1.4 用一元二次方程解决问题 导学案2025-2026学年苏科版数学九年级上册

1.4用一元二次方程解决问题 学习目标： 1、能根据题目列出一元二次方程并解决关于面积与平均增长率问题； 2、能根据题目列出一元二次方程并解决关于市场营销问题； 3、能根据题目列出一元二次方程并解决关于几何图形相关问题； 4、能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。 复习回顾：用一元一次方程解决问题的步骤：（审、设、列、解、验、答） 审：审题，分析题中已知量,未知量，明确题目中的数量关系（相等关系）； 设：设未知数(一般求什么就设什么）,并用未知数表示其他相关量； 列：利用题目中的数量关系，列出方程； 解：解方程,求出未知数的（）； 验：将未知数的值代入原方程检验，并检验所求解是否符合实际题意； 答：写出完整的答案。 问题导入： 问题一：用一根长的铁丝：（课本问题一） （1） 能否围成面积是的矩形？ 审题：找出数量关系（矩形的周长是） （2） 能否围成面积是的矩形？ （1）设合适的未知数：解：设围成的矩形的长为, 则矩形的宽就是。 列出方程： 解方程： 检验： 答： （2）设合适的未知数：解：设围成的矩形的长为, 则矩形的宽就是。 列出方程： 解方程： 检验： 答： 知识总结：用一元二次方程解题的步骤与用一元一次方程解题的步骤一致 审、设、列、解、验、答 练习：1、（课本练习）一块长方形菜地的面积是.如果它的长减少，那么它就成为正方形菜地。求这个长方形菜地的长和宽。 2、（课本练习）用一根长的金属丝能否制成面积的矩形框子？能否制成面积是的矩形框子。 知识总结：对于（矩形）面积问题：矩形的周长为，面积为， 设一边长为，则另一边长为，矩形的面积。 问题导入： 问题二（课本问题二）：某商店月份的利润是元，要使月份的利润达到元，平均每月利润增长的百分率是多少？ 思路点拨：如果设平均每月利润增长的百分率为， 那么：月份的利润是 元， 月份的利润是 元。 练习：某购物中心销售一批运动鞋，原价元，经过两次商品促销降价处理，现价元，求该运动鞋平均每次促销降价的百分率？ 知识总结：对于（平均）增长率问题：若原来为, 平均增长率是, 增长后的量为 。 则：第次增长后的量是：； 第次增长后的量是：； 第次增长后的量是：； 对于（平均）降低率问题：若原来为, 平均降低率是, 降低后的量为 。 则：第次降低后的量是：； 第次降低后的量是：； 第次降低后的量是：； 小结练习： 1、某学校准备修建一个面积为的矩形花圃，它的长比宽多，设花圃的长为，则可列方程为( ) A.； B.； C.； D.。 2、为执行国家药品降价政策，某药品经过两次降价，每盒零售价由48元降为35元。设平均每次降价的百分率是，则可列方程为  。 3、一根长的铁丝被剪成两段，每段均围成正方形。若两个正方形的面积和为，则这两个正方形的边长分别为 。 4、（课本习题）某农场的粮食产量在两年内从增加到，平均每年增产的百分率是多少？ 知识回顾：商品的利润、进价与售价之间的相等关系是 ； 总利润、单件商品利润与销售件数之间的相等关系是 。 问题导入： 问题三（课本问题三）：某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元。为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件。如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？ 解：设衬衫的单价降了元。 则：降价前的利润 ；销量 ；降价后的利润 ；销量 。 练习：（课本练习）某商店经销的某种商品，每件成本为元。经市场调研，售价为元，可销售件；售价每增加元，销售量将减少件。如果这种商品全部售完，那么该商店课盈利元。问：该商店销售了这种商品多少件？每件售价多少元？ 知识总结：销售利润＝销售量×销售单价－销售成本； 问题导入： 问题四（课本问题四）：根据上述旅游 信息，某公司组织一批员工到该风景区旅游， 支付给旅行社元。你能确定参加这次 旅游的人数吗？ 变式（课本练习）： 若该公司又组织第二批员工到凤凰城旅游并支付给旅行社元。 （1）求该公司第二批参加旅游的员工人数。 （2）如果这两批员工一次性去旅游，则该公司可节约旅游费用多少元? 小结练习： 1、一件工艺品进价为元，标价元出售，平均每天可销售件。根据销售统计，一件工艺品每降价元出售，则每天多售件，某店为减少库存量，同时使每天平均获得的利润为元，每件需降价( ) A.； B.； C.； D.。 2、（课本习题）某商店的一种服装，每件成本为元。经市场调研，售价为元时，可销售件；售价每提高元，销售量将减少件。已知商店销售这批服装获利元，问这种服装每件的售价是多少元？ 复习回顾：直角三角形的三边关系（勾股定理）： ； 速度、时间、路程三者之间的关系： 。 问题导入： 问题五（课本问题五）：如图，海关缉私人员驾艇在处发现在正北方向的处有一艘可疑船只，并测得它正以的速度向正东方向航行。缉私艇随即以的速度在处将可疑船只拦截。缉私艇从处到处需航行多长时间？ 练习：1、甲由南向北以的速度行进，乙自西向东以的速度行进，当乙到达点时，甲已到达点以北处，如果两人继续前进，求两人相距时各自的位置。 2、（课本练习）一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是。求这个直角三角形两条直角边及斜边的长。 问题导入： 问题六（课本问题六）：如图，在矩形中，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动。几秒钟后的面积等于？ 分析：设秒后的面积等于，则 的长度分别可用含的代数式表示，从而的面积也都可用含的代数式表示，于是可以列出方程。 知识总结：涉及几何图形的方程问题，我们要根据相关图形的性质，找出其中相等关系，从而建立适当的方程并解决问题。但要注意判断求得的方程的解是否能够符合实际意义，选择符合实际意义的正确答案。 练习：用一根长为的绳子围成一个面积为的矩形，的值不可能为( ) A.； B.； C.； D.。 课堂练习： 1、（2025·崇川区·期末）H市严格执行了义务教育阶段教师轮岗和零择校政策后，某薄弱学校2024年秋季在校人数比2022年在校人数增长了56%，已知2023年秋季在校人数增长率是x，2024年秋季在校人数增长率是2023年的1.5倍，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）。 A．x+1.5x＝56%； B．（1+x%）（1+1.5%x）＝1+56% ； C．（1+x）（1+1.5x）＝1+56%； D．（1﹣x）（1﹣1.5x）＝1﹣56%。 2、、（2025·海门区·二模）某件商品原价1000元，连续两次都降价x%后售价为640元，则x的值为（　　）。 A．68； B．64； C．36； D．20。 3、（2025·玄武区·期中）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．若平均每年的增产率相同，则平均每年增产的百分率为　　。 4、（2025·高新区·一模）某商品进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克．后经市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．商家销售这种商品若想要平均每天获利2240元，且销售量尽可能大，则每千克这种商品应定价为　　元。 学科网（北京）股份有限公司 $$