2026年6月惠州光正高一下学期期末考试模拟试卷（基础版）

**基本信息** 以鹳雀楼高度测量、燃油价格调查等真实情境为载体，覆盖复数、向量、概率统计、立体几何等高一核心知识，注重数学眼光观察现实与数学思维解决问题的基础版期末模拟卷。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数纯虚数、向量线性运算、随机抽样|随机数表抽样考查数据处理能力| |多选题|3/18|向量投影、复数性质|向量垂直的单位向量辨析深化概念理解| |填空题|3/15|分层抽样、单位向量、解三角形|分层抽样求平均身高培养数据观念| |解答题|6/77|立体几何证明与线面角、统计概率、解三角形|鹳雀楼测量应用解三角形传承文化，燃油价格调查频率分布直方图发展应用意识|

2026年6月惠州光正高一下学期期末考试模拟试卷（基础版） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知复数为纯虚数，则(    ) A. B. C. D. 2.已知，，若，则(    ) A. B. C. D. 3.某学校对高一新生进行体测，利用随机数表对名学生进行抽样，先将名学生进行编号，，，，，从中抽取个样本，如表提供随机数表的第行到第行，若从表中第行第列开始向右读取数据，则得到的第个样本编号是(    ) A. B. C. D. 4.如图，中，点是线段的中点，是线段的靠近的三等分点，则(    ) A. B. C. D. 5.一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形，其中，则该直棱柱的体积为(    ) A. B. C. D. 6.已知表示直线，，，表示平面，则下列推理正确的是(    ) A. B. ，且 C. ，，， D. ，， 7.已知事件，满足，，则(    ) A. 若与相互独立，则 B. 若与互斥， C. 因为，所以与相互对立 D. 若，则 8.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作登鹳雀楼而流芳后世如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处三点共线测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.已知向量，，则下列说法正确的是(    ) A. B. 在方向上的投影向量为 C. D. 与垂直的单位向量为 10.已知都是复数，下列选项中正确的是(    ) A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则是实数 D. 若，则 11.下列说法正确的是(    ) A. 已知向量，则“的夹角为钝角”是“”的充要条件 B. 已知向量，若与共线，则 C. 若向量，则在方向上的投影向量坐标为 D. 在中，向量与满足，则为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某学校高一年级在校人数为人，其中男生人，女生人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为，抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为，则可估计该校高一学生的平均身高为        ． 13.已知点，点，则与同向的单位向量坐标为           14.在中，角，，的对边分别为，，，若，，点是的重心，且，则           ． 四、解答题：本题共6小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分 已知向量，满足：，，． 求与的夹角的余弦值； 若，求实数的值． 16.本小题分 如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点．    求证：平面 求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值． 17.本小题分 在中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，． 求角 ； 若外接圆的半径为，求面积的最大值． 18.本小题分 俄罗斯与乌克兰的军事冲突导致石油、天然气价格飙升燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查，现从参与者中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示： 求样本中数据落在的频率； 求样本数据的第百分位数； 若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行座谈，求抽取的人中至少有人的年龄在这一组的概率． 19.本小题分 已知向量满足，且与的夹角为若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； 如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，求的最小值． 2026年6月高一下学期期末考试模拟试卷（基础版） 答案和解析 1.【答案】  【解析】【详解】由为纯虚数，则，可得． 2.【答案】  【解析】【详解】法，因为，， 解得，则，则，所以． 法，因为，则由，解得， 设，，则； 由向量减法的几何意义，可得 3.【答案】  【解析】解：从第行第列开始向右读取数据，分别为：，，不在范围内，不符合要求，不在范围内，不符合要求，不在范围内，不符合要求，重复，不符合要求，，，所以得到的第个样本编号是． 4.【答案】 【详解】因为是的中点，所以，因为是的靠近的三等分点，所以， 所以． 5.【答案】 【详解】该直棱柱的底面 则该直棱柱的底面为长宽的矩形，其面积为， 则该直棱柱的体积为    6.【答案】 【详解】选项A中，，此时可能平行也可能相交或异面，故 A不正确； 选项B中，，，则可能且，也可能在平面或平面内，故B不正确； 选项C中，，，，，若直线与直线平行，则平面可能平行也可能相交，故 C不正确；选项D为面面平行性质定理的符号语言，D正确． 7.【答案】  解：对于，由，得， 又，与相互独立， 则，故 A错误； 对于，若与互斥，则，故B错误； 对于，假若事件为“从标号为的张卡片中任取一张卡片除标号外无差别，标号为”，事件为“从标号为的张卡片中任取一张卡片除标号外无差别，标号不大于”，则，而事件，可能同时发生，与不是对立事件，故C错误； 对于， 若，则，故D正确． 8.【答案】  解：因为    中，   ，  ，   ，所以   ， 因为   中，   ，   ，所以    ， 由题意得：    ， 故    ， 在    中，由正弦定理得：    ，即    ， 故   ，故   9.【答案】 【详解】向量， 对于，， A正确； 对于，，在方向上的投影向量， B错误； 对于，，因此， C正确； 对于，与向量垂直的一个向量为， 因此与垂直的单位向量为， D错误． 10.【答案】  【解析】解：若，则或，故A正确； 若，，满足，但，故B错误； 若，则是实数，故C正确； 若，则，得或，所以，故D正确． 11.【答案】  【解析】【详解】对于，若的夹角为钝角，则且两向量不共线，等价于，即“的夹角为钝角”是“”的充要条件，故 A正确； 对于，若与共线，则易得，则，故 B正确； 对于，在方向上的投影向量坐标为，故 C错误； 对于，都表示单位向量，表示角平分线方向上的向量，  表示角平分线方向上的向量与边垂直，所以，为等腰三角形，故D正确． 12.【答案】  【解析】解：已知高一年级在校人数为人，其中男生人，女生人，男生身高平均数为，女生身高平均数为， 即，且，， 所以该校高一学生平均身高的估计值， 故该校高一学生的平均身高的估计值为． 13.【答案】  【详解】由点，，可得，则 则与向量同向的单位向量的坐标为． 14.【答案】或  解：， 整理得，解得或舍去， 或．又点是的重心， ，整理得． 当时，，得，此时，解得； 当时，，得，此时，解得． 15.【答案】解：因为，所以， 又因为，得，且， 代入上式得，即， 所以，因此与的夹角的余弦值． 因为，所以， 化简可得， 将，，代入可得， 即，解得或． 因此实数的值为或． 16.【答案】解：证明：连接交于，连接，   是三角形中边上的中位线，， 又平面，平面，平面． 证明平面，平面，， 又四边形是矩形，，，，平面， 平面，平面，， 又是的中点，，， ，，平面，平面． 如图，取中点为，连接，    在中，，分别为线段，的中点， 故，，平面，平面， ， 由得平面，平面，， ，，，又，， ， 设点到平面的距离为，直线与平面所成角为， 则，解得，故， 直线与平面所成角的正弦值为． 17.【答案】解：由  得，  ， 所以  ， 又  ，所以  ，所以  ， 因为  ，或在三角形中所以  ； 由  外接圆的半径为  ，则得  ， 由余弦定理得，  ，即  ，所以   解得  ，当且仅当时取等号， 所以  ， 故  面积的最大值为   18.【答案】解：由频率分布直方图可知， 样本中数据落在的频率为； 设第百分位数为  ，易得  位于和之间， 则有：  解得：  ． 与两组的频率之比为：， 现从和两组中用分层抽样的方法抽取人， 则组抽取人，记为，，组抽取人，记为，，，， 所有可能的情况为，，，， ，，，，，， ，，，，，共种， 其中至少有人的年龄在的情况有，，， ，，，，，，共种， 故所求概率．  19.【答案】解：由题意： ， 又， 由题意，解得， 又当时，即时，与共线， 所以与的夹角为钝角时，实数的取值范围为； 由题意：由为圆心，得，所以， 则， 由，， 所以， 即，当且仅当时，等号成立， 所以， 即的最小值为．   1 学科网（北京）股份有限公司 $