第2章 7 培优课 利用导数研究函数的零点 能力提升-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教用课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦“利用导数研究函数的零点”，涵盖零点个数判断及由零点求参数范围等核心内容，通过典例解析搭建从导数应用到零点问题的学习支架，衔接单调性、极值等基础知识点。 其亮点在于以通性通法总结和分层训练为特色，通过例2将参数范围问题转化为函数图象交点，培养数学思维中的推理能力与数学语言中的模型观念，帮助学生系统掌握解题方法，教师可借助完整资源提升教学效率。

培优课　利用导数研究函数的零点 能力提升 1 典例研析 01 课时作业 02 目录 2 01 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜利用导数研究函数的零点个数 【例1】　给定函数f（x）＝ex－x. （1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的值域； 解： 函数f（x）的定义域为R， f'（x）＝ex－1， 令f'（x）＝0，解得x＝0. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示： x （－∞，0） 0 （0，＋∞） f'（x） － 0 ＋ f（x） ↘ 1 ↗ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 所以f（x）在区间（－∞，0）上单调递减，在区间（0，＋∞）上单 调递增. 当x＝0时，f（x）的极小值f（0）＝1，也是最小值， 故函数f（x）的值域为[1，＋∞）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）画出函数f（x）的大致图象； 解： 由（1）可知，函数的最小值为1. 函数的图象经过特殊点f（－1）＝ ＋1， f（2）＝e2－2，f（0）＝1， 当x→＋∞时，f（x）→＋∞，f'（x）→＋∞； 当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0， 因此函数f（x）图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x， 根据上述信息，画出函数f（x）的大致图象如图所示. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （3）求出方程f（x）＝m（m∈R）在区间[－1，2]上的根的个数. 解： 截取函数f（x）在区间[－1，2]上的图象， 如图所示. 由图象知，当f（0）＜m≤f（－1），即当m∈（ 1， ＋1］时，f（x）与y＝m恰有两个不同的交点， 即当m∈（ 1， ＋1］时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上恰有两个不同的实根； 同理，当m＝1或 ＋1＜m≤e2－2时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上有唯一的实根； 当m＜1或m＞e2－2时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上无实根. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 判断函数零点的个数问题的思路 （1）求出函数的定义域； （2）求导数f'（x）及导数f'（x）的零点； （3）用f'（x）的零点将函数f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给 出f'（x）在各个区间上的正负，并得出f（x）的单调性与极值； （4）确定f（x）的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； （5）画出f（x）的大致图象； （6）由图象确定函数的零点个数. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝x（ln x－a）＋1（a∈R）. （1）证明：曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过坐标原点； 证明： 由已知得f'（x）＝ln x＋1－a，所以f'（1）＝1－a，又因 为f（1）＝1－a，可知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程 为y－（1－a）＝（1－a）（x－1），即切线y＝（1－a）x，恒过坐标 原点. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若a＞1，证明：f（x）有两个零点. 证明： f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ln x＋1－a，令f' （x）＝0，得x＝ea－1. 当x∈（0，ea－1）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，ea－1）上单调递减； 当x∈（ea－1，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（ea－1，＋∞）上单调 递增. 所以f（x）min＝f（ea－1）＝1－ea－1. 因为a＞1，a－1＞0，所以ea－1＞1，f（ea－1）＜0， 又f（ea）＝1＞0，由函数零点存在定理知f（x）在（ea－1，ea）上有一 个零点，即f（x）在（ea－1，＋∞）内只有一个零点. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 因为a＞1，所以－a＜a－1，e－a＜ea－1，f（e－a）＝ ， 令h（x）＝ex－2x，当x＞1时，h'（x）＝ex－2＞0，h（x）在（1，＋ ∞）上单调递增，h（a）＞h（1）＝e－2＞0，所以ea＞2a，即f（e－ a）＞0，又f（ea－1）＜0， 由函数零点存在定理知f（x）在（e－a，ea－1）上有一个零点，即f（x） 在（0，ea－1）内只有一个零点. 综上，f（x）有两个零点. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 题型二｜由函数的零点个数求参数的范围 【例2】　若函数f（x）＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f（x）取得极值 － . （1）求函数f（x）的解析式； 解： 对f（x）求导得f'（x）＝3ax2－b， 由题意得 解得a＝ ，b＝4（经检验满足题意）. ∴f（x）＝ x3－4x＋4. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若方程f（x）＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围. 解： 由（1）可得f'（x）＝x2－4＝（x－2）（x＋2）. 令f'（x）＝0，得x＝2或x＝－2. ∴当x＜－2或x＞2时，f'（x）＞0；当－2＜x＜2时，f' （x）＜0. 因此，当x＝－2时，f（x）取得极大值 ， 当x＝2时，f（x）取得极小值－ . ∴函数f（x）＝ x3－4x＋4的大致图象如图所示. 由图可知，实数k的取值范围是（ － ， ）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 通性通法 　　与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值点， 并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与x轴的位置关系（或者转 化为两个熟悉函数的图象交点问题），确定参数的取值范围. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 【跟踪训练】 1. 已知函数f（x）＝xex－ax－aln x＋a，若函数f（x）有两个零点， 求实数a的取值范围. 解：f（x）＝xex－ax－aln x＋a＝xex－a（ln ex＋ln x－1）＝xex－ a[ln（xex）－1]. 令t＝xex，x＞0，则t'＝（x＋1）ex＞0，所以t＝xex在（0，＋∞）上单 调递增，且t＞0，t与x是一一对应的关系. 则函数f（x）的零点的个数可转化为关于t的方程t－a（ln t－1）＝0的根 的个数，即关于t的方程 ＝ 的根的个数. 令g（t）＝ ，则g'（t）＝ . 令g'（t）＝0可得t＝e2， 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 当t在区间（0，＋∞）内变化时，g'（t），g（t）随t的变化情况如表： t （0，e2） e2 （e2，＋∞） g'（t） ＋ 0 － g（t） ↗ ​ ↘ 又g（e2）＝ ＞0，t→＋∞时，g（t）→0，t→0时，g（t）→－∞， 所以要使f（x）有两个零点， 则0＜ ＜ ，即a＞e2. 所以实数a的取值范围为（e2，＋∞）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 已知函数f（x）＝ax＋aln x. （1）当a＝1时，求过点（0，0）且与曲线y＝f（x）相切的直线的方 程； 解： 当a＝1时，f（x）＝x＋ln x，则f'（x）＝1＋ ， 设切线的斜率为k，切点为（x0，x0＋ln x0）， 则k＝f'（x0）＝1＋ ，又k＝ ＝1＋ ，所以1＋ ＝1＋ ， 所以x0＝e，k＝1＋ ，所以所求直线方程为y＝（ 1＋ ）x. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）若方程f（x）＝xex有两个不相等的实根，求实数a的取值范围. 