第二章 §2 函数-2.1 函数概念-【高中必刷题】2025-2026学年高中数学必修第一册同步课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦函数概念，涵盖定义、定义域、值域等核心知识点，从集合对应关系导入，通过基础题型、易错点解析到提升训练，构建层层递进的学习支架，帮助学生逐步深化理解。 其亮点是题型分类清晰，结合实例解析与规律归纳，通过函数定义辨析题培养推理意识，通过定义域值域求法总结提升抽象能力。采用讲练结合模式，学生能系统掌握知识，教师可高效开展教学。

数学 必修第一册 BS 1 §2 §2 函数 2 §2 2.1 函数概念 刷基础 3 1.（多选）［河南郑州2025高一期中］下列说法正确的是( ) CD A.函数就是两个集合之间的对应关系 B.若函数的值域只含有一个元素，则定义域也一定只含有一个元素 C.若，则 一定成立 D.若两个函数相等，则这两个函数的定义域和对应关系一定相同 题型1 函数定义的理解 4 解析 A，由函数的定义可知，必须是两个非空数集，故A不正确； B，设函数，显然值域为 ，故B不正确； C，因为，所以 ，故C正确； D，由相等函数的定义可知D正确，故选 . 题型1 函数定义的理解 5 2.［湖北荆州中学2024高一月考］已知集合,,, ， 则 中的元素有( ) D A.0个 B.1个 C.2个 D.至多1个 题型1 函数定义的理解 6 思路导引 集合, 分别是由两个函数图象上的点构成的集合,它们的交集由两个函数图象的交点构成. 题型1 函数定义的理解 7 解析 集合是由函数的图象上的点组成的集合,集合是直线 上的点组成的集合, 当时,是唯一确定的值,当时, 不存在, 所以直线与函数的图象至多只有一个交点,即集合 中至多有1个元素.故选D. 题型1 函数定义的理解 8 3.［黑龙江大庆一中2025高一期中］若函数的定义域为 ，值域为 ，则函数 的图象可能是( ) C A. B. C. D. 题型1 函数定义的理解 9 解析 由函数的定义域为，值域为 可知， A中图象对应函数的定义域为 ，不满足题意； B中图象对应函数的定义域为，值域为 ，不满足题意； C中图象满足题目要求； D中的图象不是函数的图象.故选C. 题型1 函数定义的理解 10 规律方法 此类判断函数图象的问题需要注意以下几点 （1）在定义域内每个实数都要有对应的函数值 ； （2）一个不能对应多个,即画一条与 轴垂直的直线,与函数图象至多只有一个交点； （3）函数值不能超出给定函数值的集合. 题型1 函数定义的理解 11 4.［广东广州铁一中学2025高一月考］函数 的定义域为( ) D A. B. C. D. 题型2 函数的定义域 12 解析 由题意可得解得且 ，故选D. 题型2 函数的定义域 13 归纳总结 求函数的定义域时，常有以下几种情况： （1）如果解析式是整式，那么定义域为 ;如果解析式是分式，那么定义域是使分母不为零的一 切实数的集合；（2）如果解析式是二次根式，那么定义域是使根号内的式子大于或等于0的全体 实数 组成的集合；（3）如果解析式由几个部分的数学式子构成，那么定义域是使各部分式子都有意 义的实数集. 链接教材 本题是教材第55页例2的同类试题,考查函数定义域的求解. 求函数的定义域需注意如下两点: （1）0不作分母,0没有0次方； （2）偶次根号下被开方数需要大于或等于0. 题型2 函数的定义域 14 5.［河南许昌高级中学2025高一月考］已知函数的定义域为，则函数 的 定义域为( ) B A. B. C. D. 题型2 函数的定义域 15 解析 由题意得 ，解得 ，由，解得 ， 所以函数的定义域是, ，故选B. 题型2 函数的定义域 16 归纳总结 求解抽象函数定义域问题的注意事项 （1）自变量始终是,定义域始终是指 的取值范围； （2）括号内范围不变,即,,的后面括号中的,, 的取值范围要保持一致. 题型2 函数的定义域 17 6.［湖南邵阳邵东一中2025高一月考］若函数的定义域为，则实数 的 取值范围为( ) B A. B. C. D. 