2.2 平方根与立方根 第4课时 课件-2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第二章 实数 第2课 平方根与立方根 第4课时 2024版北师大数学八年级数学上册 学习目标 1.通过生活案例驱动，经历问题分析、估算推理的过程，能掌握平方根、立方根估算的方法，能利用估算解决实际生活中的问题. 2.会估算一个数的算术平方根、立方根的大致范围，能比较含无理数式子的大小,提升数感和运算能力，培养估算意识与逻辑思维，学会用数学知识解决实际问题. 教学设计的基本环节： 协作破冰 问题构建 情境启航 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 情境启航 周末大家去新建的郑州青少年主题公园游玩，公园是长方形荒地改建的，已知荒地长是宽的 2 倍，面积 400000 问题：公园的宽是多少呢？你会算吗？ 4 问题1：长方形的面积公式是什么？ 问题构建 ,面积，代表长方形的长与宽 追问1：题目中长是宽的2倍，可以得到怎样的式子？ = ·= 追问2：根据面积的结果，满足怎样的式子？ 问题构建 问题2：公园的宽大约是多少？它有1000m吗？ 没有1000m,因为 问题3：如果要求精确到10m,它的宽大约是多少？与同伴交流. 因为=202500 193600＜200000＜202500 所以440＜＜450 精确到10m，公园的宽大约在440m到450之间. 问题构建 问题4：该公园中心有一个圆形花圃，它的面积是800，你能估计它的半径吗（精确到1m）？ 因为圆的面积公式是： =800 所以= ≈ 精确到1m，可以回答15/16/17，都可以. 在生活中，计算精确值不方便或比较麻烦时，我们经常对数据进行估算的处理方法快速得到接近精确值的数据. 协作破冰 方法总结 在解决刚才的两个问题中，我们对数据的结果不易得到精确值，所以采用了估算的方法，借助平方根或立方根的运算，寻找在一定精确度范围内数据的近似值，快速得到答案，这种方法在数学和实际生活中得到广泛应用.同学们回顾探究无理数过程中，所使用的“夹逼法”也是进行估算运算的一种方法. 教师示范 例1（1）下列计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴交流. （1）； （2）（3）； 解：（1）因为所以这个计算结果是正确的. (2)因为，远大于900，所以 因为≈ =10，不等于96，所以计算不正确（方法二） 这个题目可能得结果应该是9.6 (3)因为不等于2536，所以这个计算结果不正确. 也可以理解为≈ 与60.4差距较大，所以结果不正确. 教师示范 例1（2）你能估算的大小吗？结果精确到1 解：方法一：借助立方根或立方进行估算 ≈ ∴ =9 ∵结果精确到1 可以估算结果为9或10 方法二：从几何角度估算 构造一个棱长为10的魔方，得其体积为1000 构造一个棱长为9的魔方，得其体积为729 所以估算结果为9或10. 教师示范 例1（3） 宽与长之比为​的长方形称为 “黄金矩形”.你能比较​与​的大小吗？你是怎么想的？ 分析法重在一步步有据可依的倒退，证明是需转化书写过程 方法一：分析法 要比较​与的大小 只需要比较1的大小 只需要比较与2的大小 只需要比较与大小 因为5＞4 所以​＞​ 教师示范 例1（3） 宽与长之比为​的长方形称为 “黄金矩形”.你能比较​与​的大小吗？你是怎么想的？ 方法二：作差法 ​- = = = ＞0 所以​＞​ 作差法是比较两个数量大小关系的重要方法.两个数量差的结果可能出现：大于0、等于0、小于0.这样可以快速比较大小. 生活经验表明，靠墙摆放梯子时,若梯子底端离墙的距离约为 梯子长度的​，则梯子比较稳定.如图,现有一架长度为 6m 的 梯子,当梯子稳定摆放时,它的顶端能抵达 5.6m 高的墙头吗？ 解：设梯子稳定摆放时它的顶端抵达的高度 为m，此时梯子底端到墙的距离恰为梯子长度的​.根据勾股定理，有 即=32， = 因为=31.36<32，所以​>5.6. 因此，梯子稳定摆放时，它的顶端能抵达5.6m 高的墙头. 教师示范 巩固拓展 有时也可以借助计算机进行估算. 观察计算器的面板，尝试操作计 算下列各式,精确到0.0001. 先依次在面板上按下5 . 8 9,然后按下开方键得出答案2.42693.