(四)双曲线-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高二数学选择性必修1同步周测卷（新高考北师大版）

高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第一册· 高二同步周测卷/数学选择性必修第一册（四） 命题要素一览表 注： 1,能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力W.空间想象能力V.数据处理能力 T.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理 ③数学建模①直观想象⊙数学运算①数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 (主题内容) ②③ ④ 档次系数 1 选择题 5 求双曲线的渐近线 方程 易 0.80 2 选择题 5 由双曲线的定义求 多 0.72 轨迹 选择题 利用双曲线的定义求 3 5 最值 么 0.60 双曲线的焦点三角形 4 选择题 5 面积 务 0.55 5 选择题 5 双曲线的光学性质 中 0.45 6 选择题 5 求双曲线的离心率 中 0.30 7 选择题 二元方程与圆锥曲线 6 的关系 0.50 8 选择题 6 双曲线与椭圆的综合 难 0.28 填空题 5 双曲线的简单性质 易 0.71 10 填空题 5 双曲线的实际应用 中 0.35 11 解答题 双曲线的方程与性质 13 0.60 的综合 农 双曲线的中点弦问题， 12 解答题 15 由双曲线上点的范围 中0.45 求最值 13 解答题 20 双曲线与圆的综合 中 0.30 ·13 ·数学（北师大版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 香考誉案及解析 一、选择题 1,C【解析】由题意可得n=5一9=16，故该双曲线的 为直径的圆的方程为x十y=2,联立 x2+y2= 渐近线方程为产土罗=士号故选C v x=a x=-a 解得 或( ,取M(a,b),N(-a,-b),又 2.A【解析】由已知可得，I|PA|一IPB||=2k<4k v=6 y=一b =|AB|,又因为A,B两地听到炮弹爆炸声的时间 :A(a,0)MALr轴，又∠MAN=要∠NA= 相差2秒，所以炮弹爆炸点P的轨迹可能是以A,B 为焦点的双曲线的一支.故选A 音则an∠NaE=E=-会6=25a,则 3,C【解析】由题意可设双曲线的方程为x2一y=a, c2=a+6=13a2,e=二=3.放选B. a>0,右焦点为F,则2a=2=4,解得a=√瓦，则 F(一2,0)，F:(2,0),由双曲线的定义可得|PF|一 |PF|=2a=2√2，则|PF|-|PA|=2√E+ |PF2|-|PA|≤2√E+|AF:|=2√2+1，当F:, A,P三点共线时，取等号，则|PF,|一|PA|的最大 值为2√2十1.故选C. 4.D【解析】由题意可知|FF2|=2×√4+45=14， 二、选择题 1PE,1-PE,=4=号1PF,解得|PF,=10, 7.ACD【解析】对于A,若t∈(4，十∞)，则 |PF|=6,在△PFF:中，由余弦定理可知 4-t<0 ,则曲线为焦点在y轴上的双曲线，故A正 ∠R,Pm,-1=-子，又0<∠E,PF t-1>0 2X10×6 (4-1>0 <,所以in∠E,PF,=,所以△PF,R的面积S 确：对于B,若曲线是椭圆，则{t一1>0，解得1<t 2 4一1≠1一1 号×10X6×9=15,5,枚选n <4且t≠ 号，故B错误：对于C,依题意得 5.D【解析】因为e=￡=2，所以c=2a,所以6= 4-1>0, 解得t<1,故C正确：对于D,若曲线是焦 云=5。，不妨设双前线的标准方程为r-号 t-1<0, 点在y轴上的双曲线，则 =1,|PF|=m(m>0),则|PF,|=m+2,所以 4一10，解得>4，此时 1-1>0 m十(m十2)2=4“，解得m=√7-1或m=一√7-1 a=1-1,=1-4,C=21-5,则=÷=√号 21-5 (舍去)，所以cos∠F:F:P= =故 FF =√层+2，令)=√层+2，当>4时， 选D f(t)单调递增，当t趋向于+o时，∫(t)趋向于√2， 6.B【解析】易知双曲线的渐近线方程为y=土么x, a 所以f(t)∈(1厄)，即e∈(1反)，故D正确.故 不妨设M,N位于一，三象限的渐近线上，且以F,F: 选ACD. ·14 高二周测卷 ·数学（北师大版）选择性必修第一册· 8.AB【解析】对于A,设“黄金椭圆“的方程为号十苦 =1(a>b>0),椭圆上的点P(x,),焦点 F(-e,0)R(e,0),由亭+若=1，可得对 (1-）P序=(--x-y),P呢=(c- 一)，又因为“黄金椭圆”的离心率二=5一1，所以 设正六边形ABCDEF的边长为2，以A,D为焦点， (任）广=(5)'=5-35，所以成 2 且过B,CE,F的双曲线方程设为后-若=】 ·丽=+-=+公(1-)--+ (a>0,b>0),则|AD|=4,FD|=25,所以双曲 a 线的离心率为会-m一2二厅+ ADI a-2e=35i十W5-2)a>0,所以“黄金椭圆” 2 1,故D错误.故选AB, 上不存在一点，与两焦点的连线互相垂直，故A正 三、填空题 确：对于B,因为双曲线若-若=1(a>0,6>0)是 9.9【解析】因为2c=8,所以c=4,所以a=c2一b= 16一12=4，解得a=2,根据双曲线定义可得 ~黄金双线，所以e=台=中，即c=中。 a. 2 I1MF,|-1MF:|=2a=4,即|5-MF:1|=4,解 则=-d=(5)'-g-6=故B 得|MF|=1或IMF|=9,当IMF|=1时， 2 |MF|+MF:|=6<8,不合题意，故舍去：当 正确：对于C,以BC的中点为原点，建立如图所示的直 |MF|=9时，|MF:|十|MF:|=14>8.满足题意. 角坐标系， 综上，MFI=9. 10. 4 【解析】该塔筒的轴截面如图所示，以塔筒的 最细处所在直线为x轴，其垂直平分线为y轴建立 平面直角坐标系， 设△ABC的边长为2，以B,C为焦点，且过D,E的椭 圆方程设为后+芳-1(a>b>0).所以GD=, y 所以椭圆的离心率为兰=TDCD丽后千1 BC 2 √3一1，故C错误：对于D,以AD的中点为原点，建立 设双面线的方程为号-若-=1(a>0,b>0,由圈套 如图所示的直角坐标系， 可知双曲线的离心率一√+（合） =3,所以6= 2Ea,所以双曲线的方程为号-芯=1.即8r y=8a,因为上底直径为6cm,下底直径为8cm, 高为8cm,所以设双曲线过点(3，m),(4,m-8), ·15. ·数学（北师大版）选择性必修第一册· 参考答案及解析 当直线不垂直于x轴时，斜案存在， 72-m2=8a 则 ·解得 ,则塔筒 设A(x1y),B(xy), 128-(m-8)=8a /574 8 所以 最细处的直径为2a=√57酒 cm. 四、解答题 11.解：(1)设双曲线C的方程为x十y=1, 两式作差得(-)一（受-兰）=0， 6n=1 整理得对一对=兰一 则 ,解得 m+9n=1 6 即6-)0+)=名(0-)+ 所以双曲线C的方程为 若P(1,1)是线段AB的中点， 6-2=1 (6分) 则x1十x=2,1十y=2, (2)由(1)可知双曲线C的渐近线方程为y=士3x 1 则x1一=立(9一为)： 选①，设双曲线E的标准方程为后一苦-1(。>0， 所以直线1的斜率k=二业=2。 (12分) b>0). 所以直线1的方程为y=2(x一1)十1， （b= 即y=2x-1, 所以 2e=4 ,解得a=1,b=√3， (10分) [y=2r-1 联立 2=a+b 2-号=1得2x-4r+3=0,(*) 2 所以双曲线E的实轴长为2. (13分) 则4=(-4)一4×2×3=一8<0，方程()无解， 选②，设双曲线E的标准方程为兰 a =1(a>0, 直线1与双曲线C无交点， b>0), 所以点P不是线段AB的中点. (15分) 名= 13.解：1)由题可得F(-√1o,0),F(10,0), 所以 2c=4 ,解得a=√3，b=1, 因为点M在直线y=1上，且点M是线段PF,的 (10分) 中点， c=a+b 所以点P的纵坐标为2 (3分) 所以双曲线E的实轴长为25. (13分) 12.解：(1)设M(xe,y),将点M(x,y%)代人双曲线 当y=2时专=1 方程，得x-号=1， 解得x=士5 (5分) 2 又点P在第一象限， 所以=2x-2>0,所以x≤一1或xo≥1， 所以点P的坐标为(5,2) (7分) (2分) (2)设P(m,n),m+n>0, 所以|MN=(x-3)+y=(x。一3)2+2x号-2 =3(x0-1)2十4， 则M(m而，共），且m-而≠0. 2一2 (9分) 当=1时，|MN|的最小值为4， (5分) 因为以线段OF,为直径的圆恰好过点M, 所以|MN|的最小值为2. (6分) 所以OM⊥PF1, (2)当直线1垂直于x轴时，直线1的方程为x=1, 2 此时直线（与双曲线C只有一个交点，不满足题意： 则M·kPF,= m-元m+/m10 (8分) 2 ·16 -1,即n2=10-m2,① (13分) 41o "受-答-1 所以直线PF,的方程为y= 5 3+而 (x+o): 5 所以n2=4m一8，② 即x-2y+√/10=0. (20分) 由①②解得P(3压，4匝)： (17分) 5 5U 世学（北肠大极引选择性必修第一导第1亚（共4页！ ① 衡水会馨·先草量·喜二同步因测卷四 数学（北师大密}选择性业修第一卧第？页「共页） 12,(本小题满分15分) 已知双曲线C:2-兰=L (1)若点M在双血线C上，点N(3.0),求MN1的最小值： (2)过点P(1,1)的直线/与双曲线C相交于A,B两点，判恶点P是否为线段AB 的巾点？请说明理由， 拉学（北师大极引选择桂必修第一册第多亚（共4页引 衡水金幕·先享题· 13,木小题清分20分) 已知双曲线C,专-音=1的左右焦点分别为R,F,P是C在第一象限上的一点， 点M是线段PF,的中点，O为坐标原点. 1)若点M在直线y=1上，求点P的坐标 (2若以线段F,为直径的圆恰好过点M,求直线PF,的方程， 离二同步丽测花四 数学（北师大震}选择性业修第一卧第4页「共4页）