第2章 7 培优课 利用导数研究函数的零点(学用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（北师大版）

本讲义聚焦利用导数研究函数零点问题，涵盖判断零点个数（如例1通过单调性、值域、图像分析e^x - x在区间根的个数）和由零点个数求参数范围（如例2求方程f(x)=k有3个根时k的范围），构建“例题-通性通法-跟踪训练”的学习支架，帮助学生逐步掌握解题脉络。 该资料亮点在于提炼通性通法（如判断零点的六步思路），培养学生逻辑推理（数学思维），通过具体函数实例引导用数学眼光观察特征，画图像过程提升数学语言表达。课中辅助教师系统教学，课后跟踪训练助力学生巩固知识，查漏补缺。

培优课　利用导数研究函数的零点 【典例研析】 【例1】　解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex－1， 令f'（x）＝0，解得x＝0. 当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示： x （－∞，0） 0 （0，＋∞） f'（x） － 0 ＋ f（x） ↘ 1 ↗ 所以f（x）在区间（－∞，0）上单调递减，在区间（0，＋∞）上单调递增. 当x＝0时，f（x）的极小值f（0）＝1，也是最小值， 故函数f（x）的值域为[1，＋∞）. （2）由（1）可知，函数的最小值为1. 函数的图象经过特殊点f（－1）＝＋1， f（2）＝e2－2，f（0）＝1， 当x→＋∞时，f（x）→＋∞，f'（x）→＋∞； 当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0， 因此函数f（x）图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x， 根据上述信息，画出函数f（x）的大致图象如图所示. （3） 截取函数f（x）在区间[－1，2]上的图象，如图所示. 由图象知，当f（0）＜m≤f（－1），即当m∈（ 1，＋1］时，f（x）与y＝m恰有两个不同的交点， 即当m∈（ 1，＋1］时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上恰有两个不同的实根； 同理，当m＝1或＋1＜m≤e2－2时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上有唯一的实根； 当m＜1或m＞e2－2时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上无实根. 跟踪训练 　证明：（1）由已知得f'（x）＝ln x＋1－a，所以f'（1）＝1－a，又因为f（1）＝1－a，可知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y－（1－a）＝（1－a）（x－1），即切线y＝（1－a）x，恒过坐标原点. （2）f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ln x＋1－a，令f'（x）＝0，得x＝ea－1. 当x∈（0，ea－1）时，f'（x）＜0，f（x）在（0，ea－1）上单调递减； 当x∈（ea－1，＋∞）时，f'（x）＞0，f（x）在（ea－1，＋∞）上单调递增. 所以f（x）min＝f（ea－1）＝1－ea－1. 因为a＞1，a－1＞0，所以ea－1＞1，f（ea－1）＜0， 又f（ea）＝1＞0，由函数零点存在定理知f（x）在（ea－1，ea）上有一个零点，即f（x）在（ea－1，＋∞）内只有一个零点. 因为a＞1，所以－a＜a－1，e－a＜ea－1，f（e－a）＝， 令h（x）＝ex－2x，当x＞1时，h'（x）＝ex－2＞0，h（x）在（1，＋∞）上单调递增，h（a）＞h（1）＝e－2＞0，所以ea＞2a，即f（e－a）＞0，又f（ea－1）＜0， 由函数零点存在定理知f（x）在（e－a，ea－1）上有一个零点，即f（x）在（0，ea－1）内只有一个零点. 综上，f（x）有两个零点. 【例2】　解：（1）对f（x）求导得f'（x）＝3ax2－b， 由题意得 解得a＝，b＝4（经检验满足题意）. ∴f（x）＝x3－4x＋4. （2）由（1）可得f'（x）＝x2－4＝（x－2）·（x＋2）. 令f'（x）＝0，得x＝2或x＝－2. ∴当x＜－2或x＞2时，f'（x）＞0；当－2＜x＜2时，f'（x）＜0. 因此，当x＝－2时，f（x）取得极大值， 当x＝2时，f（x）取得极小值－. ∴函数f（x）＝x3－4x＋4的大致图象如图所示. 由图可知，实数k的取值范围是（ －，）. 跟踪训练 1.解：f（x）＝xex－ax－aln x＋a＝xex－a（ln ex＋ln x－1）＝xex－a[ln（xex）－1]. 令t＝xex，x＞0，则t'＝（x＋1）ex＞0，所以t＝xex在（0，＋∞）上单调递增，且t＞0，t与x是一一对应的关系. 则函数f（x）的零点的个数可转化为关于t的方程t－a（ln t－1）＝0的根的个数，即关于t的方程＝的根的个数. 令g（t）＝，则g'（t）＝.令g'（t）＝0可得t＝e2，当t在区间（0，＋∞）内变化时，g'（t），g（t）随t的变化情况如表： t （0，e2） e2 （e2，＋∞） g'（t） ＋ 0 － g（t） ↗ ↘ 又g（e2）＝＞0，t→＋∞时，g（t）→0，t→0时，g（t）→－∞， 所以要使f（x）有两个零点，则0＜＜，即a＞e2. 所以实数a的取值范围为（e2，＋∞）. 2.解：（1）当a＝1时，f（x）＝x＋ln x，则f'（x）＝1＋， 设切线的斜率为k，切点为（x0，x0＋ln x0）， 则k＝f'（x0）＝1＋，又k＝＝1＋，所以1＋＝1＋， 所以x0＝e，k＝1＋，所以所求直线方程为y＝（ 1＋）x. （2）由题意，方程a（x＋ln x）＝xex，显然x＞0，a≠0，方程等价于＝， 记g（x）＝（x＞0），则g'（x）＝， 令g'（x）＝0，可得1－x－ln x＝0，设h（x）＝1－x－ln x， 因为函数h（x）＝1－x－ln x在（0，＋∞）上单调递减，且h（1）＝0， 所以x＝1时，g'（x）＝0， 当0＜x＜1时，g'（x）＞0，函数g（x）在区间（0，1）上单调递增， 当x＞1时，g'（x）＜0，函数g（x）在区间（1，＋∞）上单调递减，又g（1）＝， 当x＞1时，g（x）＞0， 当x→＋∞时，与一次函数和对数函数相比，指数函数ex呈爆炸性增长， 从而→0，g'（x）＜0，且→0， 当x→0时，g（x）→－∞，g'（x）→＋∞，根据以上信息作出函数g（x）的大致图象如图： 方程＝的解的个数为函数g（x）＝（x＞0）的图象与直线y＝的交点的个数， 由已知得函数g（x）＝（x＞0）的图象与直线y＝的交点的个数为2， 所以0＜＜，所以a＞e，所以a的取值范围为（e，＋∞）. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 题型一｜利用导数研究函数的零点个数 【例1】　给定函数f（x）＝ex－x. （1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的值域； 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 （2）画出函数f（x）的大致图象； （3）求出方程f（x）＝m（m∈R）在区间[－1，2]上的根的个数. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 判断函数零点的个数问题的思路 （1）求出函数的定义域； （2）求导数f'（x）及导数f'（x）的零点； （3）用f'（x）的零点将函数f（x）的定义域划分为若干个区间，列表给出f'（x）在各个区间上的正负，并得出f（x）的单调性与极值； （4）确定f（x）的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； （5）画出f（x）的大致图象； （6）由图象确定函数的零点个数. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝x（ln x－a）＋1（a∈R）. （1）证明：曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线经过坐标原点； （2）若a＞1，证明：f（x）有两个零点. 题型二｜由函数的零点个数求参数的范围 【例2】　若函数f（x）＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f（x）取得极值－. （1）求函数f（x）的解析式； （2）若方程f（x）＝k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围. 尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　 通性通法 　　与函数零点有关的问题，往往利用导数研究函数的单调性和极值点，并结合特殊点判断函数的大致图象，讨论图象与x轴的位置关系（或者转化为两个熟悉函数的图象交点问题），确定参数的取值范围. 【跟踪训练】 1.已知函数f（x）＝xex－ax－aln x＋a，若函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围. 2.已知函数f（x）＝ax＋aln x. （1）当a＝1时，求过点（0，0）且与曲线y＝f（x）相切的直线的方程； （2）若方程f（x）＝xex有两个不相等的实根，求实数a的取值范围. 提示：完成课后作业　第二章　培优课 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $