精品解析：黑龙江省大庆市东风中学2024-2025学年高二下学期7月期末考试数学试题

2024-2025学年度高二年级下学期期末考试 数学学科试卷 （时长：120分钟） 出题者：韩淑云 审题者：纪微微 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数z满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. 58 C. 70 D. 80 4. 为了调查某学校高一年级学生每天体育活动时间的情况，随机选取了200名学生，将他们体育活动的时间（单位：分）按，，，分成10组，得到如图所示频率分布直方图，根据频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. B. 样本的众数估计值为70 C. 该校高一年级学生每天体育活动时间的第60百分位数估计值为72 D. 若该校高一年级共有1500名学生，则每天体育活动时间少于30分钟的共有180人 5. 斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A. 56 B. C. D. 6. 已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数定义域为，为其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，共18分.每小题全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 月饼象征着团圆和丰收，是中国的汉族传统美食之一，不仅味道鲜美而且寓意美好．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的盒装月饼，已知甲箱中有3盒肉松月饼，2盒果蔬月饼和4盒冰皮月饼，乙箱中有3盒肉松月饼，3盒果蔬月饼和3盒冰皮月饼，则下列正确的是（ ） A. 从甲箱中取出两盒月饼都是肉松月饼的概率是. B. 依次不放回地从甲箱中取出两盒月饼，第一盒是肉松的条件下，第二盒是果蔬的概率是. C. 先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼，则乙箱取出的月饼是肉松月饼的概率是. D. 先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼，若从乙箱取出的是肉松月饼，则从甲箱中取出果蔬月饼的概率是. 11. 已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则（ ） A. B. 时， C. 以为直径的圆与准线相切 D. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，且，则___________. 13. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是_______________. 14. 已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围为______． 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表： 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 女生 16 30 合计 21 注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”. （1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；（计算结果精确到小数点后三位） （2）将频率视为概率，从学校不经常锻炼的学生中抽取4人，设抽取的4人中男生人数为，求的分布列和数学期望. 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16. 如图1，已知四边形是上、下底边长分别为1，3，高为1的直角梯形，，为线段上更靠近点的三等分点.将沿着翻折，使得点翻折到点，且，得到的几何体如图2所示. （1）证明：平面. （2）求平面和平面的夹角. 17. 在中，角的对边分别为，若. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 18. 已知函数的图象经过点. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 19. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若，求直线的方程； （3）若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度高二年级下学期期末考试 数学学科试卷 （时长：120分钟） 出题者：韩淑云 审题者：纪微微 一、单选题（本题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出B中不等式的解集，确定出B，找出A与B的交集即可． 【详解】解不等式得：， 故选：C 2. 已知复数z满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数，根据共轭复数的概念确定，再根据复数虚部的概念进行判断. 【详解】由题意知， 所以，即复数的虚部为. 故选：C 3. 已知等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A. B. 58 C. 70 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的前n项和公式以及通项公式即可求出首项与公差，即可求得结果. 【详解】设等差数列的公差为d，因为，， 所以，，解得，． 所以． 故选：C． 4. 为了调查某学校高一年级学生每天体育活动时间的情况，随机选取了200名学生，将他们体育活动的时间（单位：分）按，，，分成10组，得到如图所示频率分布直方图，根据频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. B. 样本的众数估计值为70 C. 该校高一年级学生每天体育活动时间的第60百分位数估计值为72 D. 若该校高一年级共有1500名学生，则每天体育活动时间少于30分钟的共有180人 【答案】C 【解析】 【分析】由面积和为1可得A错误；由频率分布直方图中众数，百分位数的计算可判断B，C；对数据的估计可得D. 【详解】对于A，，解得，故A错误； 对于B，由图可得的频率最大，所以众数的估计值为75，故B错误； 对于C，由频率分布直方图得从第一组到第，七组的频率依次是0.02,0.04,0.06,0.08,0.08,0.12,0.16，所以第60百分位数估计值在之间， 所以， 解得，故C正确； 对于D，若该校高一年级共有1500名学生，则每天体育活动时间少于30分钟的估计有人，故D错误. 故选：C. 5. 斛是我国古代的一种量器，如图所示的斛可视为正四棱台，若该正四棱台的上、下底面边长分别为，，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A. 56 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据底面边长以及侧棱长求出四棱台的高，代入体积公式计算即可. 【详解】设正四棱台的上、下底面中心分别为，则即为正四棱台的高，如图所示： 取过正四棱台的轴和侧棱的截面，易知， 所以可得截面是上底为4，下底为8，腰长为的等腰梯形， 则， 所以正四棱台的体积为. 故选：B 6. 已知且，函数.若对任意的，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得函数在定义域内单调递减，结合分段函数解析式，每一段应是减函数，且分界点处左段函数的函数值不小于右段函数的函数值，列出不等关系，求解即可. 【详解】因为函数对任意的，都有，所以函数在定义域内单调递减， 则一定有，解不等式组得. 故选：B. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦余弦公式将展开，两边同时除以，再利用两角差的正切公式计算即可. 【详解】， ， 两边同时除以， 可得， ， ， ，解得． 故选：D． 8. 已知函数定义域为，为其导函数，若恒成立，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，根据已知不等式，求出构造函数在定义域上的单调性，根据函数单调性，解出不等式的解集. 【详解】令，则， 因为在上，恒成立，可知在上单调递增， 因为，所以， 当时，即，可得， 因为在上单调递增，所以. 故选：B. 二、多选题（本题共3个小题，共18分.每小题全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系、诱导公式和余弦的二倍角公式求解判断即可. 【详解】因为，， 所以，，， 所以，，， 故选：ABD. 10. 月饼象征着团圆和丰收，是中国的汉族传统美食之一，不仅味道鲜美而且寓意美好．现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的盒装月饼，已知甲箱中有3盒肉松月饼，2盒果蔬月饼和4盒冰皮月饼，乙箱中有3盒肉松月饼，3盒果蔬月饼和3盒冰皮月饼，则下列正确的是（ ） A. 从甲箱中取出两盒月饼都是肉松月饼的概率是. B. 依次不放回地从甲箱中取出两盒月饼，第一盒是肉松的条件下，第二盒是果蔬的概率是. C. 先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼，则乙箱取出的月饼是肉松月饼的概率是. D. 先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼，若从乙箱取出的是肉松月饼，则从甲箱中取出果蔬月饼的概率是. 【答案】AD 【解析】 【分析】古典概型可直接得到选项A；条件概率可得到选项B；全概率公式直接得到选项C；利用选项C的结论与条件概率可得到选项D. 【详解】对于A，从甲箱中取出两盒月饼都是肉松月饼的概率是，故A正确； 对于B，依次不放回地从甲箱中取出两盒月饼， 第一盒是肉松月饼的条件下，第二盒是果蔬月饼的概率为：，故B错误； 对于C，先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼， 则乙箱取出的月饼是肉松月饼的概率是：，故C错误； 对于D，先从甲箱中随机取出一盒月饼放入乙箱，再从乙箱中随机取出一盒月饼， 若从乙箱取出的是肉松月饼，则从甲箱中取出果蔬月饼的概率为：，故D正确. 故选：AD． 11. 已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线交于，两点，在第一象限，抛物线的准线与轴交于点，则（ ） A. B. 时， C. 以为直径的圆与准线相切 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，过焦点的直线方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，计算出；B选项，由焦点弦长公式得到方程，得到，不妨设，解得，，求出，，；C选项，求出的中点坐标为，计算出到准线的距离为，C正确；D选项，计算出，得到D正确. 【详解】A选项，设过焦点的直线方程为， 联立，可得，， ，，则，故A正确； B选项，，故， 当时，，解得， 由对称性，不妨设，则，， 解得，，此时， ，显然，故B错误； C选项，，，的中点坐标为， 到准线的距离为， 所以，以为直径的圆与准线相切，C正确； D选项，， ， ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，且，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量的线性运算结合坐标表示垂直可得. 【详解】， 因为， 所以，解得. 故答案为：. 13. 如图，、是椭圆：与双曲线：的公共焦点，A、B分别是、在第二、四象限的公共点，若四边形为矩形，则的离心率是_______________. 【答案】## 【解析】 【分析】由题意，根据双曲线的定义，结合矩形的性质，可得椭圆长轴长，由离心率的计算公式，可得答案. 【详解】设，，因为在双曲线上，所以， 又四边形为矩形，所以， 所以，， 设椭圆方程为，则，，又因与双曲线有相同焦点，则， 所以离心率为． 故答案为：． 14. 已知函数恰有三个零点，则实数a的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的导数，求出函数单调性和极值，确定方程有三个解的参数范围，求得结果. 【详解】函数恰有三个零点，即方程有三个解， 设，则， 令，即，因为，所以解得， 令，即，解得， 所以函数与变化关系如下表： 正 0 负 0 正 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由可知， 当时，，，所以且， 可得函数大致图形如下： 所以要满足题意，需. 故答案为：. 四、解答题（本题共5个小题，共77分） 15. 某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表： 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 女生 16 30 合计 21 注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”. （1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；（计算结果精确到小数点后三位） （2）将频率视为概率，从学校不经常锻炼的学生中抽取4人，设抽取的4人中男生人数为，求的分布列和数学期望. 附：， 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）列联表： 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 可以认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系 （2）分布列： 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）列联表，据此计算，根据零假设，比较临界值得出结论； （2）由题意，可得随机变量服从二项分布，根据二项分布求出分布列及期望. 【小问1详解】 根据统计表格数据可得列联表如下： 性别 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 7 23 30 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得 ， 根据小概率值的独立性检验，有充分的理由推断不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1. 【小问2详解】 依列联表，从不经常锻炼的学生中任取一人，是男生的概率为， 所以，，，，，， 0 1 2 3 4 . 16. 如图1，已知四边形是上、下底边长分别为1，3，高为1的直角梯形，，为线段上更靠近点的三等分点.将沿着翻折，使得点翻折到点，且，得到的几何体如图2所示. （1）证明：平面. （2）求平面和平面的夹角. 【答案】（1）证明：在图1中，由已知，，， ∴四边形是矩形，∴. 在图2中，∵，，， ，平面，∴平面. ∵平面，∴. 其中，，， 故，∴. ∵，，平面， ∴平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先得到平面，，结合勾股定理逆定理得，从而得到平面. （2）方法一：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用平面夹角的向量夹角公式得到答案； 方法二：作出辅助线，得到平面和平面夹角的平面角为，求出各边长，利用求出面面角的大小. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （方法一）由（1）可知，，，两两垂直， 以为原点，，，所在的直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，， ，，. 设平面的一个法向量为， 则取， 则，，得. 易得平面的一个法向量为， 则平面和平面夹角的余弦值为， 故平面和平面的夹角为. （方法二）如图，作矩形，连接. ∵，，∴，∴，，，四点共面， ∴平面和平面的交线为. ∵，，，，平面， ∴平面. ∵平面，∴，∴. ∵，∴平面和平面夹角的平面角为. ∵，∴， 故平面和平面的夹角为. 17. 在中，角的对边分别为，若. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理边化角，再利用两角和的正弦公式求解. （2）由三角形面积公式及余弦定理得出结果. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 则， 即，而，则， 又，所以. 【小问2详解】 由的面积为，得，解得， 由余弦定理得： ，即， 解得，所以的周长为. 18. 已知函数的图象经过点. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，即可根据直线的点斜式求解， （2）求导，对分类讨论，结合导函数的正负即可求解函数的单调性， （3）根据（2）的单调性，结合对分类讨论，即可求解函数的最值求解. 【小问1详解】 代入可得，解得， 当时，所以， 又， 故切线方程为，即 【小问2详解】 定义域为， ， 令解得或， 当时，此时，此时在上单调递增， 当时，令，则或，令，则， 故的单调递减区间为，单调递增区间为， 当时，令，则或，令，则， 故的单调递减区间为，的单调递增区间为， 【小问3详解】 当时，有（2）知：在上单调递增， 所以当时，， 当时，，由（2）知：在上单调递增， 所以当时，， 当时，，由（2）可知在上单调递减， 所以，矛盾， 综上可得 19. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为． （1）求双曲线的标准方程； （2）若，求直线的方程； （3）若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，定点，定值为1 【解析】 【分析】（1）由的面积求出，点坐标为，代入椭圆方程求解即可； （2）设直线的方程为，即，整体代入双曲线方程，利用齐次化，结合韦达定理求解即可； （3）设直线：，则，同理可得，假设存在点满足题设，求出为定值即可． 【小问1详解】 因为当直线的斜率为时，的面积为． 所以的面积为， 由对称性得，点坐标为， 则 结合，得，， 所以双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 因为双曲线的左顶点为，则， 因为直线斜率不存在时不满足题意， 所以设直线，，的斜率分别为，，，直线的方程为， 则， 双曲线，即， 所以，则， 所以， 即， 所以， 设，， 则， 若，则， 则直线的方程为，即． 【小问3详解】 设直线：， 令，得，则，同理可得， 假设存在点满足题设， 则为定值， 所以，所以，且， 即存在定点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $