． 题型三、一元二次方程的解求代数式的值 11．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，再根据计算求解即可． 【详解】解；∵关于x的一元二次方程的一个根是， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·广东广州·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中得到，再根据计算求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个根， ， ， ， 故答案为：2022． 13．（24-25九年级上·福建漳州·期中）若m是方程的一个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中可得，再根据即可求出答案． 【详解】解：∵m是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 14．（24-25九年级下·全国·假期作业）若是方程的根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，代数式求值，解题的关键是正确理解方程的根． 根据一元二次方程的解，将代入方程，求出的值，代入所求代数式，计算即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）已知m为方程的根，那么的值为 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，代数式求值，一元二次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，则，进而可得，，进一步可得，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵m为方程的根， ∴， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：0． 题型四、根据一元二方程根的情况求参数 16．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知是关于x的一元二次方程的两实根． (1)求k的取值范围； (2)若是方程的根，求k的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和己知方程的根求参数，熟练掌握根的判别式是解题的关键， （1）根据方程有两实根可得，代入数值解不等式即可得到答案； （2）由是方程的根，代入即可求k的值． 【详解】（1）解：∵有两实根， ∴， ∴， 解得：， （2）解：∵是方程的根， ∴， 解得：或． 17．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）已知的两邻边的长是关于的方程的两个实数根． (1)若的长为2，求的值； (2)当为何值时，是菱形？ 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根的判别式；熟练根据一元二次方程根的情况列出对应的等式是解题的关键． （1）将代入方程即可解出的值； （2）先根据菱形的性质得到，然后利用一元二次方程根的判别式列等式求解即可． 【详解】（1））解：当时， 将代入方程得： 解得：； （2）∵是菱形， ∴关于方程有两个相等的实数根， 解得：， 故当时，是菱形． 18．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)取何值时，方程有两个不相等的实数根； (2)求取值范围内的最小整数时，方程的根． 【答案】(1)且 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程等知识，熟练相关知识是解题关键． （1）根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的根的判别式，可得，且，求解即可； （2）根据题意可知，然后利用公式法求解该一元二次方程即可． 【详解】（1）解，由题意，可得，且， 解得且； （2）∵且 ∴取值范围内的最小整数时，可有， 当时，得， 解得． 19．（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根． （1）根据一元二次方程根的判别式结合题意可得，求解即可； （2）由题意可得且，计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：由题意得：且， ∴且 ∴且， ∴m的取值范围是：且． 20．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）我们规定：对于任意实数a，b，c，d，有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)若关于的方程有两个相同的实数根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，一元二次方程的根的判别式，正确理解新定义列出对应的算式和方程是解题的关键． （1）根据新定义可得，据此计算求解即可； （2）根据新定义可得方程，整理得，再由方程有两个相等的实数根，利用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得：． 题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 21．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根，满足，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)的值为或． 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）计算根的判别式的值得到，所以，然后根据根的判别式的意义得到结论； （）先利用根与系数的关系得，，再由已知条件得到，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， 即的值为或． 22．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根； (2)当的斜边长，且两条直角边和恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)的周长为． 【分析】本题考查了根与系数的关系和根的判别式及勾股定理． （1）根据即可证明无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根； （2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于b，c的方程，解出b，c即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ∵，，， ∴ ， ∴无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根； （2）解：∵和是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∵是直角三角形，且斜边长， ∴，即， ∴， 整理得， 解得或， ∵和是直角边， ∴和是正数， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，， ∴的周长为． 23．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知一元二次方程有两个根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，满足，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式． （1）利用根的判别式即可解决问题； （2）利用一元二次方程根与系数的关系得，，再将变形得，即可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个根， ∴， 解得， ∴m的取值范围是； （2）解：∵一元二次方程的两个根分别为，， ∴，， 又∵， ∴， 则， 解得或4， 又∵， ∴． 24．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． （1）根据根的判别式证明恒成立即可； （2）由题意可得，，，进行变形后代入即可求解． 【详解】（1）证明：， ∵无论取何值，，恒成立， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 解得：或． 25．（24-25九年级上·福建厦门·期中）若关于的方程有两个实数根， (1)求的取值范围； (2)设，是方程的两个根，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，解一元二次方程等知识，解题的关键是： （1）根据方程有两个实数根，可得，代入求解即可； （2）根据根与系数的关系得出，，然后根据，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 化简，得， 解得，， ∵， ∴． 一、单选题 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ∴， 故选：． 2．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C．9 D．7 【答案】B 【详解】本题主要考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解是满足方程的未知数的值为解题的关键． 将代入一元二次方程得到关于k的一元一次方程求解即可． 【分析】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴将代入方程， 得，解得：． 故选：B． 3．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程根的判别式，当判别式Δ < 0时，方程无实数根．代入方程系数计算判别式并解不等式即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 4．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题关键是掌握一元二次方程的定义及根的判别式． 根据一元二次方程的定义及根的判别式求解，先得出二次项系数不为零，再需要满足判别式需大于零，解这个不等式即可． 【详解】解：方程为一元二次方程，故， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴需满足， 解得：， ∴的取值范围为且， 故选：D． 5．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程有一个实数根为，且，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当，时， C．方程的另一个实数根不可能是 D．方程的另一个实数根有可能是1 【答案】D 【分析】此题主要 考查了一元二次方程根与系数关系、一元二次方程根的定义等知识．根据已知条件，将根代入方程得到关系式，并结合分析各选项的正确性． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个实数根为， ∴， 即， ∵， ∴与符号相反， 当时，，，即，得到，故选项A正确； 当，时，则，则，即，得到，故选项B正确； 若方程的另一个实数根是，则方程有两个相等的实数根，则，即， 即，则，与已知矛盾， ∴方程的另一个实数根不可能是， 故选项C正确； 若方程的另一个实数根是1，则，即，， ∴，与已知矛盾， 即方程的另一个实数根不可能是1， 故选项D错误，符合题意． 故选：D 二、填空题 6．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据定义可知且，从而解得答案． 【详解】解：是一元二次方程 且 故答案为： 7．（24-25九年级上·广东阳江·期末）若是一元二次方程的一个实数根，则代数式 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，整体代入是解答本题的关键． 根据一元二次方程根的定义得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的一个实数根， ， ， ， 故答案为：． 8．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）设、是方程的两个根，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．根据一元二次方程根与系数的关系可知，，再求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个根， ∴，． ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据该方程有实数根，得到，再解不等式即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 10．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）m的取值范围为 ． （2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，则m的值为 ． 【答案】 2 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系，当方程有两个实数根时，判别式，据此列出关于的不等式求解取值范围． （2）先结合（1）中的范围确定正整数的可能值，再根据方程根为整数，利用求根公式分析根的表达式，结合完全平方数的性质确定的值． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及求根公式的应用，熟练掌握根的判别式与根的个数的关系、求根公式，以及完全平方数的性质是解题的关键，涉及知识点有一元二次方程的判别式 ． 【详解】（1）根据题意，得，解得． 故答案为：； （2）用求根公式表示出方程的根为． 方程的根为整数， 为完全平方数， 的值为2． 故答案为：2． 三、解答题 11．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元一次方程的定义，掌握其定义是解决此题的关键． （1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可； （2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：方程是一元二次方程， ， ； （2）解：当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意； 当时， 方程， ， ； 综上所述，或． 12．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． （1）根据根的判别式解答即可；． （2）首先求出一元二次方程的两根，一根为1，一根为，只需要求出是正整数时m的值即可． 【详解】（1）证明：∵ ． ∴该方程有两个实数根． （2）解：存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，理由如下： 由求根公式，得：， 即，， ∵为整数，且该方程的两个实数根均为正整数， ∴必为正整数， ∴或， 即当或时，该方程的两个实数根均为正整数． 13．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方程解的定义是解题的关键． （1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可． （2）根据美妙方程的定义，结合方程的一个根为，得到关于，的方程组即可解决问题． 【详解】（1）解：是美妙方程，理由如下： ∵中，，，， ∴， 故该方程是美妙方程； （2）解：∵美妙方程的一个根是， ∴， 解得：， ∴这个美妙方程是． 14．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当时，解该一元二次方程； (2)求证：无论为何实数，方程总有实数根； (3)若是方程的两个实数根，且，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或1 【分析】本题考查了一元二次方程的综合运用． （1）将代入方程求解即可； （2）根据根的判别式证明即可； （3）根据根与系数的关系求出，代入求解即可． 【详解】（1）解：当时，原方程为， 方程左边因式分解得： 解得： （2）解：关于的一元二次方程， ， ， ，即， 不论为何实数，方程总有实数根； （3）解：是关于的一元二次方程的两个实数根， ， ， ， ，整理，得，解得， 的值为或1． 15．材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 【答案】(1)不是 (2)或 (3)m的值为或或． 