第1周 空间向量及其运算-【周测必刷】2025-2026学年高二数学选择性必修1+2（人教A版2019）

—78 — 参考答案 高中同步周测卷 第一周 空间向量及其运算 【考点·一应俱全】 1.BCD [对于选项A,向量的模即向量的长度,是一个数量,所以任 意两个向量的模可以比较大小;对于选项B,其终点构成一个球 面;对于选项C,用有向线段可以表示空间向量,但不是空间向量; 对于选项D,两个向量不相等,它们的模可以相等.] 2.BC [A为假命题,根据向量相等的定义知,两向量相等,不仅模 要相等,而且还要方向相同,而 A中向量a与b 的方向不一定相 同;B为真命题,AC→与A1C1→的方向相同,模也相等,故AC→=A1C1→;C 为真命题,向量的相等满足传递性;D为假命题,平行向量不一定 具有传递性,当b=0时,a与c不一定平行.] 3.B [根据空间向量的加减法运算,对于 A,AB→+BC→=AC→恒成立; 对于C,当AB→,BC→方向相同时,有|AB→|+|BC→|=|AC→|;对于D,当 AB→,AC→方向相同且|AB→|≥|AC→|时,有|AB→|-|AC→|=|BC→|;对于 B,由向量减法可知AB→-AC→=CB→,又BC→为非零向量,所以B一定不 成立.] 4.解 (1)AB→+BC→-DC→=AB→+BC→+CD→=AC→+CD→=AD→,如图中 向量AD→. (2)如图,连接GF,因为E,F,G 分别是BC, CD,DB 的中点, 所以GD→=BG→,GF→=EC→, 所以AB→-DG→-CE→=AB→+GD→+EC→=AB→+ BG→+GF→=AF→,如图中向量AF→. 5.AB [m(a-b)=ma-mb,A对;(m-n)a= ma-na,B对;若m=0,则a,b不一定相等,C错;若a=0,则 m,n 不一定相等,D错.] 6.解 (1)CB→+BA1→=CA1→. (2)∵M 是BB1 的中点, ∴BM→=12BB1 →,又AA1→=BB1→, ∴AC→+CB→+12AA1 →=AB→+BM→=AM→. (3)12AA1 →-12B1B →-AC→-CB→= 1 2 (AA1 →+BB1→)-(AC→+CB→)= AA1 →-AB→=BA1→. 【方法技巧】 利用数乘运算进行向量表示的技巧 (1)数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角 形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量. (2)明确目标:在化简过程中要有目标意识,巧妙运用中点性质. 7.C [对于空间中的任意向量,根据加法法则,都有AB→+BC→=AC→, 选项A错误;若AB→-BC→=AC→,则AC→+BC→=AB→,而AC→+CB→= AB→,据此可知BC→=CB→,即B,C 两点重合,这与已知条件矛盾,选 项B错误;若AB→=BC→,则A,B,C三点共线,选项C正确;若|AB→|= |BC→|,则线段AB 的长度与线段BC 的长度相等,不一定有A,B,C 三点共线,选项D错误.] 8.解 方法一 ∵M,N 分别是AC,BF 的中点,且四边形ABCD 和 ABEF 都是平行四边形, ∴MN→=MA→+AF→+FN→ =12CA →+AF→+12FB →.① 又∵MN→=MC→+CE→+EB→+BN→ =-12CA →+CE→-AF→-12FB →,② ①+②得2MN→=CE→, ∴CE→∥MN→,即CE→与MN→共线. 方法二 ∵M,N 分 别 是AC,BF 的 中 点,且 四 边 形 ABCD 和 ABEF 都是平行四边形, ∴MN→=AN→-AM→ =12 (AB→+AF→)-12(AB →+AD→) =12 (AF→-AD→)=12(BE →-BC→)=12CE →. ∴MN→∥CE→,即MN→与CE→共线. 9.证明 因为 M 在BD 上,且BM=13BD , 所以MB→=13DB →=13DA →+13AB →. 同理AN→=13AD →+13DE →. 所以MN→=MB→+BA→+AN→ = 13DA →+13AB → +BA→+ 13AD→+13DE→ =23BA →+13DE →=23CD →+13DE →. 又CD→与DE→不共线,根据向量共面的充要条件可知MN→,CD→,DE→ 共面. 10.-1 [由题意得,a·b=b·c=c·a=12×cosπ3= 1 2 ,则AB→· CD→=2(a-b)·(b-c)=2(a·b-a·c-b2+b·c)= 2 12- 1 2-1+ 1 2 =-1.] 【方法技巧】 由向量数量积的定义知,要求a与b 的数量积,需 已知|a|,|b|和<a,b>,a与b的夹角与方向有关,一定要根据方向 正确判定夹角的大小,才能使a·b计算准确. 11.C [由题意,得a·b=b·c=a·c=12 ,a2=b2=c2=1, 所以|a-b+2c|= (a-b+2c)2 = a2+b2+4c2-2a·b+4a·c-4b·c = 1+1+4-2×12+4× 1 2-4× 1 2=5. ] 12.D [∵a·c=a· a- a ·a a·b b =a·a- a·aa·b a·b=a· a-a·a=0,∴a⊥c,向量a与c的夹角为π2. ] 13.证明 BD1 →=BD→+DD1→=AD→-AB→+AA1→, EF→=ED1→+D1F→=-12(AB →+AA1→), 所以BD1 →·EF→=-12(AD →·AB→+AD→·AA1→-AB→ 2 -AB→·AA1→+ AA1 →·AB→+AA1→ 2 )=-12× (0+0-1+1)=0, 所以BD1 →⊥EF→. 【探究·一举突破】 探究路径 解 (1)在空间四边形ABCD 中,E,F 分AB→,DC→所成的比为λ,即 AE EB= DF FC=λ ,则有EF→= 11+λAD →+ λ1+λBC →.证明如下: EF→=EB→+BC→+CF→= 11+λAB →+BC→+ 11+λCD →= 11+λ(AD →+DB→)+ BC→+ 11+λ(CB →+BD→)= 11+λAD →+ 11+λDB →+BC→+ 11+λCB →+ 1 1+λBD → = 11+λAD →+ λ1+λBC →. (2)由(1)的结论可得EF→= 11+1BC →+ 11+1AA1 →=12BC →+12AA1 →. 【综合·一练到底】 1.B [∵A,B,C 三点共线,OA→=2OB→+μOC→,∴2+μ=1,∴μ= -1, 又由λOA→+mOB→+nOC→=0,得OA→=-mλOB →-nλOC →,由A,B,C 三点共线知,-mλ - n λ =1 ,则λ+m+n=0.] 2.143 [∵OA,OB,OC两两垂直,∴OA→·OB→=OA→·OC→=OB→·OC→= 0,且OG→=OA →+OB→+OC→ 3 ,故OG→·(OA→+OB→+OC→)= 13(OA →+ OB→+OC→)2=13(|OA →|2+|OB→|2+|OC→|2)=13×(1+4+9)= 14 3. ] 3.证明 ①充分性 ∵OP→=xOA→+yOB→+zOC→ 可变形为OP→=(1-y-z)OA→+yOB→+zOC→, ∴OP→-OA→=y(OB→-OA→)+z(OC→-OA→), ∴AP→=yAB→+zAC→, ∴点P 与A,B,C共面. ②必要性 ∵点P 在平面ABC 内,且A,B,C三点不共线, ∴存在有序实数对(m,n)使AP→=mAB→+nAC→, OP→-OA→=m(OB→-OA→)+n(OC→-OA→), ∴OP→=(1-m-n)OA→+mOB→+nOC→, ∵OP→=xOA→+yOB→+zOC→, 又∵点O 在平面ABC 外, ∴OA→,OB→,OC→不共面, ∴x=1-m-n,y=m,z=n, ∴x+y+z=1. 【方法技巧】 若已知点 P 在平面ABC 内,则有AP→=xAB→+ yAC→或OP→=xOA→+yOB→+zOC→(x+y+z=1),然后利用指定向 量表示出已知向量,用待定系数法求出参数. 【选做·一飞冲天】 (1)证明 设CD→=a,CB→=b,CC1→=c. 依题意有|a|=|b|, BD→=CD→-CB→=a-b. 设CD→,CB→,CC1→两两夹角均为θ, 于是CC1 →·BD→=c·(a-b)=c·a-c·b= |c||a|cosθ-|c||b|cosθ=0, ∴CC1⊥BD. (2)解 若A1C⊥平面C1BD,则A1C⊥DC1,A1C⊥BD. 由CA1 →·C1D→=(CA→+AA1→)·(CD→-CC1→) =(a+b+c)·(a-c) =|a|2-a·c+a·b-b·c+c·a-|c|2 =|a|2-|c|2+|b||a|cosθ-|b||c|cosθ =(|a|-|c|)(|a|+|c|+|b|cosθ)=0, 得当|c|=|a|时,A1C⊥DC1. 同理可证,当|a|=|b|时,A1C⊥BD. ∴当CDCC1 =1时,A1C⊥平面C1BD. 第二周 空间向量基本定理 【考点·一应俱全】 1.C [由OC→=12(a-b)知OC →与a,b共面.所以a,b,OC→不能构成空 间的基底,故选C.] 2.D [能与p,q构成基底,则与p,q不共面.∵a=p+q2 ,b=p-q2 , a+2b=32p- 1 2q ,∴A,B,C 都不符合题意.∵{a,b,c}为基底, ∴a+2c与p,q不共面,可构成基底.] 3.解 假设a+b,b+c,c+a共面,则存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+ c)+μ(c+a),即a+b=μa+λb+(λ+μ)c. ∵{a,b,c}是空间的一个基底,∴a,b,c不共面. ∴ 1=μ, 1=λ, 0=λ+μ, 此方程组无解. 即不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(b+c)+μ(c+a), ∴a+b,b+c,c+a不共面. 故{a+b,b+c,c+a}能作为空间的一个基底. 4.解 假设OA→,OB→,OC→共面. 则存在实数λ,μ使得OA →=λOB→+μOC→, ∴e1+2e2-e3 =λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3) =(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3, ∵e1,e2,e3 不共面, ∴ -3λ+μ=1, λ+μ=2, 2λ-μ=-1, 此方程组无解, ∴OA→,OB→,OC→不共面, ∴{OA→,OB→,OC→}可以作为空间的一个基底. 【方法技巧】 基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底,实质是判断这三个 向量是否共面,若不共面,就可以作为一个基底. (2)判断基底时,常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等 几何体,用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基 底,并在此基础上构造其他向量进行相关的判断. 5.解 连接BO(图略),则BF→=12BP →=12(BO →+OP→)=12(c-b- a)=-12a- 1 2b+ 1 2c. BE→=BC→+CE→=BC→+12CP →=BC→+12(CO →+OP→)=-a-12b+ 1 2c. AE→=AP→+PE→=AO→+OP→+12(PO →+OC→)=-a+c+12(-c+b)= -a+12b+ 1 2c. EF→=12CB →=12OA →=12a. 6.解 (1)如图,连接AC,EF,D1F,BD1, D1B →=D1D→+DB→ =-AA1 →+AB→-AD→ =a-b-c. EF→=EA→+AF→=12D1A →+12AC → =-12 (AA1 →+AD→)+12(AB →+AD→) =12AB →-12AA1 →=12a- 1 2c. (2)D1F →=12(D1D →+D1B→) =12 (-AA1 →+D1B→) =12 (-c+a-b-c) =12a- 1 2b-c , 又D1F →=xa+yb+zc, ∴x=12 ,y=-12 ,z=-1. 7.解 连接A'N(图略). AM→=AB→+12BC' →=AB→+12(BC →+CC'→) =AB→+12BC →+12CC' →=AB→+12(AC →-AB→)+12AA' → =12AB →+12AC →+12AA' →=12(a+b+c). AN→=AA'→+A'N→ =AA'→+12(A'B' →+A'C'→) =AA'→+12(AB →+AC→)=a+12b+ 1 2c. 8.解 OP→=OM→+MP→=12OA →+23MN → =12OA →+23(ON →-OM→) =12OA →+23 1 2 (OB→+OC→)-12OA → =16OA →+23× 1 2 (OB→+OC→) =16OA →+13OB →+13OC →. OQ→=12OM →+12OP → 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 — 77 — — 2 — 高中同步周测卷 第一周 空间向量及其运算 (时间:60分钟 满分:100分) 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌􀤌 􀤌 􀤌 􀦌 􀦌 􀦌􀦌 周推好题 第13题.该题主要考查向量的垂直与数量积运算,让考生结合图形表示向量进而 求解,从而提高学生的逻辑推理能力,值得推荐. 【考点·一应俱全】(共60分) 考点一 空间向量的有关概念 1.(多选)下列说法错误的是 ( ) A.任意两个空间向量的模能比较大小 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆 C.空间向量就是空间中的一条有向线段 D.不相等的两个空间向量的模必不相等 2.(多选)(2025·安徽合肥·阶段练习)下列命题为真命题的是 ( ) A.若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b B.在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,必有AC → =A1C1 → C.若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则m=p D.空间中,若a∥b,b∥c,则a∥c 考点二 空间向量的加减运算 3.(2025·山西临汾·阶段练习)对于空间中的非零向量AB →,BC →,AC →,其中一定不成立的是 ( ) A.AB → +BC → =AC → B.AB → -AC → =BC → C.|AB → |+|BC → |=|AC → | D.|AB → |-|AC → |=|BC → | 4.(2025·全国·模拟预测)如图,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G 分别是BC,CD,DB 的中点,请化简以下式子,并在图中标出化简结果. (1)AB → +BC → -DC →; (2)AB → -DG → -CE → . 考点三 空间向量的数乘运算 5.(多选)已知m,n是实数,a,b是空间任意向量,下列命题正确的是 ( ) A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na C.若ma=mb,则a=b D.若ma=na,则m=n 6.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1 中,M 是棱BB1 的中点,化简下列各式,并在 图中标出化简得到的向量. (1)CB → +BA1 →; (2)AC → +CB → +12AA1 →; (3)12AA1 → -12B1B → -AC → -CB → . 考点四 空间向量共线的充要条件 7.满足下列条件,能说明空间不重合的A,B,C三点共线的是 ( ) A.AB → +BC → =AC → B.AB → -BC → =AC → C.AB → =BC → D.|AB → |=|BC → | 8.(2025·全国·专题练习)如图,四边形ABCD 和ABEF 都是平行四边形,且不 共面,M,N 分别是AC,BF的中点,则CE → 与MN → 是否共线? 考点五 空间向量共面的充要条件 9.如图所示,已知矩形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直,点 M,N 分 别在对角线BD,AE 上,且BM=13BD ,AN=13AE. 求证:向量MN →,CD →,DE → 共面. — 1 — — 4 — 考点六 空间向量的数量积运算 10.若a,b,c为空间中两两夹角为π3 的单位向量,AB → =2a-2b,CD → =b-c,则AB →·CD → = . 考点七 空间向量数量积的应用 11.(2025·浙江宁波·质量检测)已知空间向量a,b,c两两夹角均为60°,其模均为1,则|a-b+2c| 等于 ( ) A.5 B.6 C.5 D.6 考点八 垂直问题 12.若空间向量a与b不共线,a·b≠0,且c=a- a ·a a·b b,则向量a与c的夹角为 ( ) A.0 B.π6 C. π 3 D. π 2 13.(2025·全国·专题练习)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是 C1D1,D1D 的中点,正方体的棱长为1.求证:BD1 → ⊥EF → . 【探究·一举突破】(共15分) 探究主题 应用数乘运算表示向量 在平面四边形ABCD 中,E,F 分AB →,DC → 所成的比为λ,即AEEB= DF FC=λ ,则有EF → = 11+λAD → + λ 1+λBC → . 探究问题: (1)拓展到空间,写出空间四边形ABCD 类似的命题,并加以证明; (2)在长方体ABCD-A1B1C1D1 中,E,F分别为AB,A1C的中点,利用(1)的结论表示EF → . 【综合·一练到底】(共25分) 1.(2025·甘肃定西·阶段练习)已知A,B,C 三点共线,O 为空间任一点,则①OA → =2OB → +μOC →; ②存在三个不为0的实数λ,m,n,使λOA → +mOB → +nOC → =0,那么使①②成立的μ与λ+m+n的 值分别为 ( ) A.1,-1 B.-1,0 C.0,1 D.0,0 2.在四面体OABC中,棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=2,OC=3,G 为△ABC 的重心,则 OG →·(OA → +OB → +OC →)= . 3.对于不共线的三点A,B,C和平面ABC 外的一点O,空间一点P满足关系式OP → =xOA → +yOB → + zOC →,求证:点P 在平面ABC 内的充要条件是x+y+z=1. 【选做·一飞冲天】(尖子生选做) (2025·北京 · 阶 段 练 习)如图,已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD 且为锐角. (1)求证:CC1⊥BD; (2)当CDCC1 的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD? 请给出证明. 【错题重做】 错因 基础不牢 题意不明 思路不对 理解不够 分析不透 方法不对 根本不会 其他原因 题号 题号 题号 — 3 —