课时训练(13)二次函数（Word练习）-【优化指导】2026年高考数学一轮复习高中总复习·第1轮（人教A基础版）

课时训练(13)　二次函数 一、单选题 1．若f(x)＝x2－ax＋1有负值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．(－2，2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(1，3) C　解析：∵f(x)＝x2－ax＋1有负值，∴Δ＝a2－4＞0，则a＞2或a＜－2. 2．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则在(－∞，0)上此函数(　　) A．单调递增 B．不是单调函数 C．单调递减 D．不能确定 A　解析：因为函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，所以函数图象关于y轴对称，即＝0，解得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3的图象为开口向下的抛物线，所以在(－∞，0)上函数单调递增．故选A． 3．(2025·汕头期末)“函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1，3]上不单调”的一个必要不充分条件是(　　) A．2≤m＜3 B．≤m≤ C．1≤m＜3 D．2≤m≤ C　解析：由题意知，函数f(x)图象的对称轴是直线x＝m，则1＜m＜3.结合选项可知，函数f(x)＝－x2＋2mx在区间[1，3]上不单调的一个必要不充分条件是1≤m＜3. 4．(2025·洛阳一中检测)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　) D　解析：由a>b>c且a＋b＋c＝0，得a>0，c＜0，所以函数图象开口向上，排除A，C．又f(0)＝c＜0，所以排除B． 5．若函数f(x)＝x2－(m－2)x＋4在区间(1，2)内存在最小值，则实数m的取值范围是(　　) A．(3，4) B．(4，6) C．[5，9] D．[－11，－7] B　解析：函数f(x)＝x2－(m－2)x＋4的对称轴为x＝，∵函数f(x)＝x2－(m－2)x＋4在区间(1，2)内存在最小值，∴1<<2，解得4<m<6. 6．已知函数f(x)＝x2－4x＋1的定义域为[1，t]，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为－5，则实数t的取值范围是(　　) A．(1，3] B．[2，3] C．(1，2] D．(2，3) B　解析：易知f(x)＝x2－4x＋1的图象是一条开口向上，对称轴为直线x＝2的抛物线，当x＝1时，y＝－2，当x＝2时，y＝－3，由y＝－2，得x＝1或x＝3，因为f(x)在定义域内的最大值与最小值之和为－5，所以2≤t≤3.故选B． 二、多选题 7．已知函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a，若对于区间[－1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f(x1)≠f(x2)，则实数a的取值范围可以是(　　) A．(－∞，0] B．[0，3] C．[－1，2] D．[3，＋∞) AD　解析：二次函数f(x)＝x2－2(a－1)x＋a图象的对称轴为直线x＝a－1，∵对于任意x1，x2∈[－1，2]且x1≠x2，都有f(x1)≠f(x2)，即f(x)在区间[－1，2]上是单调函数，∴a－1≤－1或a－1≥2，解得a≤0或a≥3，即实数a的取值范围为(－∞，0]∪[3，＋∞). 8．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最大值为 B．f(x)在(－1，0)上单调递增 C．f(x)＞0的解集为(－1，1) D．f(x)＋2x≥0的解集为[0，3] AD　解析：由题意，当x≥0时，f(x)＝x－x2＝－(x－)2＋；当x＜0时，f(x)＝－x2－x＝－(x＋)2＋，f(x)的最大值为，A正确；f(x)在(－，0)上单调递减，B错误；f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)，C错误；当x≥0时，f(x)＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0，3]，当x＜0时，f(x)＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确． 三、填空题 9．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R，a≠0)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________. 答案：x2＋2x＋1　解析：设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a(a≠0)，又f(x)＝ax2＋bx＋1，所以a＝1，故f(x)＝x2＋2x＋1. 10．若函数φ(x)＝x2＋m|x－1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m的取值范围是________. 答案：[－2，0]　解析：当0≤x＜1时，φ(x)＝x2－mx＋m，此时φ(x)单调递增，所以≤0，即m≤0； 当x≥1时，φ(x)＝x2＋mx－m，此时φ(x)单调递增，所以－≤1，即m≥－2. 综上所述，实数m的取值范围是[－2，0]. 四、解答题 11．已知二次函数f(x)的最小值为1，函数y＝f(x＋1)是偶函数，且f(0)＝3. (1)求f(x)的解析式； (2)若函数f(x)在区间[2a，a＋1]上单调，求实数a的取值范围． 解：(1)因为函数y＝f(x＋1)是偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称， 又因为f(x)的最小值为1，所以可设f(x)＝a(x－1)2＋1， 又f(0)＝3，所以a＝2，所以f(x)＝2(x－1)2＋1＝2x2－4x＋3. (2)要使f(x)在区间[2a，a＋1]上单调， 则或解得≤a＜1或a≤0， 所以实数a的取值范围为(－∞，0]∪[，1). 12．(多选)由于被墨水污染，一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，…，求证：这个二次函数的图象关于直线x＝2对称．根据现有信息，题中的二次函数可能具有的性质是(　　) A．在x轴上截得的线段的长度是2 B．与y轴交于点(0，3) C．顶点是(－2，－2) D．过点(3，0) ABD　解析：由已知得解得b＝－4a，c＝3a，所以二次函数为y＝a(x2－4x＋3)，其顶点的横坐标为2，所以顶点一定不是(－2，－2)，与x轴交点的坐标为(1，0)，(3，0)，所以A，D正确，当a＝1，即c＝3时，与y轴交于点(0，3)，所以B正确． 13．已知在(－∞，1]上单调递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是(　　) A．[－，] B．[1，] C．[2，3] D．[1，2] B　解析：由于f(x)＝x2－2tx＋1图象的对称轴为直线x＝t，又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以t≥1，则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－≤t≤.又t≥1，所以1≤t≤.故选B． 14．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足以下条件：图象与x轴交于(－2，0)，(4，0)两点，且过点(1，－)，则函数解析式为________. 答案：y＝x2－x－4　解析：因为二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交于(－2，0)，(4，0)两点，所以设二次函数解析式为y＝a(x＋2)(x－4)(a≠0)，又该函数过点(1，－)，所以－＝a(1＋2)(1－4)，解得a＝，所以所求函数解析式为y＝(x＋2)(x－4)，即y＝x2－x－4. 15．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，a)，值域为[－8，－4]，则实数a的取值范围为________. 答案：(2，4]　解析：函数y＝x2－4x－4的图象如图所示，因为函数在[0，a)上的值域为[－8，－4]，结合图象可得2<a≤4，故实数a的取值范围为(2，4]. 16．已知f(x)＝ax2－2x(0≤x≤1)，求f(x)的最小值． 解：(1)当a＝0时，f(x)＝－2x在[0，1]上单调递减，∴f(x)min＝f(1)＝－2. (2)当a＞0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向上，且对称轴为x＝. ①当≤1，即a≥1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]内， ∴f(x)在[0，]上单调递减，在[，1]上单调递增， ∴f(x)min＝f()＝－＝－. ②当＞1，即0＜a＜1时，f(x)＝ax2－2x图象的对称轴在[0，1]的右侧， ∴f(x)在[0，1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. (3)当a＜0时，f(x)＝ax2－2x的图象的开口方向向下，且对称轴x＝＜0，在y轴的左侧， ∴f(x)＝ax2－2x在[0，1]上单调递减， ∴f(x)min＝f(1)＝a－2. 综上所述，f(x)min＝ 学科网（北京）股份有限公司 $$