【分析】本题考查了新定义运算，解一元二次方程，根的判别式，根与系数的关系，理解新定义是解题的关键． （1）根据“韦达定理”计算即可判断； （2）根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解； （3）利用要根的判别式求得，再根据“韦达定理”结合“和积方程”的定义，得到，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：设方程的两个实数根为，， ∴，， ∵， ∴， ∴方程不是“和积方程”， 故答案为：不是； （2）解：∵关于x的方程是“和积方程”， ，， ∴， 当时，解得； 当时，解得； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵方程是“和积方程”， ∴， 当时， 整理得， 解得（舍去）或； 当时， 整理得， 解得或； ∴m的值为或或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元二次方程中含参数问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、利用一元二次方程的定义求参数 1 题型二、一元二次方程的解求参数的值 3 题型三、一元二次方程的解求代数式的值 4 题型四、根据一元二方程根的情况求参数 6 题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 9 B综合攻坚・能力跃升 题型一、利用一元二次方程的定义求参数 1．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）当 时，是关于的一元二次方程． 2．（24-25九年级上·云南昭通·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则 ． 3．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）若是关于x的一元二次方程，则m的值为 ． 4．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知是一元二次方程，则实数 ． 5．（24-25九年级上·云南昆明·期中）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ． 题型二、一元二次方程的解求参数的值 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若是一元二次方程的一个根，则 ． 7．（2025·新疆·模拟预测）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ． 8．（2025·湖南·模拟预测）已知关于x的方程的一个根为，则 ． 9．（24-25八年级下·山东威海·期中）已知是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是 ． 10．（24-25九年级上·青海西宁·期中）关于的方程是一元二次方程，则的值为的 ． 题型三、一元二次方程的解求代数式的值 11．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）若关于x的一元二次方程的一个根是，则代数式的值为 ． 12．（24-25九年级上·广东广州·期中）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为 ． 13．（24-25九年级上·福建漳州·期中）若m是方程的一个实数根，则的值为 ． 14．（24-25九年级下·全国·假期作业）若是方程的根，则的值为 ． 15．（2025九年级下·四川资阳·学业考试）已知m为方程的根，那么的值为 ． 题型四、根据一元二方程根的情况求参数 16．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知是关于x的一元二次方程的两实根． (1)求k的取值范围； (2)若是方程的根，求k的值． 17．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）已知的两邻边的长是关于的方程的两个实数根． (1)若的长为2，求的值； (2)当为何值时，是菱形？ 18．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)取何值时，方程有两个不相等的实数根； (2)求取值范围内的最小整数时，方程的根． 19．（24-25八年级上·上海崇明·期末）已知关于x的一元二次方程 (1)如果方程的根的判别式的值为3，求m的值． (2)如果方程有实数根，求m的取值范围． 20．（24-25九年级上·重庆潼南·期末）我们规定：对于任意实数a，b，c，d，有，其中等式右边是常用的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)若关于的方程有两个相同的实数根，求的值． 题型五、利用一元二次方程根与系数的关系求参数 21．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根，满足，求的值． 22．（24-25九年级上·江西新余·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个实数根； (2)当的斜边长，且两条直角边和恰好是这个方程的两个根时，求的周长． 23．（24-25九年级上·福建福州·期中）已知一元二次方程有两个根分别为，． (1)求m的取值范围； (2)若，满足，求m的值． 24．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，，且，求的值． 25．（24-25九年级上·福建厦门·期中）若关于的方程有两个实数根， (1)求的取值范围； (2)设，是方程的两个根，且，求的值． 一、单选题 1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·安徽滁州·期末）若是一元二次方程的一个根，则的值为（    ） A． B． C．9 D．7 3．（2025·新疆·中考真题）若关于x的一元二次方程无实数根，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·广东广州·期中）已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 且 5．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）已知关于的一元二次方程有一个实数根为，且，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当，时， C．方程的另一个实数根不可能是 D．方程的另一个实数根有可能是1 二、填空题 6．（24-25九年级上·辽宁朝阳·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的值是 ． 7．（24-25九年级上·广东阳江·期末）若是一元二次方程的一个实数根，则代数式 ． 8．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）设、是方程的两个根，且，则 ． 9．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 10．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． （1）m的取值范围为 ． （2）若m为正整数，且该方程的根都是整数，则m的值为 ． 三、解答题 11．方程． (1)当取何值时是一元二次方程？ (2)当取何值时是一元一次方程？ 12．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 13．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于的一元二次方程，如果，，满足，我们就称这个一元二次方程为美妙方程． (1)判断方程是否为美妙方程，并说明理由． (2)已知关于的美妙方程的一个根是，求这个美妙方程． 14．（24-25八年级下·山东烟台·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当时，解该一元二次方程； (2)求证：无论为何实数，方程总有实数根； (3)若是方程的两个实数根，且，求的值． 15．材料一：定义：若关于x的一元二次方程有两个实数根，且满足，则称此类方程为“和积方程”． 例如：，即，解得 ，是“和积方程”． 材料二：法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则：，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”． (1)方程 （填是或不是）“和积方程”； (2)若关于x的方程是“和积方程”，则_____ (3)若关于x的一元二次方程是“和积方程”，求m的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$