(五)抛物线-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修1同步周测卷（新高考北师大版）

高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第一册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第一册（五） 命题要素一览表 注： 1.能力要求： 【,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力 Ⅲ，运算求解能力N,空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ，应用意识和创新意识 2,学科素养： ①数学抽象②逻辑推理③数学建模 ①直观想象⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ② ③④ ⑤ ⑥ 档次系数 1 选择题 5 求抛物线的焦点坐标 易 0.80 2 选择题 5 抛物线的开口大小 易 0.72 利用抛物线上点的范 选择题 $ 0.70 围求最值 椭圆与抛物线图象的 选择题 L 」 尔 0.55 识别 5 选择题 5 抛物线的实际应用 中 0.45 6 选择题 5 抛物线与向量的综合 0.30 由抛物线的焦点求其 7 选择题 6 易 0.75 方程 8 选择题 6 抛物线的光学性质 难 0.28 点到抛物线的准线的 9 填空题 5 领 0.71 距离 利用抛物线的性质求 10 填空题 中0.45 最值 利用抛物线的标准方 11 解答题 13 程求点的坐标及中点 中 0.60 弦问题 利用抛物线的定义求 12 解答题 15 轨迹方程，利用基本不 √ 中0.45 等式求参数最大值 向量与抛物线的综合， 13 解答题 20 0.32 直线过定点问题 ·19 ·数学（北师大版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 香考誉案及解析 一、选择题 作AD⊥，BE⊥l,垂足分别为D,E,则|AD=|AFI, 1.D【解析】抛物线方程可转化为r=y,故焦点在 BE=|BFI,所以|ADI=3|BEI,又Rt△ACDC∞ y轴正半轴上，又2p=子，故焦点坐标为(0，言），故 R△BcE,则C==号，所以AR CBCI BCI 选D. =3,所以品-2，即访=2成，故=2故法B 2.A【解析】对于抛物线的标准方程，若一次项的系数 二、选择题 的绝对值越小，则抛物线的开口越小，四个选项中，A 7.BD 【解析】易知直线x一2y十3=0与坐标轴的交 选项的抛物线y=子：的一次项系数的绝对值最 点分别为(-3,0)，(0，号)，当焦点为(-3,0)时， 小.故选A 3.C【解析】因为点(x,y)在抛物线y2=4x上，所以 可知抛物线方程为y=-12:当焦点为(0，号)时， y=r≥0.则=r+号y+3=r+2r+3=+ 可知抛物线方程为x=6y.故选BD 8.ACD【解析】由抛物线的光学性质可知，直线AB 1)十2，所以当x=0时，：最小，最小值为3.故选C, 过抛物线的焦点F(1,0),设直线AB的方程为x= 4.D【解析】由。>6>0，知方程兰+云=1表示焦点 十1，联立，得--4=04 在y轴上的椭圆，由ax+by=0,得y=一合x,因为 16(+1)>0,所以y=-4,y+y=4t,所以 -合<0，所以方程ar+b6y=0表示您点在r轴上 兰·兰=1，放A正确：若点A(国)关于 轴对称的点在直线：上，则y=一，所以|y|= 且开口向左的抛物线.故选D. |为|=2，即|n|=2,不一定成立，故不合题意，故B 5,C【解析】取抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴， 错误：直线：与直线x=一1相交于点D(一1，y:), 建立如图所示的平面直角坐标系， 所以直线OD的斜率为kD=一y,又直线OA的斜 率kan=兰=兰=4=一y,所以D=k,所以A, yi y O,D三点共线，故C正确：直线l:与l:间的距离d= |M-|=W/(y+y)-4y=√16t+16≥4， 当t=0时，d取最小值4.故D正确.故选ACD. 则A(-3,一6)，B(3,一6)，C(4.一4).设抛物线的 方程为x=一2y(p>0),将C(4,-4)代入抛物线 方程，得16=8p.解得p=2,抛物线的方程为x 一4y,将x=3代入抛物线方程，解得y=一2.25， .车辆通过隧道的限制高度为6一2.25-0.5=3.25m 故选C. 6.B【解析】由题设知A,F,B,C四点共线，且AF 三、填空题 3FB,如图， 9 9. 【解析】抛物线=一2x的准线方程为x=子，点 M-40)到直线x=号的距离为-4引=号 10.6【解析】抛物线x=4y的准线方程为y=一1，根 据圆C的方程得圆心C的坐标为（一1,6），半径r =1,如图所示， ·20 当y=0时，ka=0: (10分) 当%≠0时，ko=10 25%+ y 当>0时，25+是≥2√25·=30， 当且仅当25=是，即头=子时等号成立 .1 过点M作MP垂直于抛物线的准线于点P,根据抛 此时0<ko≤3t (13分) 物线的性质得IMA|+IMF|=IMA|+IMP|, 当<0时，ko<0. (14分) 当A,M,P三点共线，且点A在线段CM上时， IMA|+|MF|取得最小值，最小值为6+1一1 综上，直线0Q斜率的最大值为子 (15分) =6. 13.解：(1)因为0A.0i=0, 四、解答题 所以x1x十y3=0, 11.解：设A(,y),B(x,y) 所以x1z=一yy·① (4分) (1)由抛物线的定义可知，|AF|=五十号=五+2 因为=2p y=2pr: =5, 解得x1=3, (3分) 所以(y边)=4p(x1x:),② 由①②得，y1=-4p2,1=4p (8分) 将x1=3代人y2=8x,得y=±2√6， (4分) 所以点A的坐标为(3，土26). (5分) (2)因为/y=2p y哈=2px (2)因为线段AB的中点为N(6,4), 所以(y1-y)(y1十y2)=2p(x1-). (11分) 所以十x=12,y1十g=8, (7分) 当直线AB的斜率存在且不为0时，工≠x·y≠ 又/=8z 一ygt lyi=8x: 两式相减，得当二业=8 所以km=二业=2p =1 1一y十y2 (9分) I1一x:yL十yg 所以直线AB的斜率为kB=》二兰=1， 所以直线AB的方程为y一=，P y1+y: (xx) II-I: (14分) 所以直线AB的方程为y一4=1×(x-6), 即x-y-2=0. (13分) 所以y=,单 y十y r十y1一 2px=2p 干yy1+: y干y 12,解：(1)由题及抛物线的定义可知，点P的轨迹为以 4p2 =2p.(x-2p), F(1,0)为焦点，准线方程为x十1=0的抛物线， 2p一+y十 y1十y 所以曲线C的方程为y2=4缸. (5分) 所以直线AB过定点(2p,0). (17分) (2)设Q(y),则P0=9QF=(9-9x,-9y), 当直线AB的斜率不存在时，x=>0, 所以P(10.x。-9,10y), (7分) 所以x1=x:=2p, 由点P在曲线C上，得(10y)=4(10-9), 此时直线AB的方程为x=2P, 即=25y+9 所以直线AB过点(2p,0). 10 综上所述，直线AB过定点(2p,0). (20分) 所以直线OQ的斜率km=兰= 25+9 10 106 25y%+9' (9分)12,(本小题满分15分) 13,木小思清分20分) 己知平面直角坐标系内的动点P(1,y)恒满足：点P到定点下(1,0)的E离与它到是 已知物线C:3一2(P>0)上的两点A((),B(1当)均异于坐标原点O, 直线x+1=0的距离相等，记动点P的轨迹为曲线C, 且0i.0B=0. (1)求曲线C的方程： (1)求正1-4产且为-一4p2, (2)若点Q满足反一9QF,O为坐标原点，求直线Q到率的最大值. (2)试问直线AB是香过定点？若过定点，求出该定点的坐标：若不过定点，请说明 见山。 益学（北防大极]就择性必修第一册第多项（共4页引 衡水会幕·究草最·喜二同步丽测卷五 数学（北师大密}让择性垫作第一册第4夏「共4页】