解： 由题意，方程a（x＋ln x）＝xex，显然x＞ 0，a≠0，方程等价于 ＝ ， 记g（x）＝ （x＞0），则g'（x）＝ ， 令g'（x）＝0，可得1－x－ln x＝0，设h（x）＝1－x－ln x， 因为函数h（x）＝1－x－ln x在（0，＋∞）上单调递减，且h（1）＝0， 所以x＝1时，g'（x）＝0， 当0＜x＜1时，g'（x）＞0，函数g（x）在区间（0，1）上单调递增， 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 当x＞1时，g'（x）＜0，函数g（x）在区间（1，＋ ∞）上单调递减，又g（1）＝ ， 当x＞1时，g（x）＞0， 当x→＋∞时，与一次函数和对数函数相比，指数函数ex呈爆炸性增长， 从而 →0，g'（x）＜0，且 →0， 当x→0时，g（x）→－∞，g'（x）→＋∞，根据以上信息作出函数g（x）的大致图象如图： 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 方程 ＝ 的解的个数为函数g（x）＝ （x ＞0）的图象与直线y＝ 的交点的个数， 由已知得函数g（x）＝ （x＞0）的图象与直线y ＝ 的交点的个数为2， 所以0＜ ＜ ，所以a＞e，所以a的取值范围为（e，＋∞）. 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 02 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 已知函数f（x）＝ax3＋bx在x＝1处取得极大值4，则a－b＝（　　） A. 8 B. －8 C. 2 D. －2 解析： 　因为f（x）＝ax3＋bx，所以f'（x）＝3ax2＋b，所以f'（1）＝ 3a＋b＝0，f（1）＝a＋b＝4，解得a＝－2，b＝6，经检验，符合题 意，所以a－b＝－8.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 √ 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 2. 若函数f（x）＝x2－aln x－x－2 023（a∈R）在区间[1，＋∞）上单 调递增，则a的取值范围是（　　） A. （－∞，1） B. （－∞，1] C. （ －∞，－ ） D. （ －∞，－ ］ 解析： 　f'（x）＝2x－ －1，因为f（x）在区间[1，＋∞）上单调递 增，所以f'（x）≥0在[1，＋∞）上恒成立，即2x2－x≥a在[1，＋∞） 上恒成立，因为二次函数y＝2x2－x的图象的对称轴为x＝ ，且开口向 上，所以y＝2x2－x在[1，＋∞）上的最小值为1，所以a≤1.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 3. 若函数f（x）＝xln x－ax＋1恰有两个零点，则实数a的取值不可能是 （　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 函数f（x）＝xln x－ax＋1有2个零点等价 于当x＞0时，直线y＝a与函数g（x）＝ln x＋ 的图 象有2个交点.由已知，得g'（x）＝ .所以当x＞1 时，g'（x）＞0，当0＜x＜1时，g'（x）＜0，所以函 数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以当x＝1时，g（x）取得最小值，为g（1）＝1.作出函数g（x）的大致图象和直线y＝a，如图.若直线y＝a与曲线g（x）有2个交点，则a＞1.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 4. 当x∈（ ，1）时，方程xn＋xn－1＋…＋x＝1（n≥2，n∈N）的实根 的个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　令f（x）＝xn＋xn－1＋…＋x－1（n≥2，n∈N），则f（ ） ＝ －1＝－（ ）n＜0，f（1）＝n－1＞0，由函数零点 存在定理可知f（x）＝xn＋xn－1＋…＋x－1（n≥2，n∈N）在（ ， 1）内至少有一个零点.又当x∈（ ，1）时，f'（x）＝nxn－1＋（n－ 1）xn－2＋…＋1＞0（n≥2，n∈N），故当x∈（ ，1）时，f'（x）＞ 0，f（x）单调递增.因此当x∈（ ，1）时，函数f（x）有唯一的零 点，即当x∈（ ，1）时，方程xn＋xn－1＋…＋x＝1（n≥2，n∈N）的 实根的个数为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 5. 已知函数f（x）＝e2x，g（x）＝ln x＋ 的图象分别与直线y＝b交于 A，B两点，则｜AB｜的最小值为（　　） A. 1 B. C. D. e－ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由题意，A（ ln b，b），B（ ，b）， 其中 ＞ ln b，且b＞0，所以｜AB｜＝ － ln b，令h（x）＝ － ln x（x＞0），则h'（x） ＝ － ＝0时，解得x＝ ，所以0＜x＜ 时，h'（x）＜0；x＞ 时，h'（x）＞0，则h（x）在（ 0， ）上单调递减，在（ ，＋∞）上单调递增，所以当x＝ 时，｜AB｜min＝ ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 6. 已知函数f（x）＝ 若y＝f（x）－kx恰有两个零 点，则k的取值范围为（　　） A. （ 1－ ，1） B. （ 1－ ，1］ C. （ 1－ ，＋∞） D. （ 1－ ，1）∪（1，＋∞） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　y＝f（x）－kx恰有两个零点，即f （x）－kx＝0恰有两个实数根，由于x≠0，所以f （x）－kx＝0恰有两个实数根等价于 ＝k恰 有两个实数根，令g（x）＝ ，则g（x）＝ 当x＞0时，g（x）＝1－ ，g'（x）＝ ，故当x＞e时，g'（x）＞0，此时g（x）单调递增，当0＜x＜e时，g'（x）＜0，此时g（x）单调递减，故当x＝e时，g（x）取极小值也是最小值，且当x＞1时， ＞0，∴g（x）＝1－ ＜1，当x＜0时，g（x）＝1＋ ＞1，且g（x）单调递增，在直角坐标系中画出g（x）的大致图象如图.要使g（x）＝k有两个交点，则k∈（ 1－ ，1）∪（1，＋∞），故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 7. 已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）－f （x）＞0，则不等式e4f（3x－4）＞e2xf（x）的解集为（　　） A. （2，＋∞） B. （e，＋∞） C. （－∞，e） D. （－∞，2） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　令g（x）＝ ，则g'（x）＝ ＞0，所以g （x）在R上是增函数，由e4f（3x－4）＞e2xf（x），得 ＞ ，即g（3x－4）＞g（x），又g（x）在R上是增函数，所以3x－ 4＞x，解得x＞2，即不等式e4f（3x－4）＞e2xf（x）的解集为（2，＋ ∞）.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 8. 已知函数f（x）＝ g（x）＝f（x）＋f（－x），则 函数g（x）的零点个数为（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　当x＝0时，g（0）＝f（0）＋f（0）＝2f（0）＝2，所以x＝ 0不是函数g（x）的零点，因为g（x）＝f（x）＋f（－x），所以g （－x）＝f（－x）＋f（x）＝g（x），所以g（x）为偶函数，当x＞0 时，－x＜0，g（x）＝ln x－x＋1，g'（x）＝ －1＝ ，令g'（x）＞ 0，得0＜x＜1，令g'（x）＜0，得x＞1，所以g（x）在（0，1）上单调 递增，在（1，＋∞）上单调递减，所以g（x）在x＝1时取得最大值g （1）＝0，所以当x＞0时，g（x）有唯一零点x＝1，又函数g（x）为偶 函数，其图象关于y轴对称，所以g（x）在x＜0时，还有一个零点x＝－ 1，综上所述，函数g（x）的零点个数为2.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 9. 〔多选〕已知函数f（x）（x∈[－3，5]）的导函数为f'（x），若f' （x）的图象如图所示，则下列说法正确的是（　　） A. f（x）在（－2，1）上单调递增 B. f（x）在（ － ， ）上单调递减 C. f（x）在x＝－2处取得极小值 D. f（x）在x＝1处取得极大值 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 当f'（x）＞0时，f（x）单调递增，由图可知x∈（－2， 1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，故A正确；当x∈（ － ，1）时， f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（ 1， ）时，f'（x）＜0，f（x） 单调递减，故B错误；当x∈（－3，－2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递 减；当x∈（－2，1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）在 x＝－2处取得极小值，故C正确；当x∈（－2，1）时，f'（x）＞0，f （x）单调递增；当x∈（ 1， ）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所 以f（x）在x＝1处取得极大值，故D正确，故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 10. 〔多选〕已知函数f（x）＝ ，则下列说法正确的是（　　） A. f（x）在x＝1处有最小值 B. 1是f（x）的一个极值点 C. 当0＜a＜ 时，方程f（x）＝a有两异根 D. 当a＞ 时，方程f（x）＝a有一根 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　对A、B，f'（x）＝ ，则当x＜1时，f'（x）＞0，f（x） 单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，故f（x）在x＝1 处有唯一极大值，即最大值，B对，A错；对C、D，f（x）max＝f（1）＝ ，又x→＋∞，f（x）→0，x∈（－∞，0），f（x）＜f（0）＝0.故 当0＜a＜ 时，f（x）的图象与y＝a有两个交点，即方程f（x）＝a有 两异根； 当a＞ 时，f（x）的图象与y＝a无交点，即方程f（x）＝a 无根，C对，D错.故选B、C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 11. 〔多选〕已知函数f（x）＝（1－x）ln x－ax，a∈R，下列说法正确 的是（　　） A. 若函数f（x）有且只有1个零点x0，则x0＝1 B. 若函数f（x）有两个零点，则a＞0 C. 若函数f（x）有且只有1个零点x0，则a＝1，x0＝1 D. 若函数f（x）有两个零点，则a＜0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　由f（x）＝（1－x）ln x－ax＝0⇒a＝ －ln x，当x＞0时，令g（x）＝ －ln x，得g'（x） ＝ ，当0＜x＜1时，g'（x）＞0，函数g（x） 单调递增，当x＞1时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减，故g（x）max＝g（1）＝0，函数g（x）的图象如图所示：当a＞0时，直线y＝a与函数g（x）的图象没有交点，所以函数f（x）没有零点，当a＝0时，直线y＝a与函数g（x）的图象只有一个交点，所以函数f（x）只有一个零点，而f（1）＝0，所以选项A正确，选项C不正确；当a＜0时，直线y＝a与函数g（x）的图象只有两个交点，所以函数f（x）有两个零点，所以选项B不正确，选项D正确，故选A、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 12. 〔多选〕已知函数f（x）＝ 若函数g（x） ＝f（x）－1恰有3个零点，则实数m的值可以为（　　） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 解析： 　令g（x）＝f（x）－1＝0，解得f（x）＝1，故问题转化为 方程f（x）＝1恰有3个实数根.当x＞0时，令 ＝1，解得x＝ln 2，故当 x≤0时，方程f（x）＝1有2个实数根.令2x3－mx－3＝1，即2x3－4＝ mx，显然x＝0不是该方程的根，∴m＝2x2－ .令φ（x）＝2x2－ （x＜ 0），则φ'（x）＝4x＋ ＝ ＝ ，故当x＜－1 时，φ'（x）＜0，当－1＜x＜0时，φ'（x）＞0，故当x＝－1时，φ（x） 有极小值6，而x→－∞时，φ（x）→＋∞，当x＜0，且x→0时，φ（x） →＋∞，故实数m的取值范围为（6，＋∞）.故选C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 13. 已知f'（x）是函数f（x）的导函数，写出一个同时具有下列性质①② ③的函数f（x）＝ ⁠ ⁠. ①定义域为R；②对任意x∈（0，＋∞），f'（x）＞0；③f'（x）的图象 关于原点中心对称. 解析：令f（x）＝x2，显然定义域为R，满足①，又f'（x）＝2x，当x∈ （0，＋∞）时f'（x）＞0，满足②，且f'（x）＝2x为奇函数，函数图象 关于原点对称，满足③. x2（答案不唯一，只要函数是定义域为R的可导偶函 数，在（0，＋∞）上单调递增均可）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 14. 已知函数f（x）＝ x3＋x2＋（2a－1）x＋a2－a＋1，若f'（x）＝0 在（0，2]上有解，则实数a的取值范围为 ⁠. 解析：∵函数f（x）＝ x3＋x2＋（2a－1）x＋a2－a＋1，则f'（x）＝x2 ＋2x＋（2a－1），再由f'（x）＝0在（0，2]上有解，f'（x）是二次函 数，对称轴为直线x＝－1，可得f'（0）f'（2）＜0，或f'（2）＝0，即（2a －1）·（2a＋7）＜0，或2a＋7＝0，解得－ ≤a＜ . ［－ ， ）　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 15. 函数f（x）＝2x－x2有 个零点；若函数g（x）＝ax－x2（a＞ 1）恰有2个零点，则a＝ ⁠. 解析：结合函数y＝2x与y＝x2的图象知f（x）在（－∞，0）上有1个零 点.当x∈（0，＋∞）时，由2x－x2＝0得x＝2或x＝4，所以函数f（x） ＝2x－x2有3个零点.结合函数y＝ax与y＝x2的图象易得在（－∞，0）上 g（x）有1个零点，所以若函数g（x）＝ax－x2（a＞1）恰有2个零点， 则在（0，＋∞）上有且仅有1个零点，即ax－x2＝0在（0，＋∞）上有唯 一根.ax－x2＝0⇔ax＝x2⇔xln a＝2ln x⇔ln ＝ ，令h（x）＝ ， h'（x）＝ ，易得h（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上 单调递减，所以h（x）max＝h（e）＝ ，由题意得ln ＝ ，所以a＝ . 3　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 16. 函数f（x）＝ ex的单调递增区间为 ⁠ ；若a∈［－ ，0］，则函数g（x）＝（x－2）ex－a（x＋2） 零点的取值范围是 ⁠. 