四舍五入后得到2.4269. 巩固拓展 有时也可以借助计算机进行估算. 观察计算器的面板，尝试操作计 算下列各式,精确到0.0001. 先依次在面板上按下2nd键调出开立方按钮，依次按下-，1,2,8,5，=，然后按下开立方键位 得出答案-10.87178…,四舍五入后得出答案-10.8718 巩固拓展 例2：任意找一个你认为很大的正数,利用计算器对它进行开平方运算,对所得结果再进行开平方运算…… 随着开方次数的增加,用另一个小于 1 的正数,试一试，看看是否仍有类似的规律. 原始较大的正数 开方次数 开方结果 999999999 1 999999.9999 999999.9999 2 999.9999 999.9999 3 31.6228 31.6228 4 5.6234 5.6234 5 2.3713 2.3713 6 1.5399 1.5399 7 1.2401 1.2401 8 1.1140 1.1140 9 1.0555 1.055 10 1.0274 巩固拓展 例2：任意找一个你认为很大的正数,利用计算器对它进行开平方运算,对所得结果再进行开平方运算…… 随着开方次数的增加,用另一个小于 1 的正数,试一试，看看是否仍有类似的规律. 原始较小的正数 开方次数 开方结果 0.000001 1 0.001 0.0001 2 0.00316 0.0316 3 0.17783 0.17783 4 0.42169 0.42169 5 0.64938 0.64938 6 0.80584 0.80584 7 0.89768 0.89768 8 0.94746 0.94746 9 0.97338 0.97338 10 0.98659 巩固拓展 总结反思 大数规律：随着开平方次数不断增加，这个很大正数经过多次开平方后，结果会越来越趋近于1 . 小数规律：随着开平方次数不断增加，小于1的正数经过多次开平方后，结果也会越来越趋近于1 . 无论是很大的正数，还是小于1的正数，不断进行开平方运算，随着开方次数的增加，结果都会无限趋近于1 . 当堂检测 1.估计68的立方根在( ) C 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 方法：计算对应结果的立方对比即可. 当堂检测 2.比较下列各数的大小（填“ ”“ ”或“ ”）： （1） ___2. （2）___ . （3）___ . 问题(3)你是怎样判断的？和同学分享. 当堂检测 3.有A，B两个底面均为正方形的长方体，长方体A的高为8， 体积为27，长方体B的高为6，体积为24．比较这两个长方 体的底面边长的大小． 解：设长方体A的底面边长为 .依题意，得 ， . 设长方体B的底面边长为 .依题意，得 ， . ，，即 . 长方体A的底面边长小于长方体B的底面边长． 当堂检测 4.利用计算器求下列各式的值（结果精确到0.01）： （1） ______. （2） _______. 29.44 当堂检测 5.阅读下面的材料，解答问题： 我们知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数 部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示 的小数部分. 你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将 减去其整数部分，差就是小数部分. 又例如： ，即 ， 的整数部分为2，小数部分为 . 请解答： （1） 的整数部分是___，小数部分是__________. 4 当堂检测 （2）若是的整数部分，是的小数部分， 求 的平方根. 当堂检测 解：，即 ， 的整数部分为8，即 . ，即 ， 的整数部分为2，小数部分为 ， 即 . . ， 的平方根为 . 反思总结 1.借助估算进行计算的一般方法是什么？ 2. 计算器估算与笔算有什么区别与联系？ 3.你还想学习实数的哪些知识？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本P37 随堂练习1,2,3 二、素养类作业 课本P39 第18题 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $$