精品解析：广东省汕尾市2023-2024学年高一下学期7月期末教学质量监测数学试题

汕尾市2023—2024学年度第二学期高中一年级教学质量监测 数学 本试题共 4 页，考试时间 120 分钟， 满分 150 分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀． 考试结束后，请将本试题及答题卡交回． 一、单选题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. 1 D. 3. 若高为的圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 若，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. 已知a，b是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则a，b是异面直线 C. 若，，，，则 D. 若，，，，则 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 已知在四棱锥中，平面，底面是边长为4的正方形，直线与平面．所成角的正弦值为，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，点为垂心，且满足，，则（ ） A. B. －1 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的最小正周期为，则（ ） A B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则，互为共轭复数 B. 在矩形中， C. 已知点在所在的平面内，且，则点是的垂心 D. 若是面积为4的内部的一点，且，则的面积为1 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存点使得 B. 若点满足，则动点轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60° 三、填空题：本题共3小题，每小题．5分，共15分. 12. 化简计算： _____________. 13. 若复数的模为5，虚部为4，则复数______． 14. 已知在中，，，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）证明： （2）求与的夹角． 16. 如图，在四棱锥中，，，是的中点． （1）证明：平面． （2）若平面，，求三棱锥的体积． 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）设，若点是边上一点，，且，求，． 18. 在四棱锥中，，，平面，分别为中点，． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小． 19. 设是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数． （1）已知函数，求证： （ⅰ）； （ⅱ）函数为下凸函数； （2）已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 汕尾市2023—2024学年度第二学期高中一年级教学质量监测 数学 本试题共 4 页，考试时间 120 分钟， 满分 150 分 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处． 2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀． 考试结束后，请将本试题及答题卡交回． 一、单选题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由相反向量和向量加法的运算规则计算. 【详解】. 故选：A 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的乘法运算直接计算即可求解. 【详解】. 故选：D. 3. 若高为圆锥的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图为一个半圆，可知圆锥的底面周长等于半圆弧长，可得，继而求得母线长. 【详解】设底面半径为，母线长为，侧面展开是一个半圆， ，即， ，，. 故选：C. 4. 若，则（ ） A B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意利用倍角公式结合齐次化问题分析求解. 【详解】因为， 所以 . 故选：B. 5. 已知a，b是两条直线，，是两个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则a，b是异面直线 C. 若，，，，则 D. 若，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由空间中的线面位置关系，对选项逐一判断，即可求解. 【详解】对于A，若，，则可能平行，相交或异面，故A错误； 对于B，若，，，则a，b可能异面或平行，故B错误； 对于C，根据面面平行的判定定理可知，必须添加相交，才有，故C错误； 对于D，根据面面垂直的性质定理可知D正确. 故选：D 6. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义和公式求解即可. 【详解】，向量在向量上的投影向量为. 即，代入求值， . 故选：A. 7. 已知在四棱锥中，平面，底面是边长为4的正方形，直线与平面．所成角的正弦值为，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，补形成长方体模型来解题. 【详解】如图所示，四棱锥中，平面，底面是边长为4的正方形，直线与平面所成角的正弦值为. 根据题意，可以补充成长方体 且底面是边长为4的正方形，直线与平面所成角为, 则长宽高分别为4,4,4，即图形为正方体.外接球的球心为体对角线中点. 体对角线长刚好为球的直径，且.外接球的表面积为:. 故选：C． 8. 在中，，点为的垂心，且满足，，则（ ） A. B. －1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】一方面：根据已知得出，另一方面：由三点共线的推论即可列式求解. 【详解】由题意可知是以A为顶角的等腰三角形， 如图所示：，，则， 在直角三角形中，，即. 设， 则， ， 所以，所以. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知的最小正周期为，则（ ） A. B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称 【答案】AC 【解析】 【分析】现根据题意求出，然后根据正弦函数的性质依次判定即可. 【详解】，所以，故A正确； 即，， 所以函数的图象不关于直线对称，故B错误； 当时，，所以函数单调递增，故C正确； 将函数的图象向右平移个单位长度后得 的图象， 它不是偶函数，不关于轴对称，故D正确； 故选：AC. 10. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则，互为共轭复数 B. 在矩形中， C. 已知点在所在的平面内，且，则点是的垂心 D. 若是面积为4的内部的一点，且，则的面积为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例判断A，利用平面向量的线性运算判断B，利用平面向量的线性运算结合垂心的定义判断C，利用给定条件结合中线的性质判断D即可. 【详解】对于A，令，，满足， 但，并不互为共轭复数，故A错误， 对于B，因为矩形，所以，， 而，， 故成立，故B正确， 对于C，因为，所以， 所以，，同理，，， 可得点是中三条垂线的交点，即点是的垂心，故C正确， 对于D，因为，所以， 设的中点为，则， 所以，即为的中点， 所以，故D正确. 故选：BCD 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 存在点使得 B. 若点满足，则动点的轨迹长度为 C. 若点满足平面时，动点的轨迹是正六边形 D. 当点在侧面上运动，且满足时，二面角的最大值为60° 【答案】AC 【解析】 【分析】根据各选项的条件，分别确定动点的轨迹，判断轨迹的形状，求轨迹周长，求二面角，进行判断. 【详解】对A：如图： 当点位于边上时，因为平面，所以，故A正确； 对B：如图： 当时，点轨迹为矩形，其中分别为，中点，所以动点轨迹的周长为：，故B错误； 对C：如图： 当平面时，点轨迹是正六边形，其中均为棱的中点，故C正确； 对D：如图： 当点在侧面上运动，且满足时，点轨迹是以为圆心，以1为半径的圆弧，则即为二面角的平面角，所以当与的中点重合时，二面角取得最大值，此时，因为，所以.故D错误. 故选：AC 【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度. 三、填空题：本题共3小题，每小题．5分，共15分. 12. 化简计算： _____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式、和角的正弦公式求解作答. 【详解】 . 故答案为： 13. 若复数的模为5，虚部为4，则复数______． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意列出方程组即可求解. 【详解】由题意，解得，所以复数. 故答案为：. 14. 已知在中，，，则的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理表示出，再利用向量数量积的定义将目标式用三角函数表示，利用三角函数的性质得到最值即可. 【详解】在中，由正弦定理得， 所以，所以， 因为， 所以， ， ，因为，所以， 故当时，即时，取得最大值，且最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量，解题关键是利用正弦定理结合数量积的定义将目标式用三角函数表示，然后利用三角函数的性质得到所要求的最值即可． 四、解答题：本题共5小题，77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）证明： （2）求与的夹角． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由向量加法、数量积的坐标运算即可得证； （2）直接由向量夹角的坐标运算计算即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 所以，所以. 【小问2详解】 因为，， 所以，． 又， 所以． 又，所以与的夹角为． 16. 如图，在四棱锥中，，，是的中点． （1）证明：平面． （2）若平面，，求三棱锥的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）运用中位线性质得到线线平行，再得到线面平行. （2）运用三棱锥的体积公式求解即可 【小问1详解】 证明：如图，取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 又，， 所以且， 所以四边形是平行四边形，所以． 因为平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 解：由（1）可知， 又平面， 所以平面，即是三棱锥的高． 又，则， 所以， 故三棱锥的体积为． 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）设，若点是边上一点，，且，求，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再结合两角和的正弦公式计算可得； （2）首先求出，，在利用余弦定理得到，再由，将两边平方可得，解得、. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 即， 所以， 因为，所以， 所以，又，所以． 【小问2详解】 如图所示：因，， 所以，． 又，所以． 在中，由余弦定理得， 即．① 又，即， 所以， 两边平方得， 即， 所以．② ②－①得，所以， 代入①得（负值已舍去）． 18. 在四棱锥中，，，平面，分别为的中点，． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小． 【答案】（1）证明见解析. （2）150°. 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，再利用面面垂直的判定定理即可求证. （2）取的中点，连接，取的中点，连接，，证明二面角的平面角与互补，计算的大小即可. 【小问1详解】 解：∵平面，平面，∴ 又，∴, ∵，∴平面， 又在中，分别为中点，故，∴平面 ∵平面， ∴平面平面. 【小问2详解】 解：取的中点，连接，取的中点，连接，， 由，平面，可得平面， 又，，可得， 因为是斜线在平面上的射影， 由三垂线定理可得， 所以是二面角的平面角， 二面角的平面角与互补． 在中，设，， 可得， 在直角三角形中，， 可得， 即有， 则二面角的大小为． 19. 设是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数． （1）已知函数，求证： （ⅰ）； （ⅱ）函数为下凸函数； （2）已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求实数的取值范围． 【答案】（1）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据二倍角公式，从等式右边往左边化简即可； （ⅱ）根据下凸函数的定义，借用两角和与差的余弦公式及（ⅰ）中结论变形，即可证明； （2）根据上凸函数的定义列出不等式，然后分离参数，求最值，即可得解. 【小问1详解】 （ⅰ）因为， 所以. （ⅱ）令，则 ， 又，， 所以， 所以， 由（ⅰ）得，所以， 所以， 所以，即函数为下凸函数. 【小问2详解】 因为函数在区间内为上凸函数， 则对任意的，有恒成立， 即， 因为 ， 所以， 所以恒成立， ， 因为，所以，，， 所以，，所以， 所以，，所以实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解凸函数的定义，抓住凸函数的核心特征来证明，并利用分离参数法求解恒成立问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$