解析：易知f（x）的定义域为（－∞，－2）∪ （－2，＋∞）.f'（x）＝（ ）'ex＋ （ex）'＝［ ＋ ］ex＝ ex. 因为f'（x）≥0在（－∞，－2）∪（－2，＋∞）上恒成立，所以f（x）的单调递增区间为（－∞，－2）和（－2，＋∞）. （－∞，－2）和（－2，＋ ∞）　 [－1，2]　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 法一（构造函数＋数形结合）　令g（x）＝（x－2）ex－a（x＋2）＝0，显然x＝－2不是g（x）的零点，所以x＋2≠0，得a＝ ex，所以函数g（x）的零点即直线y＝a与f（x）＝ ex图象的交点的横坐标.当x＜－2时，f（x）＞0，f（2）＝0，f（0）＝－1，作函数y＝a与f（x）的大致图象如图所示.因为f（－1）＝－ ，所以当a∈［－ ，0］时，函数y＝a与f（x）图象的交点的横坐标范围是[－1，2]，故函数g（x）零点的取值范围是[－1，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 法二　令g（x）＝（x－2）ex－a（x＋2）＝0，显然x＝－2不是g （x）的零点，所以x＋2≠0，得a＝ ex.问题转化为当f（x）∈［－ ，0］时，求x的取值范围.易知当x＜－2时，f（x）＞0.因为f（－1） ＝－ ，f（2）＝0，且f（x）在（－2，＋∞）上单调递增，所以x∈[－ 1，2]，即当a∈［－ ，0］时，函数g（x）零点的取值范围是[－1，2]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 17. 已知函数f（x）＝（x－1）ex. （1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的极值； 解： 函数f（x）的定义域为R. f'（x）＝ex＋（x－1）ex＝xex，令 f'（x）＝0，解得x＝0， 所以当x∈（－∞，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减； 当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增. 所以当x＝0时，f（x）取得极小值f（0）＝－1，f（x）没有极大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）设g（x）＝f（x）－a（a∈R），讨论函数g（x）的零点个数. 解： 根据题意，函数g（x）的零点问题 转化为直线y＝a与函数f（x）的图象的公共 点问题. 由（1）知，当x∈（－∞，0）时，f（x）单 调递减；当x∈（0，＋∞）时，f（x）单调递增.当x→－∞时，f（x）→0，x→＋∞时，f（x）→＋∞，所以f（x）的大致图象如图所示. 由图可知，①当a＝－1或a≥0时，直线y＝a与函数f（x）的图象有一个公共点，则函数g（x）的零点个数为1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 ②当－1＜a＜0时，直线y＝a与函数f（x）的 图象有两个公共点，则函数g（x）的零点个数 为2. ③当a＜－1时，直线y＝a与函数f（x）的图 象没有公共点，则函数g（x）的零点个数为0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 18. 已知x＝－1，x＝2是函数f（x）＝－ ＋ax2＋bx＋1的两个极值点. （1）求f（x）的解析式； 解： 因为f（x）＝－ ＋ax2＋bx＋1， 所以f'（x）＝－x2＋2ax＋b， 根据极值点定义，方程f'（x）＝0的两个根即为x1＝－1，x2＝2. 因为f'（x）＝－x2＋2ax＋b，代入x1＝－1，x2＝2，可得 解得 经验证符合题意，所以f（x）＝－ x3＋ x2＋2x＋1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 （2）记g（x）＝f（x）－m，x∈[－2，4]，若函数g（x）有三个零 点，求m的取值范围. 解：由（1）得，g（x）＝－ x3＋ x2＋2x＋1－m，x∈[－2，4]， 根据题意，可得方程m＝－ x3＋ x2＋2x＋1在区间[－2，4]内有三个实 数根， 即函数f（x）＝－ x3＋ x2＋2x＋1的图象与直线y＝m在区间[－2，4] 内有三个交点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 f'（x）＝－x2＋x＋2，则令f'（x）＞0，解得－1＜x＜2；令f'（x）＜0， 解得x＞2或x＜－1， 所以函数f（x）在（－2，－1），（2，4）上单调递减，在（－1，2）上 单调递增. 又因为f（－1）＝－ ，f（2）＝ ，f（－2）＝ ，f（4）＝－ ， 所以函数f（x）在[－2，4]内的图象如图所示， 若使函数f（x）＝－ x3＋ x2＋2x＋1的图象与直线y＝m在区间[－2， 4]内有三个交点，则需使－ ＜m≤ ，即m的取值范围为（ － ， ］. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 数学·选择性必修第二册（BSD） 目 录 $