精品解析：贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学2024-2025学年高二下学期期末数学试题

贵阳市观山湖区第一高级中学2024-2025学年度第二学期 期末考试高二数学试卷 一、单选题（本题8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知全集，集合，，则正确的关系是（ ） A. B. C. D. 2. 曲线在处的切线斜率为2，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. e 3. 本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 图中的值为0.020 B. 估计样本数据的众数值为90 C. 估计样本数据的第分位数为95 D. 估计样本数据的平均数大于中位数 4. 已知复数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 5. 记为等比数列的前n项和．若，，则（ ） A. 39 B. 156 C. D. 6. 已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 7. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①已知变量、线性相关，其一组样本数据，其中，，用最小二乘法得到的经验回归方程为，则． ②根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过． ③已知定义在上的函数满足，为偶函数，则． A. B. C. D. 8. 把沿三条中位线折叠成四面体，其中，，，则四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题3小题，每小题6分，漏选得部分分数，错选不得分.） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 对于函数，有以下四种说法正确的是:（　　） A. 函数的最小值是 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象的振幅为2，初相为 D. 函数在区间上单调递增 11. 在棱长为1的正方体中，点P是线段上的动点，则下列命题正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的大小为定值 B. 三棱锥的体积是定值 C. 直线CP和平面所成的角的大小是定值 D. 若点Q是线段BD上动点，则直线PQ与不可能平行 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 13. 某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生相邻且农场主站在中间的概率等于__________（用数字作答）. 14. 已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的前n项和为，且，，等比数列的前n项和为，且. （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 16. 在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的正弦值． 17. 某电视台综艺节目举行闯关答题的活动，具体规则如下：（1）第一关，有三个必答问题，至少答对两个问题参与者就可以过关；（2）进入第二关，还有三个问题，参与者只要连续答对两个题目就可以获得奖品，并终止答题，如果参与者连续答错两个题也终止答题没有奖品. 只要没有出现连对或者连错的情况，答题就不终止，直到答完这三个问题.已知红星中学的李华同学参加了这个活动，并且李华同学答对第一关每一个问题的概率都是，答对第二关三个问题的概率依次为，，，请问： （1）李华同学可以闯过第一关的概率是多少？ （2）李华同学进入第二关后，她可以获得奖品的概率是多少？ （3）设李华同学结束此次活动后，两关加一起共答对个题目，请列出的分布列并求数学期望. 18. 19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且蒙日圆的半径为（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）．已知椭圆上任一点到点的距离与到直线的距离之比为，椭圆的蒙日圆为圆． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为坐标原点，点是椭圆上的任意一点，是椭圆左右焦点，直线与圆相交于两点，求证：是定值； （3）过点作直线交圆于、两点，作直线交椭圆于、两点，且，求四边形面积的最小值． 19. 已知函数，其中. （1）证明：当时，； （2）若时，有极小值，求实数的取值范围； （3）对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市观山湖区第一高级中学2024-2025学年度第二学期 期末考试高二数学试卷 一、单选题（本题8小题，每小题5分，共40分.） 1. 已知全集，集合，，则正确的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先判断集合与集合的基本关系，再逐项验证即可. 【详解】由，当，，所以， 当，，所以，所以，故A错误； ，故B正确；由，所以，故C错误； 因为，所以，故D错误. 故选：B. 2. 曲线在处的切线斜率为2，则（ ） A. B. 1 C. 0 D. e 【答案】A 【解析】 【分析】对函数求导，结合导数的几何意义列方程求参数值. 【详解】由题设，且，可得. 故选：A 3. 本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 图中的值为0.020 B. 估计样本数据的众数值为90 C. 估计样本数据的第分位数为95 D. 估计样本数据的平均数大于中位数 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率和为1求参数值，再由频率直方图求众数、百分位数、中位数、平均数依次判断各项正误. 【详解】由题设，可得，A错； 由直方图知，估计样本数据的众数值为，B错； 由， 则样本数据的第分位数在内， 设为，则，可得，C对； 由平均数为， 由图易知中位数在内，设中位数为，则，可得， 所以中位数大于平均数，D错. 