精品解析：山东省烟台市牟平区（五四制）2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题

2024—2025学年度第一学期期末质量检测 初三数学试题 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（共12个小题，每小题3分，分36分．每小题给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题正确的是（ ） A. 对角互补的四边形是平行四边形 B. 正方形的对角线相等且互相垂直平分 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 3. 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点所连的线段的关系是（ ） A. 平行 B. 相等 C. 平行（或在同一条直线上）且相等 D. 既不平行，又不相等 4. 下列各式中能用完全平方公式分解因式的是（ ） A. B. C. D. C． 5. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 月日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校不同年级的名同学近个月内每人阅读课外书的数，数据如下表所示： 人数 课外书数量（本） 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 9. 如图是甲、乙两位射击运动员8次射击测试成绩的统计图，对于甲、乙两位射击运动员的成绩，下列说法正确的是（ ） A. 甲平均成绩高，成绩不稳定 B. 甲平均成绩低，成绩稳定 C. 乙平均成绩高，成绩不稳定 D. 乙平均成绩高，成绩稳定 10. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为（ ） A. 0.5 B. 1 C. D. 2 11. 若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 12. 菱形的边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ） A B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 因式分解：______ 14. 已知，且，则的值为___________． 15. 为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是___________分． 16. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若OF的长为，则△CEF的周长为______． 17. 如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度． 18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是________． 三、解答题（满分66分） 19. （1）因式分解：， （2）解关于x的分式方程：． 20. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将向下平移3个单位长度得到，画出； （2）将绕点C顺时针旋转90度得到，画出； （3）在（2）的图中______． 21. 先化简，再求值：，其中x是满足的一个整数，任意取一个满足题意的x代入求值． 22. 如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． （1）求证：四边形为平行四边形 （2），求线段的长度． 23. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．配送速度得分（满分10分）： 甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10 乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10 b．服务质量得分统计图（满分10分）： c．配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 78 m 7 乙 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中______；______（填“>”“=”或“<”）． （2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 24. 将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转到位置，使，如图2． （1）求值． （2）如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交AC于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． （3）在图3中与大小关系是______，线段与线段的数量关系是______． 25. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 26. 【问题解决】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边上，，垂足为点G．求证：． 【拓展提升】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边上，，延长到点H，使，连接，求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边上，，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度第一学期期末质量检测 初三数学试题 （120分钟，120分） 说明：解答全部在答题卡上完成，最后只交答题卡． 一、选择题：（共12个小题，每小题3分，分36分．每小题给出标号A、B、C、D的四个备选答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案用2B铅笔在答题卡上涂黑．） 1. 下列图案是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形：一个图形如果沿一条直线折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形；中心对称图形：一个图形绕某个点旋转180度后能与原图完全重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：A、是中心对称图形但不是轴对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故不符合题意； D、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念是解题的关键． 2. 下列命题正确的是（ ） A. 对角互补的四边形是平行四边形 B. 正方形的对角线相等且互相垂直平分 C. 矩形的对角线互相垂直 D. 一组邻边相等的四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理的知识，矩形和正方形的性质、平行四边形和菱形的判定．根据矩形和正方形的性质、平行四边形和菱形的判定定理解答即可． 【详解】解：A、对角互补的四边形不一定是平行四边形，故此选项不符合题意； B、正方形的对角线相等且互相垂直平分，故此选项符合题意； C、矩形的对角线相等但不一定互相垂直，故此选项不符合题意； D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点所连的线段的关系是（ ） A. 平行 B. 相等 C. 平行（或在同一条直线上）且相等 D. 既不平行，又不相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质判断即可． 【详解】解：根据平移的性质：图形经过平移，对应点所连的线段是平行（或在同一条直线上）且相等，选C． 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟记即可． 4. 下列各式中能用完全平方公式分解因式是（ ） A. B. C. D. C． 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查利用完全平方公式因式分解，根据完全平方公式，逐一验证各选项是否符合公式结构． 【详解】选项A：，故符合； 选项B：，无法通过完全平方公式分解，故不符合； 选项C：，无法通过完全平方公式分解，故不符合； 选项D：，无法通过完全平方公式分解，故不符合； 故选：A． 5. 如图1是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中．如图2是八角形空窗的示意图，它的一个外角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是正多边形的外角问题．由正八边形的外角和为，结合正八边形的每一个外角都相等，再列式计算即可． 【详解】解：∵正八边形的外角和为， ∴， 故选：B． 6. 如图，在菱形中，，连接，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连接，则的度数是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和以及三角形的外角定理．根据题意画出图形，结合菱形的性质可得，再进行分类讨论：当点E在点A上方时，当点E在点A下方时，即可进行解答． 【详解】解：∵四边形为菱形，， ∴， 连接， ①当点E在点A上方时，如图， ∵，， ∴， ②当点E在点A下方时，如图， ∵，， ∴， 故选：D． 7. 月日是世界读书日，学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动．小明随机调查了本校不同年级的名同学近个月内每人阅读课外书的数，数据如下表所示： 人数 课外书数量（本） 则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数和众数，根据中位数和众数的定义进行计算即可，解题的关键是正确理解将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，众数是出现次数最多的数． 【详解】解：根据名同学的阅读数量按从小到大排列可知，中位数为第和第个数据的平均值， ∴中位数为， ∵课外书数量本的人数为，出现次数最多， ∴众数是， 综上，中位数和众数均为， 故选：． 8. 近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线b时的平均速度为千米/小时，根据路线b的全程比路线a少用10分钟可列出方程． 【详解】解：由题意可得走路线b时的平均速度为千米/小时， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 9. 如图是甲、乙两位射击运动员8次射击测试成绩的统计图，对于甲、乙两位射击运动员的成绩，下列说法正确的是（ ） A. 甲平均成绩高，成绩不稳定 B. 甲平均成绩低，成绩稳定 C. 乙平均成绩高，成绩不稳定 D. 乙平均成绩高，成绩稳定 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图和平均成绩和波动情况．根据折线统计图判断两人的平均成绩大小和波动情况． 【详解】解：根据折线统计图，可知甲的平均成绩低于乙的平均成绩，且甲的成绩波动比乙的成绩波动大，即乙的成绩比甲的成绩稳定； 故选：D． 10. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是中点，若，，则的长为（ ） A. 0.5 B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形的中位线．先证明，进而求出的长，证明是的中位线，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵对角线相交于点， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是中点，， ∴是的中位线， ∴； 故选：C． 11. 若关于的方程解为正数，则的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是正数，可得，即可求出的取值范围． 【详解】解： ∵方程的解为正数，且分母不等于0 ∴， ∴，且 故选：D． 【点睛】此题考查了解分式方程，根据分式方程的解的情况求参数，解不等式，将方程化为整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此类问题的关键． 12. 菱形边长为2，，将该菱形绕顶点A在平面内旋转，则旋转后的图形与原图形重叠部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分两种情况：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转，连接，相交于点O，与交于点E，根据菱形的性质推出的长，再根据菱形的性质推出与的长，再根据重叠部分的面积求解即可．②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积． 【详解】解：①如图，将该菱形绕顶点A在平面内顺时针旋转30°， 连接，相交于点O，与交于点E， ∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵菱形绕点A顺时针旋转得到菱形， ∴， ∴A，，C三点共线， ∴， 又∵， ∴，， ∵重叠部分的面积， ∴重叠部分面积； ②将该菱形绕顶点A在平面内逆时针旋转，同①方法可得重叠部分的面积， 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，正确作出图形是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共18分） 13. 因式分解：______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟记平方差公式是解答的关键．先提公因式3，再利用平方差公式分解因式即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 已知，且，则的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据可得，即，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，即． ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，根据分式的加减运算法则得到是解答本题的关键． 15. 为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”的号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是___________分． 【答案】93 【解析】 【分析】利用加权平均数的计算方法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：（分）； ∴该参赛队的最终成绩是93分， 故答案为：93 【点睛】本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法，是解题的关键． 16. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若OF的长为，则△CEF的周长为______． 【答案】18 【解析】 【详解】是的中位线， ， ， ， 由勾股定理得：， 是的中线， ， ∴△CEF的周长为6.5+6.5+5=18． 17. 如图，将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为，展开后，再将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为，则的大小为__________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得正五边形的每一个内角为，根据折叠的性质求得在中，根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵正五边形的每一个内角为， 将正五边形纸片折叠，使点与点重合，折痕为， 则， ∵将纸片折叠，使边落在线段上，点的对应点为点，折痕为， ∴，， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，正多边形的内角和的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B在x轴上，，，，将菱形绕点A旋转后，得到菱形，则点的坐标是________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况：当绕点A顺时针旋转后，当绕点A逆时针旋转后，利用菱形的性质及直角三角形30度角的性质求解即可． 【详解】解：当绕点A顺时针旋转后，如图， ∵， ∴， ∵菱形中，， ∴， 延长交x轴于点E， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当绕点A逆时针旋转后，如图，延长交x轴于点F， ∵，， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】此题考查了菱形的性质，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质，正确理解菱形的性质及旋转的性质是解题的关键． 三、解答题（满分66分） 19. （1）因式分解：， （2）解关于x的分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解和解分式方程，熟练掌握因式分解的方法和解分式方程的步骤是解题的关键． （1）先分组，再由提取公因式法分解； （2）先去分母化为整式方程，再求解，最后检验即可． 【详解】（1）解： （2）解：， ， ， ， 解得：或， 经检验是增根，故舍去， ∴原方程的解为：． 20. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，的顶点均在小正方形的格点上． （1）将向下平移3个单位长度得到，画出； （2）将绕点C顺时针旋转90度得到，画出； （3）在（2）的图中______． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3） 【解析】 【分析】本题考查平移，旋转，勾股定理，解题的关键是熟练掌握图形变换的性质以及勾股定理． （1）将点、点、点分别向下平移3个单位长度，至点、点、点，连接、、即可； （2）以点为中心，分别将、顺时针旋转，至、，点即为点，连接即可； （3）由旋转可知的度数，减去的度数，即可得． 【小问1详解】 解：如图，将点、点、点分别向下平移3个单位长度，至点、点、点，连接、、，即可得 【小问2详解】 解：如图，以点为中心，分别将、顺时针旋转，至、，点即为点，连接，即可得 【小问3详解】 解：由旋转可知，， ∵，，，， ∴，， ∴，是直角三角形，， ∴， ∴， 故答案为：． 21. 先化简，再求值：，其中x是满足的一个整数，任意取一个满足题意的x代入求值． 【答案】；当时，原式；当时，原式；当时，原式． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的两个分式的分母分解因式，再把两个分式通分化简，接着把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵负分数要有意义， ∴且且 ∵x是满足的整数， ∴x可以取、1、3， 当时，原式； 当时，原式； 当时，原式． 22. 如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点H在线段上，连接，点G、F分别为的中点． （1）求证：四边形为平行四边形 （2），求线段的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得到，，得到，即可证明四边形为平行四边形； （2）由四边形为平行四边形得到，由得到，由勾股定理即可得到线段的长度． 【小问1详解】 解：∵点D、E分别为的中点， ∴， ∵点G、F分别为、的中点． ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； 【小问2详解】 ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了中位线定理、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，证明四边形为平行四边形和利用勾股定理计算是解题的关键． 23. 蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下： a．配送速度得分（满分10分）： 甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10 乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10 b．服务质量得分统计图（满分10分）： c．配送速度和服务质量得分统计表： 项目 统计量 快递公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差 甲 7.8 m 7 乙 8 8 7 根据以上信息，回答下列问题： （1）表格中的______；______（填“>”“=”或“<”）． （2）综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由． （3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息（列出一条即可）？ 【答案】（1）7.5； （2）甲公司，理由见解析 （3）还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可） 【解析】 【分析】（1）根据中位数和方差的概念求解即可； （2）通过比较平均数，中位数和方差求解即可； （3）根据题意求解即可． 【小问1详解】 由题意可得，， ， ∴， 故答案为：7.5；； 【小问2详解】 ∵配送速度得分甲和乙的得分相差不大， 服务质量得分甲和乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， ∴甲更稳定， ∴小丽应选择甲公司； 【小问3详解】 还应收集甲、乙两家公司的收费情况．（答案不唯一，言之有理即可） 【点睛】本题考查中位数、平均数、方差的定义，掌握中位数、平均数、方差的定义是解题的关键． 24. 将一副直角三角板与叠放在一起，如图1，，，，．在两三角板所在平面内，将三角板绕点O顺时针方向旋转到位置，使，如图2． （1）求的值． （2）如图3，继续将三角板绕点O顺时针方向旋转，使点E落在边上点处，点D落在点处．设交于点G，交AC于点H，若点G是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由． （3）在图3中与的大小关系是______，线段与线段的数量关系是______． 【答案】（1） （2）正方形，理由见解析 （3）相等，相等 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定，正方形的判定，等腰直角三角形的性质是解题的关键． （1）确定旋转角，结合，，计算即可． （2）先证明四边形是矩形，再利用等腰直角三角形的性质，结合一组邻边相等的矩形是正方形证明即可． （3）根据旋转性质和全等三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得旋转角， ∵，， ∴， 故． 【小问2详解】 解：根据题意，得旋转角， ∵， ∴， ∵，点G是的中点，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形，又， ∴四边形是正方形． 【小问3详解】 解：由旋转性质得，， 连接、， 在和中， ∴， ∴， 故答案为：相等，相等． 25. 为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少万元，且用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等． （1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？ （2）该停车场计划共购买个A，B型充电桩，购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？ 【答案】（1）A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元 （2）共有三种方案：方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个；方案三总费用最少． 【解析】 【分析】（1）根据“用万元购买A型充电桩与用万元购买B型充电桩的数量相等”列分式方程求解； （2）根据“购买总费用不超过万元，且B型充电桩的购买数量不少于A型充电桩购买数量的”列不等式组确定取值范围，从而分析计算求解 【小问1详解】 解：设B型充电桩的单价为万元，则A型充电桩的单价为万元，由题意可得： , 解得， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：A型充电桩的单价为万元，B型充电桩的单价为万元； 小问2详解】 解：设购买A型充电桩个，则购买B型充电桩个，由题意可得： ，解得， ∵须为非负整数， ∴可取，，， ∴共有三种方案： 方案一：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案二：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）； 方案三：购买A型充电桩个，购买B型充电桩个，购买费用为（万元）， ∵ ∴方案三总费用最少． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，找准等量关系列出分式方程和一元一次不等式组是解决问题的关键． 26. 【问题解决】 （1）如图1，在矩形中，点E，F分别在边上，，垂足为点G．求证：． 【拓展提升】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边上，，延长到点H，使，连接，求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3． 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质可得则，再由，可得，则，根据等角的余角相等得，即可； （2）利用“”证明，可得，由，可得，利用“”证明，则，由正方形的性质可得，根据平行线的性质，即可得证； （3）延长到点，使，连接，由菱形的性质可得，，则，推出，由全等的性质可得，，进而推出是等边三角形，再根据线段的和差关系计算求解即可． 【详解】证明：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，延长到点，使，连接， 四边形是菱形， ，， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$