题型2 函数的定义域 18 解析 因为的定义域为,所以 恒成立. 当 时,显然成立； 当时,有解得 . 综上可得,实数的取值范围为 .故选B. 题型2 函数的定义域 19 7.［辽宁沈阳市郊联体2024高一期中］已知函数，若，则 的值为( ) A A. B. C. D. 题型3 函数值与函数的值域 20 解析 由,得,解得 .故选A. 题型3 函数值与函数的值域 21 8.［浙江杭州2025高一月考］下列函数中，值域为 的是( ) C A.， B. C. D. 题型3 函数值与函数的值域 22 解析 对于A,的值域为 ,A错误； 对于B,的值域为 ,B错误； 对于C,由得,即的定义域为,当 时, , ,C正确； 对于D,当时,,当且仅当时取等号, ,D错误.故选C. 题型3 函数值与函数的值域 23 9.函数 的值域为( ) B A. B. C. D. 题型3 函数值与函数的值域 24 思路导引 借助配凑法分离常数后,利用二次函数的性质并结合不等式的性质求解值域. 题型3 函数值与函数的值域 25 解析 由可得 , 由于函数,所以 , 故 ,故选B. 题型3 函数值与函数的值域 26 归纳总结 求函数值域的常用方法 （1）观察法:通过对函数解析式的简单变形,利用熟知的基本函数的值域或利用函数图象的“最高 点”和“最低点” ,观察求得函数的值域. （2）配方法:对二次函数型的解析式可先进行配方,在充分注意到自变量取值范围的情况下,再结合 二次函数的性质求函数的值域. （3）换元法:对含有根号的函数,可以通过对函数解析式的适当换元（注意新元的取值范围）,将复 杂的函数转化为简单的函数,进而利用基本函数的取值范围求函数的值域. （4）分离常数法:先将形如且 的函数解析式分离常数,变形过程为 ,再结合的取值范围确定 的取值范围,从而确定函数的值域. （5）基本不等式法:分子、分母其中一个为一次,一个为二次函数结构的函数, 一般通过变形使之 具备“一正、二定、三相等”的条件,利用基本不等式法求值域. 题型3 函数值与函数的值域 27 10.已知函数的定义域与值域均为，则实数 的值为( ) A A. B. C. D.1 题型3 函数值与函数的值域 28 解析 的解集为, 方程的解为或,且 , , , . 又 函数的值域为 , , .故选A. 题型3 函数值与函数的值域 29 规律方法 已知函数的值域求参数问题的解题思路 （1）注意调整思维方向,根据值域的含义,将给出的值域转化为方程的解或不等式的解集的问题; （2）根据方程的解或不等式的解集情况来确定参数的值或取值范围. 题型3 函数值与函数的值域 30 11.［浙江杭州部分学校2025高一期中联考］已知函数的定义域为，值域为 ，则 ( ) B A.函数的定义域为 B.函数的值域为 C.函数的定义域和值域都是 D.函数的定义域和值域都是 题型3 函数值与函数的值域 31 解析 对于A选项,令，可得，所以函数的定义域为 ，故A错误； 对于B选项,因为的值域为,，即可取遍 内的所有数，所以 的值域为，可得函数的值域也为 ，故B正确； 对于C选项,令，得，所以函数 的定义域为 ，故C错误； 对于D选项,函数的定义域为的解集，故函数的定义域不为 ,故D错误. 故选B. 题型3 函数值与函数的值域 32 12.［安徽宿州多校2025高一期中联考］下列四个函数中，与 表示同一个函数的是( ) D A. B. C. D. 题型4 相同函数 33 解析 对于A，和 的对应关系不相同，不是同一个函数，故A不正确； 对于B，和 的对应关系不相同，不是同一个函数，故B不正确； 对于C，函数的定义域为 ， 函数的定义域为 ，定义域不同，不是同一个函数.故C不正确； 对于D，函数的定义域和对应关系与 都相同，是同一个函数.故D正确.故选D. 题型4 相同函数 34 13.［广东珠海四校2024高一期中联考］下列选项中表示同一函数的是( ) D A.与 B.与 C.与 D.与 题型4 相同函数 35 解析 ,与, 的定义域不同,故A错误； ,与, 的定义域不同,故B错误； 与 的对应关系不同,故C错误； ,与, 的定义域和对应关系均相同,为同一函数,故D 正确. 故选D. 题型4 相同函数 36 14.［湖北武汉第一中学2025高一月考］集合, ，下列对应关 系不能表示从到 的函数的是( ) C A. B. C. D. 题型5 函数对应关系的表示 37 解析 A选项，，当时，，且对每一个，都有唯一确定的 与其对应， 故A能表示从到 的函数，A正确； B选项，,当时，，且对每一个，都有唯一确定的 与其对应， 故B能表示从到 的函数，B正确； C选项，，当时，,，故C不能表示从到 的函数，C不正确； D选项，，当时， ， 且对每一个，都有唯一确定的与其对应，故D能表示从到 的函数，D正确.故选C. 题型5 函数对应关系的表示 38 规律方法 判断所给对应关系 是否构成函数的步骤 （1）观察两个数集, 是否非空； （2）验证对应关系下,集合中的任意性,集合中 的唯一性. 题型5 函数对应关系的表示 39 15.若函数，则 ( ) B A. B.0 C.1 D.3 题型5 函数对应关系的表示 40 解析 ,令,得 .故选B. 题型5 函数对应关系的表示 41 16.有如下对应关系： （1），，，， ； （2），0，，， ； （3），， ； （4），， ； （5），，， . 其中能构成从集合到集合 的函数的有_______.（填序号） 解析 （1）由函数的定义知,满足题意； （2）当时, 中不存在元素与之对应,不满足题意； （3）当时, 没有意义，不满足题意； （4）由函数的定义知,满足题意； （5）集合 不是数集,故不满足题意. 易错点1 不能正确理解函数的定义而致错 42 易错警示 判断集合, 之间的对应关系是否为函数时必须满足： （1）,必须是非空数集,且集合中任一元素在集合 中有且只有一个元素与之对应； （2）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系,“一对多”的不是函数关系. 易错点1 不能正确理解函数的定义而致错 43 17.［江苏常州2025高一期中］若函数的定义域为，则实数 的取值范围是 ( ) C A. B. C. D. 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 44 解析 由题意知，当时，不等式 恒成立. 当时， 恒成立； 当时，则需满足解得 . 综上可得的取值范围是 .故选C. 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 45 易错警示 本题关于的函数的定义域为等价于方程 恒成立,由于二次项系数含 参数,一定要分和 两种情况讨论. 易错点2 忽略对参数的分类讨论而致错 46 18.［北京清华附中2024高一期中］函数, 的值域为( ) A A. B. C. D. 易错点3 忽略函数的定义域而致错 47 解析 因为图象的对称轴为直线,所以当时,取得最小值.当 时,,当时,,因此函数,的值域为 ,故选A. 易错点3 忽略函数的定义域而致错 48 易错警示 求解二次函数在给定区间的值域问题,应结合二次函数的图象或其对称轴与区间的关系 确定函数的最值,进而确定值域. 易错点3 忽略函数的定义域而致错 49 19.［山东临沂2025高一月考］若函数的定义域是，则函数 的定义域是 _______. 解析 由题意得函数的定义域是 ， 令，所以，即，解得 . 由，解得或 ， 所以函数的定义域为 . 易错点4 混淆自变量的判定而致错 50 20.已知函数的定义域为，则函数 的定义域为___________________. 解析 已知函数的定义域为,所以函数的定义域为.在函数 中, ,,所以或,所以函数的定义域为 , , . 易错点4 混淆自变量的判定而致错 51 易错警示 若的定义域为,则解不等式即可求出 的定义域； ②若的定义域为,则求出在上的值域即得 的定义域. 易错点4 混淆自变量的判定而致错 52 §2 2.1 函数概念 刷提升 53 1.已知集合，，则从到的函数 有( ) D A.8个 B.6个 C.7个 D.9个 54 解析 集合中有两个元素,若在集合中都对应相同的元素,则有3种情况： , ；,；, . 若在集合中都对应不同的元素,则有6种情况：,；, ； ,；,；,；,.所以从到 的 函数 有9个.故选D. 55 2.［广东梅州2025高一月考］已知集合， ，则( ) B A. B. C. D. 56 解析 由有意义，可得，即 ， 由，可得 ， 故 ，故A错误，B正确； ，故C错误； 显然不是集合 的子集，故D错误.故选B. 57 3.［湖南常德2025高一期中］已知的定义域为，则 的定义域为( ) C A. B. C. D. 58 解析 因为的定义域为 ， 所以所以 所以，即的定义域为 .故选C. 59 4.［江苏无锡天一中学2025高一期中］函数 的值域为( ) D A. B. C. D. 60 解析 ，由，得，所以函数的定义域为 . 令，则， ， 所以， ， 又的值在上随的增大而增大，在上随 的增大而减小， 所以当 时函数取得最大值，最大值为3. 则由二次函数的图象与性质可知，函数的值域为 ， 即函数的值域为 .故选D. 61 规律方法 求复杂（根式型、分式型等）函数的值域，可以利用换元法来求解. 62 5.［湖北孝感2024高一联考］已知函数满足，且 ，则 ( ) A A.16 B.8 C.4 D.2 63 解析 因为函数满足 , 所以有, , 又 , 所以 , 解得,则 .故选A. 64 6.（多选）若某函数的定义域与其值域的交集是，则称该函数为“ 交汇函数”.下列函 数是“ 交汇函数”的是( ) AB A. B. C. D. 65 解析 由“交汇函数”的定义可知“ 交汇函数”表示函数的定义域与其值域的交集为 . 对于选项A,的定义域,值域,则 ,A正确； 对于选项B,的定义域,令,则 ,值 域,则 ,B正确； 对于选项C,,,, ,定义域 ,值域,则 ,C错误； 对于选项D,的定义域 ,由题可得 ,, ,即 , ,即值域,则,D错误.故选 . 66 归纳总结 求函数的定义域,主要包括:偶次根式中被开方数不小于0、分母不为0、自变量的实际意 义等；求函数的值域实际上就是求函数的最值问题（如无最值则为无穷大或无穷小）,但要注意值 域是否连续. 67 7.已知函数，则 ____. 解析 令,则 , 将其代入中得,即,则 . 68 多种解法 令,解得,则 . 69 8.［山东淄博五中2025高一期中］已知函数， ， 若函数的值域为，则实数 的取值范围是_ _________. 解析 ，则有， ， 由， ， 所以解得 ， 所以实数的取值范围是 . 70 9.［河北衡水中学2025高一期中］函数 . （1）若的定义域为，求实数 的值； 【解】由于 的定义域需要满足 ， 结合的定义域为，故和 是一元二次方程 的两个不相等的实数根， 所以 解得 . 71 （2）若的定义域为，求实数 的取值范围. [答案] 若的定义域为，则对任意的 均成立， 当时，，此时不等式为 ，则解集不是全体实数，不符合题意， 舍去； 当时，，此时不等式为 ，则解集是全体实数，符合题意； 当且，此时，不等式 为一元 二次不等式，要使解集为全体实数，则 解得或 . 综上可得的取值范围为或 . 72 名师点拨 定义域为等价于根号下被开方数（式）大于或等于0在上恒成立,值域为 等价 于根号下被开方数（式）可以取遍所有非负数,再结合图象和判别式求参数的取值范围. 73 10.［安徽六安2025高一期中］已知函数 . （1）求与，与 的值. 【解】 , ； , . 74 （2）由（1）中求得的结果，你能发现与 有什么关系？证明你的发现. [答案] 由（1）中求得的结果,归纳推理可得 . 证明： 75 （3）求 的值. [答案] 因为 , 所以 . 76 归纳总结 类似第（3）问求很多函数值之和的问题,往往不是一一代入求值,多观察所求函数值对 应自变量的关系,找规律后再求和. 77 11.［2023全国高中数学联赛北京赛区预赛］已知集合,映射 ,且满足对任意 ,有,则这样的“ ”一共有____个. 13 解析 分情况讨论： ①当 时，满足的情况有 ②当 时，满足的情况有 78 ③当 时，满足的情况有 故这样的“ ”一共有13个. 79 $$