故选：C. 4. 已知复数，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数模长的定义，求出的等量关系，根据换元法和基本不等式，求出代数式的最小值. 【详解】由题意得．令， 则，则, ． 当且仅当，即时等号成立； ． 故答案：A. 5. 记为等比数列的前n项和．若，，则（ ） A. 39 B. 156 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列通项公式基本量计算出，利用等比数列求和公式得到答案. 【详解】设等比数列的公比为， 由，得，所以， 又因为，所以，所以． 故选：D 6. 已知抛物线的焦点为是该抛物线上一动点，且的最小值为1，点，则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，求出抛物线的标准方程，根据抛物线的定义，判断出线段和的最小值，求出结果. 【详解】 抛物线上的点到抛物线焦点距离的最小值为1，则有，解得， 在抛物线中，当时，， 因此点在抛物线上方. 过点作准线于，交抛物线于点，连接，过作准线于，连接，如图，显然， 当且仅当点与点重合时取等号，所以. 故选：B. 7. 下列说法中，正确的个数是（ ） ①已知变量、线性相关，其一组样本数据，其中，，用最小二乘法得到的经验回归方程为，则． ②根据分类变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不超过． ③已知定义在上的函数满足，为偶函数，则． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用回归直线的特点可判断①；利用独立性检验可判断②；推导出函数的周期性，结合函数周期性可判断③. 【详解】对于①，根据题意，， 将样本中心点代入回归直线方程得，解得，①错； 对于②，因为，由独立性检验可知，②对； 对于③，在等式中，用替代可得 ， 因为函数为偶函数，故， 所以， 即，进而可得出，则， 所以函数是周期为的周期函数， ， 在等式中，令，可得，则， 故，③对. 故选：C. 8. 把沿三条中位线折叠成四面体，其中，，，则四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件分析四面体的结构特征，由此考虑构造长方体，结合长方体的外接球的半径的与长宽高的关系结合条件求出，再由球的表面积公式求球的表面积即可. 【详解】如图，记的中点分别为， 因为，，， 由中位线性质可得， 翻折后的四面体如图： 由翻折的性质可得， 所以四面体对棱相等， 故可以考虑将四面体补形为长方体如下； 四面体的外接球即长方体的外接球， 设其外接球半径为，， 则， 因为，所以， 所以， 所以四面体的外接球表面积， 故选：D. 二、多选题（本题3小题，每小题6分，漏选得部分分数，错选不得分.） 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数并作出函数图象，求出的关系式，利用基本不等式判断A；利用指数函数的性质判断B；利用对数函数的性质判断C；利用基本不等式中1的妙用判断D． 【详解】∵，∴， 则分别为函数与图象交点的横坐标， 而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称， 在同一坐标系中画出与的图象，如图， 由图可知，点与关于直线对称， 直线与的交点坐标为， 于是得， ∴，A正确； ∵，∴，B正确； ，C错误； ，D正确． 故选：ABD． 10. 对于函数，有以下四种说法正确的是:（　　） A. 函数的最小值是 B. 图象的对称轴是直线 C. 图象的振幅为2，初相为 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】求出函数的最值，对称轴方程，振幅和初相，以及函数的单调区间，即可判断正误． 【详解】因为函数，则有： 对于选项A：当，即时， 函数取得最小值为，故A正确； 对于选项B：令，解得， 函数的图象的对称轴是直线，故B错误； 对于选项C：因为， 所以图象的振幅为2， 令，解得， 所以不为初相，故C错误； 对于选项D：令，解得， 即函数的递增区间为， 当时，的递增区间为，故D正确. 故选：AD. 11. 在棱长为1的正方体中，点P是线段上的动点，则下列命题正确的是（ ） A. 异面直线与所成角的大小为定值 B. 三棱锥的体积是定值 C. 直线CP和平面所成的角的大小是定值 D. 若点Q是线段BD上动点，则直线PQ与不可能平行 【答案】AB 【解析】 【分析】证明平面判断A；证明平面判断B；求出点C到平面的距离判断C；取中点，推理判断D作答. 【详解】在棱长为1的正方体中，连接，对角面是矩形， 平面，平面，则，而，， 平面，于是平面，又平面， 因此，即异面直线与所成角的大小为定值，A正确； 由矩形，得，而平面，平面，则平面， 即点到平面的距离为定值，而的面积为定值，因此为定值，B正确； 在中，，则边上的高为，有， 由平面，知点到平面的距离为， 令直线CP和平面所成的角为，则不是定值，不是定值，C错误； 取中点，连接，连接，连接， 显然，于是，则当与重合时，有，D错误. 故选：AB 三、填空题（本题3小题，每小题5分，共15分.） 12. 若､是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据双曲线的定义算出中，，，由是等边三角形得，利用余弦定理算出，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线的离心率. 【详解】根据双曲线的定义，可得， 因为是等边三角形，即， 所以，即， 又，所以， 因为中，，，， 所以， 即，解之得， 由此可得双曲线的离心率． 故答案为： 13. 某学校组织学生参加劳动实践活动，其中4名男生和2名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名女生相邻且农场主站在中间的概率等于__________（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由排列数公式计算“农场主与6名同学站成一排”和“2名女生相邻且农场主站在中间”的站法数目，再由古典概型公式计算即可． 【详解】根据题意，农场主与6名同学站成一排，有种不同的站法， 2名女生相邻且农场主站在中间可分三步完成： 第一步：相邻女生只能站在第一二，第二三，第五六，第六七，有4种； 第二步：相邻女生排在一起有种； 第三步：4名男生排在剩下的位置有种. 因此2名女生相邻且农场主站在中间共有种站法， 则2名女生相邻且农场主站在中间的概率， 故答案为：． 14. 已知，，若存在，，使得成立，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意转化为，转化为利用导数求的最大值，并求二次函数的最大值. 【详解】因为， 所以. 当时，，单调递减； 时，，单调递增， 所以. ，时，， 若存在，， 使得成立，只需即可， 所以的取值范围为 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知等差数列的前n项和为，且，，等比数列的前n项和为，且. （1）求数列和的通项公式； （2）令，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差，等比数列的基本量运算求解； （2）由题可得，利用错位相减法求解. 【小问1详解】 由题意知：，， 即，解得. 所以数列的通项公式. 在等比数列中，当时，，得. 当时，，解得，. 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 因为， 所以，① ，② ①②得 . 解得， 所以数列的前n项和. 16. 在四棱锥中，平面，，，，，分别为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质，得，再结合条件，利用线垂直的判定定理，即可求解； （2）设，连接，利用几何关系可得，再由线面平行的判定定理，即可求解； （2）根据条件可得，，从而有为二面角的平面角，即可求解. 【小问1详解】 因为平面，面，则， 又，，则， 又，面， 所以平面. 【小问2详解】 设，连接， 因为，，，是的中点， 所以，且，， 则为正方形，所以为中点， 又是的中点，所以， 又面，面， 所以平面. 【小问3详解】 由（2）知，又是中点，则， 又，所以，则， 又面，面，则， 又，面， 所以面，又面， 所以，则为二面角的平面角， 在中，，，， 所以，故二面角的正弦值为. 17. 某电视台综艺节目举行闯关答题的活动，具体规则如下：（1）第一关，有三个必答问题，至少答对两个问题参与者就可以过关；（2）进入第二关，还有三个问题，参与者只要连续答对两个题目就可以获得奖品，并终止答题，如果参与者连续答错两个题也终止答题没有奖品. 只要没有出现连对或者连错的情况，答题就不终止，直到答完这三个问题.已知红星中学的李华同学参加了这个活动，并且李华同学答对第一关每一个问题的概率都是，答对第二关三个问题的概率依次为，，，请问： （1）李华同学可以闯过第一关的概率是多少？ （2）李华同学进入第二关后，她可以获得奖品的概率是多少？ （3）设李华同学结束此次活动后，两关加一起共答对个题目，请列出的分布列并求数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）利用独立重复事件概率公式，即可求解； （2）根据题意，利用独立事件同时发生的概率公式，即可求解； （3）首先确定，再根据题意列出对应的概率，求解分布列和数学期望. 【小问1详解】 李华答对2题或3题，即可闯过第一关， 所以李华同学可以闯过第一关的概率； 【小问2详解】 李华答对第1，2题，或是第一题错，2,3题答对，即可获得奖品， 所以李华获得奖品的概率； 【小问3详解】 第一关答题数为3，若能进入第二关，则答题数目为2或3， 则 所以；； ， ； ； ; 所以的分布列为 0 1 2 3 4 5 . 18. 19世纪法国著名数学家加斯帕尔·蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，且蒙日圆的半径为（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长）．已知椭圆上任一点到点的距离与到直线的距离之比为，椭圆的蒙日圆为圆． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点为坐标原点，点是椭圆上的任意一点，是椭圆左右焦点，直线与圆相交于两点，求证：是定值； （3）过点作直线交圆于、两点，作直线交椭圆于、两点，且，求四边形面积的最小值． 【答案】（1） （2）由（1）得该椭圆的蒙日圆为， 设，则，∴， 又、， ∴， 同理，∴， ， 所以． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，化简即可； （2）分别求出，，进而可求解； （3）分类讨论直线的斜率是否存在，利用点到直线的距离及面积公式求解即可. 【小问1详解】 设满足，整理可得， 椭圆的方程为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①当斜率不存在，斜率为0时，方程为，原点到的距离为， 所以， 所以四边形面积； ②当斜率存在，斜率不为0时，设的方程为， 则的方程为即， 则原点到的距离为， 所以． 设、，联立与的方程，即， 消去得， 由于在椭圆内部，所以直线与椭圆必相交且， 所以 因为，所以四边形面积 ， 令，则， 故， ∵，∴，令，则单调递减， 所以当时，即四边形的最小值为． 19. 已知函数，其中. （1）证明：当时，； （2）若时，有极小值，求实数的取值范围； （3）对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 因为，则对任意恒成立， 可知在内单调递减，则， 所以当时，. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性，结合单调性分析证明； （2）求导，令，利用导数分析可知在内单调递增，分类讨论的符号，进而分析的极值，即可得结果； （3）构建，分析可知原题意等价于对任意恒成立，根据端点效应可得，并代入检验说明其充分性即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，则， 令，则对任意恒成立， 可知在内单调递增，则， 当，即时，则对任意恒成立，即， 可知在内单调递增，无极值，不合题意； 当，即时，则在内存在唯一零点， 当时，，即；当时，，即； 可知在内单调递减，在内单调递增， 可知存在极小值，符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 【小问3详解】 令， 则， 原题意等价于对任意恒成立， 且，则，解得， 若，因为，则， 则， 可知在内单调递增，则，即符合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $