(一)空间向量及运算、空间向量基本定理、空间向量及其运算的坐标表示-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修1同步周测卷（新高考人教A版）

高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第一册· 高二同步周测卷/数学 选择性必修第一册（一） 命题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模①直观想象⊙数学运算①数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) ① ②③④ 档次系数 1 选择题 5 空间向量的加减运算 易 0.80 2 选择题 5 中点坐标公式的应用 易 0.72 3 由两点问的距离公式 选择题 5 求参 易 0.70 由空间向量基本定理 选择题 求参 的 0.55 选择题 5 求两向量的夹角 中 0.5 6 选择题 5 利用坐标法求线段的长 中 0.30 确定点关于坐标平面、 选择题 6 坐标轴、原点对称的点 多 0.72 的坐标 8 选择题 6 基底概念的理解 中 0.60 9 填空题 5 空间向量在另一向量 方向上的投影向量 易 0.71 10 填空题 利用空间向量求线段 0.5 长的最值 利用空间向量坐标运 11 解答题 算证明向量平行，求向 13 量之间的夹角及三角 中0.65 形的面积 12 解答题 15 利用基底表示向量，求 线段的长 中 0.55 利用向量的坐标运算 证明线线垂直，求线段 13 解答题 20 中0.40 的长，求异面直线所成 角的余弦值 ·1 ·数学（人教A版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 香考管案及解析 一、选择题 1.D【解析】DA+Ci-Ci=Di+Bd=DA-D成 BA.故选D 2.A【解析】由图可知B(1,0,一1)，D(0,-1,0) 所以BD,的中点坐标为（安，号，一29）即 (分-之，-)：故选A 3.C【解析】设点C的坐标为(0，y,),则 /(0-1)+(y-2)+(2-2)F= 设BB=m(m>0),CE=ACC(0≤A≤1)，则 √(0-1)+(y+3)十(-1)F,即(y-2)+(x 2)2=(y十3)2+(x-1)2,即5y十z十1=0，经检验知， B(0,0,0),A'(1.0m),E(0,1,Am),A克 只有选项C满足，故选C (-1,1,Am-m),B2=(0,1,Am),所以A它.B2 (-1,1,Am-m)·(0,1,Am)=m入-m入+1=0， 4.D【解析】因为EC=2PE,所以P元=号P心，所以 因为在棱CC上有唯一的一点E使得A'E⊥EB,所 D成=A花-A市=A市+吨-A市=A市+心-Ad 以mx一m入十1=0在A∈[0,1]上有唯一的解，令 f(入)=mx-m十1，因为f(0)=f(1)=1,故要 =市+子（心-A亦）-A市=号市+号A花-ò 想在∈[0.1]上有唯一的解，只需△=m一4m2=0, 因为m>0,所以m=2.故选B =号A+号AC-(A心+C)=号A市-号d 二、选择题 7.ABD【解析】对于A,点E(-3,1,5)关于原点O 市=号A市-号A心+A店=a-号b+号c,又D成 对称的点的坐标为(3，一1，一5)，故A正确：对于B, 点F(1,3,一4)关于y轴对称的点的坐标为 x=1 (一1,3,4)，故B正确：对于C,点P(一1,2,3)关于平 a十3b十c,所以 y=- 3,则x-3y+3z=1+2+ 面Oxy对称的点的坐标为（一1,2，一3），故C错误； 对于D,点Q(一1,1,2)在平面Oy:内的射影的坐标 为(0,1,2)，故D正确.故选ABD. 2=5.故选D. 8.AD【解析】由c=(a十b)十(c一a一b),得向量c, 5,C【解析】：A1A⊥平面ABC,ABC平面ABC,AC a十b,c一a一b共面，A正确：若存在不全为零的实数 C平面ABC,.AA⊥AB,A1A⊥AC.AC=AB= x,y,2,使得m十b十c=0,则a,b,c共面，不能构成 √2，BC=2,.AB+AC=BC,AB⊥AC,又BC= 基底，B错误，当d≠0时，有d⊥a,d⊥b,由已知得a, b,c不共面，不一定有c⊥a且c⊥b,即不一定有d∥ 2AE=2,∴E为BC的中点，∴A正=号(Ai+AC). c,C错误：由(a十b+c)·(a-b十c)=0,得(a十c)2一 :AC=AA=2,.AC=2.AE正·AC b=0,即(a十c)2=b,则1a十c=|b|,D正确.故 选AD. 合(+A)·(A心-AA=A心 =1. 三、填空题 m达-：高宁汉西 号 【解析】因为A(1,1,1),B(2,3,1),C(3,1,3) ∈[0°.180]，∴.(AE,AC)=60°.故选C. 所以AB=(1,2,0),AC=(2,0,2),则AB在AC上的 6.B【解析】以B为坐标原点，BA,BC,BB所在直线 投影向量的模为1Aos(A店，AC=A店：AC 分别为x轴，y轴，：轴，建立如图所示的空间直角坐 ACI 标系， 1×2+2×0+0×2=2=2 √2+0+2四2221 10,号气【解折】以D为原点，DA,DC,D,所在 直线分别为x轴，y轴，：轴，建立如图所示的空间直 ·2 高二周测卷 ·数学（人教A版）选择性必修第一册· 角坐标系，则D(0,0,0),A(1,0,0),D(0,0,1), B,(1,1,1),C(0,1,0),又P,Q分别为DC,AD,的 中点，所以p(0,7,0）,Q(分0，)，则PQ √0-)+（合-0）+(0-=号：曲点 P在DC上运动，点Q在侧面ADD,A上运动，设 P(0,m,0),0≤m≤1，Q(n,0,t),0≤n≤1,0≤t≤1， 所以BQ=(n-1,-1,t-1),AD=(-1.0,1), A市=(-1，m,0),因为B⊥AD,BOLA户，所以 因为AM=A店+B脑=A店+号BD=A店+ B10.AD=(n-1,-14-1)·(-1,0,1)=t-n 合（市-A=A+号d-=之(a+b), =0,故t=n,B1Q·AP=(n-1,-1,t-1)·(-1, (3分) m,0)=1一n-m=0,故m=1-,又P0=(,-m ),故P0=n十m十2=22+(1-n)2 AN=号ADi=子(M+A市)=号(b+e). 3(a-合)广+号，故当m=号时，成最小，此时 (5分) m=1-n= 号满足条件，所以线段PQ的最小值 所以M=N-Ai=号(b+c)-是(a+b)= -a+b+号c (7分) (2)因为∠A1AD=∠A1AB=60°，AA,=2,且底面 四边形ABCD是边长为1的正方形， 所以|a|=1,|b|=1,c=2,a·b=0,a·c=b· c=1×2×cos60°=1， (10分) 所以1=（名a+若6+号c)=1a+ 四、解答题 ++×4-号+号-器 11.解：(1)由A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5), 所以MN的长为 (15分) D(3,3,4), 得AB=(-2,-1,3),AD=(3,1,1), 13.解：(1)以D为原点，DA,DC,DD,所在直线分别为 所以b=AB+AD=(1,0,4), x轴，y轴、x轴建立如图所示的空间直角坐标系， (3分) 因为a=(-2,0,-8),所以a=-2b, 所以a∥b. (6分) (2)由(1)知，Ai=(-2,-1,3),A亡=1，-3,2)， 所以A=AC=/4,AB.AC=7, 所以cos0= AB.AC 又因为0长长，所以9=号， (10分) 所以s=之BACIsin0=号×mXm× 则E(0,0,号）F(分，，0），C(01,0),B1,1 -9 1) (2分) 2 2 (13分) 12.解：(1)连接AM,如图所示， 成=(22-)Bc=(-10,-) E萨.B=号×(-1)+号×0+(-)× (-1)=0, ·3· E求⊥BC,即EF⊥B,C (7分) 由1)E=(合2-合) 2:F(分0)H(0,尽，) Fi=(-之g, ∴=√)+（合）+(-)-， 又：萨.CG=号×0+合×(-)+(-)× ∴-)+（层）+（安丁-. (-0= H的长为夏 (13分) osE求，GG= EF.CG (3rG(0,是0).c(011) EF1·1CG17 即EF与C,G所成角的余弦值为一 (20分) GG=(o,-}-1 1cG=√0+(-)+(-1)=厘① 12.(本小题满分15分) 13,木小题清分20.分) 如图，在平行六面体ABCD一A,B,C,D,中，接面四边形ABCD是边长为1的正方 形，M,=2,∠AAD=∠A4B=60.AN=2ND,点M为BD的中点，设B=a, 如函，在校长为1的正方林AcD-A,BGD,中，点G在棱CD上，CG=(CD, AD-b.AA-c. E,F,H分别为DD,BD.CG的中点. (1)用a.be表示MN (1)求E:EFBC 《2)求FH的长： (2)求MN的长 《3)求EF与C,G所成角的金弦值 数学（人较A级}选挥性必传第一质第8页{共{西1 衡水会幕·究草最·喜二同步丽测卷一 数学（人较小短}途择性必悟第一册第页[共4页）