2.2.1 函数概念课件-2024-2025学年高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册

第二章 函数 2.2.1 函数概念 函数概念的起源与发展史 数学史表明，重要的数学概念的产生和发展，对数学发展起着不可估量的作用．有些重要的数学概念对数学分支的产生起着奠定性的作用．函数就是这样的重要概念． 最早提出函数（function）概念的，是17世纪德国数学家莱布尼茨．最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂．以后，他又用函数表示在直角坐标系中曲线上一点的横坐标、纵坐标． 1718年，莱布尼茨的学生、瑞士数学家贝努利把函数定义为：“由某个变量及任意的一个常数结合而成的数量．”意思是凡变量和常量构成的式子都叫做的函数．贝努利所强调的是函数要用公式来表示．后来数学家觉得不应该把函数概念局限在只能用公式来表达上，只要一些变量变化，另一些变量能随之而变化就可以．至于这两个变量的关系是否要用公式来表示，就不作为判别函数的标准． 函数概念的起源与发展史 1755年，瑞士数学家欧拉把函数定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一些变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，我们把前面的变量称为后面变量的函数．”在欧拉的定义中，就不强调函数要用公式表示了，由于函数不一定要用公式来表示，欧拉曾把画在坐标系的曲线也叫函数，他认为：“函数是随意画出的一条曲线．” 当时有些数学家对于不用公式来表示函数感到很不习惯，有的数学家甚至抱怀疑态度．他们把能用公式表示的函数叫“真函数”，把不能用公式表示的函数叫“假函数”． 1821年，法国数学家柯西给出了类似现在中学课本的函数定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数．”在柯西的定义中，首先出现了自变量一词． 函数概念的起源与发展史 1834年，俄国数学家罗巴切夫斯基进一步提出函数的定义：“函数是这 样的一个数，它对于每一个都有确定的值，并且随着一起变化．函数值可以 由解析式给出，也可以由一个条件给出，这个条件提供了一种寻求全部对应 值的方法．函数的这种依赖关系可以存在，但仍然是未知的．”这个定义指 出了对应关系（条件）的必要性，利用这个关系，可以求出每一个的对应值． 1837年，德国数学家狄里克雷认为怎样去建立与之间的对应关系是无关紧要的，所以他的定义是：“如果对于x的每一个值，总有一个完全确定的y值与之对应，则y是x的函数”．这个定义抓住了概念的本质属性，变量y称为x的函数，只须有一个法则存在，使得这个函数取值范围中的每一个值，有一个确定的值和它对应就行了，不管这个法则是公式或图象或表格或其他形式．这个定义比前面的定义带有普遍性，为理论研究和实际应用提供了方便．因此，这个定义曾被比较长期的使用着． 函数概念的起源与发展史 自从德国数学家康托尔的集合论被大家接受后，用集合对应关系来定义函数概念就是现在高中课本里用的了． 中文数学书上使用的“函数”一词是转译词．是我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》（1895年）一书时，把“function”译成“函数”的． 中国古代“函”字与“含”字通用，都有着“包含”的意思．李善兰给出的定义是：“凡式中含天，为天之函数．”中国古代用天、地、人、物4个字来表示4个不同的未知数或变量．这个定义的含义是：“凡是公式中含有变量x，则该式子叫做x的函数．”所以“函数”是指公式里含有变量的意思． 如何用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的定义？ 在初中我们学习了哪几个重要的函数类型？ 一次函数 一元二次函数 反比例函数 复习引入 函数的基本特征： 函数的定义 思考： 抽象概括 给定实数集R中的两个非空数集A和B,如果存在一个对应关系 f ,使对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就把对应关系f 称为定义在集合A上的一个函数， 其中集合A称为函数的定义域， x称为自变量，与x值对应的y值称为函数值， 集合 称为函数的值域. 集合B与函数值域的关系？ 函数概念的理解 （1）集合A和B是非空数集. （2）集合A为函数的定义域，对于集合A中的每一个数x,在集合B中都有唯 一确定的数y和它对应. （3）值域是全体函数值组成的集合，集合B不一定是值域，值域是集合B的子集. （4）函数的概念强调了数与数之间的对应关系，并且对应关系指的是对应的结果，而不是对应的过程. 新知探究 新知探究 函数的三要素 (1)定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围. (2)对应关系指的是对应的结果，而不是对应的过程 (3)值域是全体函数值组成的集合. 注：一旦定义域和对应关系 确定，值域也随之确定 定义域、 值域. 对应关系、 新知探究 如涉及实际问题，函数的定义域还必须使得实际问题有意义. 例题讲解 例1 下列各组中的两个函数是否为同一个函数？ 例题讲解 例1 下列各组中的两个函数是否为同一个函数？ 同一函数：定义域、对应关系、值域都相同 所以是同一个函数； 思考： 例题讲解 例2 求下列函数的定义域: 例题讲解 例2 求下列函数的定义域: 例题讲解 已知解析式求函数的定义域： 用集合或区间表示 1.教材 P53 练习 1，2. 课堂练习 2.(1)不是；(2)是. 课堂小结 函数的三要素 同一函数 定义域 值域 对应关系 定义域 对应关系 函数的概念 2025/7/15 18 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1.求下列函数的定义域： 课后作业 答案: 课后作业 2.(1)不是；(2)不是；(3)是. $$