2.1 圆-【通成学典】2025年八年级数学暑期升级训练（苏科版）

61 第2章　对称图形——圆 2.1　圆 1. 圆是到 ( )的距离等于 ( )的点的集合. 2. 如果☉O 的半径为r,点P 到圆心O 的距离 为d,那么点P 在圆内⇔d r;点P 在 圆上⇔d r;点P在圆外⇔d r. 3. 连接圆上任意两点的 叫做弦,经过 的弦叫做直径. 4. 圆上任意两点间的 叫做圆弧,圆的 任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧, 每条弧都叫做 ,大于半圆的弧叫做 ,小于半圆的弧叫做 . 5. 顶点在圆心的角叫做 ;圆心 , 半径 的两个圆叫做同心圆;能够互 相重合的两个圆叫做 ;能够互相重 合的弧叫做 . 6. 同圆或等圆的半径 . 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 典例1 木杆AB 斜靠在墙壁上,当木杆的上端 A 沿墙壁NO 竖直下滑时,木杆的底端B 也随 之沿射线OM 方向滑动,下列选项中用虚线画出 木杆中点P随之下落的路线,正确的是 ( ) A B C D 连接OP,在点P 的运动过程中,由直角 三角形的性质,可知OP 的长不变. 解答: 解有所悟:动点到定点的距离不变,动点的运动路 径是圆(或圆的一部分). 典例2图 典例2 如图,在矩形ABCD 中, AB=3,AD=4,连接AC,过点D 作DE⊥AC 于点E.以点A 为圆 心作圆,使B、C、D、E 四个点中至 少有两个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则 ☉A 的半径r的取值范围是 . 分别计算出点B、C、D、E 到点A 的距离, 根据点与圆的位置关系可确定r的取值范围. 解答: 解有所悟:点与圆的位置关系可确定该点到圆心的 距离与半径的关系. 典例3 有下列说法:① 长度相等的弧是等弧; ② 弦是直径;③ 劣弧一定比优弧短;④ 直径是 圆中最长的弦;⑤ 两个半圆是等弧.其中,正确 的是 (填序号). 根据等弧、弦、劣弧、优弧、半圆的意义 判断. 解答: 解有所悟:圆中概念的意义是判断的依据. 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 3预学储备 拍 照 批 改 62 [基础过关] 1. ☉O的直径为10,同一个平面内有一点P,且 OP=5,则点P与☉O的位置关系是 ( ) A. 点P 在圆内 B. 点P 在圆上 C. 点P 在圆外 D. 无法确定 2. 已知☉O 的半径是3,点P 在圆外,则线段 OP 的长可能是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 已知☉O的半径为5,点P到圆心O的距离为 d.若点P在圆内,则d的取值范围是 ( ) A. d≤5 B. d=5 C. d>5 D. 0≤d<5 4. 有下列说法:① 半径相等的两条弧是等弧; ② 半圆是弧;③ 半径是弦;④ 弧是半圆.其 中,正确的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 答案讲解 5. 若☉O 所在平面内有一点P,点P 到☉O 上点的最大距离为8,最小 距离为2,则☉O 的直径为 ( ) A. 6 B. 10 C. 6或10 D. 无法确定 6. 已知☉O 的半径是4,点P 到圆心O 的距离 d为方程x2-4x-5=0的一个根,则点P 与☉O 的位置关系为点P 在☉O (填“内”“外”或“上”). 7. 若弦AB 的长等于☉O 的半径,则弦AB 所 对的圆心角的度数为 . 8. 如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,∠A= 40°,以点C 为圆心,CB 长为半径的圆交 AB 于点D,则∠ACD 的度数为 . 第8题 第9题 9. 如图,点B、E 在半圆O 上,四边形OABC、 四边形ODEF 均为矩形.若AB=3,BC= 4,则DF 的长为 . 答案讲解 10. Q 是半径为3的☉O 上一点,点P 与圆心O 的距离OP=5,则PQ 长的最小值是 ,最大值是 . 11. 如图,A、B、C 是☉O 上的三点,∠AOB= 50°,∠OBC=40°,求∠OAC 的度数. 第11题 答案讲解 12. 如图,在四边形ABCD 中,∠A= ∠C=90°,求证:A、B、C、D 四个 点在同一个圆上. 第12题 [综合提升] 13. 如图,AB 是☉O 的直径,点C、D 在☉O 上,CE⊥AB 于点E,DF⊥AB 于点F,且 AE=BF,连接AC、BD,则AC 与BD 相 等吗? 请说明理由. 第13题 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 数学(苏科版)八年级·A 22 20. (1) 3;2.(2) 由题意,易得n+5 8 = 3 4 ,解得n=1. 21. (1) b2-4ac=(-m)2-4×(2m-4)=m2-8m+ 16=(m-4)2.∵ (m-4)2≥0,∴ b2-4ac≥0.∴ 方程总 有 两 个 实 数 根.(2) ∵ x = m± (m-4)2 2 = m±(m-4) 2 ,∴ x1=m-2,x2=2.∴ m-2<0.∴ m< 2.∵ m 为正整数,∴ m=1. 22. (1) 如图,过点D 作DE⊥x 轴于点E,则∠DEA= 90°.∵ A(1,0)、B(0,2),∴ OA=1,OB=2.∵ D(3,1), ∴ 易得ED=1,EA=3-1=2.∴ OA=ED,OB= EA.又 ∵ ∠AOB = ∠DEA =90°,∴ △AOB ≌ △DEA.∴ AB=AD,∠ABO=∠DAE.又∵ 四边形 ABCD 是 平 行 四 边 形,∴ 四 边 形 ABCD 是 菱 形. ∵ ∠OAB+∠ABO=90°,∴ ∠OAB+∠DAE=90°. ∴ ∠BAD =90°.∴ 四 边 形 ABCD 是 正 方 形. (2) ∵ A(1,0)、B(0,2)、D(3,1),∴ 点A 先向右平移 2个单位长度,再向上平移1个单位长度到点D.∵ 四边 形ABCD 是正方形,∴ 易得点B 先向右平移2个单位长 度,再向上平移1个单位长度到点C.∴ C(2,3).设正方 形向左平移m 个单位长度,则点C 的对应点C'的坐标为 (2-m,3).∵ 点D(3,1)在反比例函数y= k x (x>0)的 图像上,∴ k=3×1=3.∴ 反比例函数的表达式为y= 3 x.∵ 点C'恰好落在反比例函数y= k x (x>0)的图像 上,∴ 3(2-m)=3.∴ m=1. 第22题 23. (1) 设这两年A型电脑显卡成本平均下降的百分率 为x.根据题意,得100(1-x)2=81,解得x1=0.1= 10%,x2=1.9(不合题意,舍去).∴ 平均下降的百分率为 10%.(2) 设售价应降低m 元/个,则销售利润为117.1- m-81×(1+10%)=(28-m)元/个,每天可售出20+ 10×m5= (20+2m)个.根据题意,得(28-m)(20+ 2m)=720.整理,得m2-18m+80=0,解得m1=10, m2=8.∵ 为了增加销量,∴ m=10.∴ 售价应降低 10元/个. 24. (1) 由 旋 转,易 得 ∠GAF =90°,AF =AG. ∴ ∠EAG= ∠GAF - ∠EAF =90°-45°=45°. ∴ ∠EAG= ∠EAF.又 ∵ AG = AF,AE = AE, ∴ △AEG≌△AEF.(2) 如图,将△ADF 绕点A 按顺时 针方向旋转90°,得到△ABG,连接MG,则BG=DF.同 (1),得△AEG≌△AEF,∴ EG=EF.∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ BC=CD,∠ABC=∠C=∠ADF=90°. ∴ ∠MBE=∠CDN=90°.∵ ∠CEF=45°,∴ 易得 ∠EFC=∠DFN =∠N =∠BEM =∠BME=45°. ∴ CE=CF,BE=BM,DN=DF.∴ BC-CE=CD- CF,即BE=DF.∴ BE=BM=DF=BG.∵ ∠GBM= ∠ABE=90°,∴ 易得∠BMG=45°.∴ ∠GME=45°+ 45°=90°.∴ EG2=ME2+MG2.∴ EF2=ME2+ MG2.∵ MG= BG2+BM2= BG2+BG2= 2BG, NF= DF2+DN2= DF2+DF2= 2DF,∴ MG= NF.∴ EF2=ME2+NF2.(3) EF2=2BE2+2DF2. 第24题 3 预学储备 第2章　对称图形——圆 2.1 圆 知识梳理 1. 定点 圆心 定长 半径 2. < = > 3. 线段 圆心 4. 部分 半圆 优弧 劣弧 5. 圆心角 相同 不相等 等圆 等弧 6. 相等 典例演练 典例1 D 典例2 3.2<r<5 典例3 ④ 预学训练 1. B 2. D 3. D 4. A 5. C 6. 外 7. 60° 8. 10° 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 23 9. 5 10. 2 8 11. ∵ OC=OB,∴ ∠OCB=∠OBC=40°.∴ ∠BOC= 180°- ∠OBC - ∠OCB =180°-40°-40°=100°. ∴ ∠AOC= ∠AOB + ∠BOC =50°+100°=150°. ∵ OA=OC,∴ ∠OAC=180°-∠AOC2 =15°. 12. 连 接 BD,取 BD 的 中 点 O,连 接 OA、OC. ∵ ∠BAD=∠BCD=90°,O 是BD 的中点,∴ OA= OB=OD=OC.∴ A、B、C、D 四个点在同一个圆上. 13. AC=BD.理由:连接OC、OD.∵ OA=OB,AE= BF,∴ 易 得 OE =OF.∵ CE ⊥AB,DF ⊥AB, ∴ ∠OEC=∠OFD=90°.在Rt△OEC 和Rt△OFD 中, OC=OD, OE=OF, ∴ Rt△OEC ≌Rt△OFD.∴ ∠COE = ∠DOF.在 △OAC 和 △OBD 中, OC=OD, ∠AOC=∠BOD, OA=OB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △OAC≌△OBD.∴ AC=BD. 2.2 圆的对称性1 知识梳理 1. 圆心 2. 相等 相等 3. 圆心角 弧 弦 相等 4. 1°的弧 5. 相等 典例演练 典例1 (1) ∵ CD=AB,∴ CD︵=AB︵,即AC︵+AD︵= BD︵+AD︵.∴ AC︵=BD︵.∴ AC=BD.(2) 连接BC.在 △ABC 和△DCB 中, AC=DB, AB=DC, BC=CB, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △ABC≌△DCB. ∴ ∠ABC=∠DCB.∴ BE=CE. 典例2 如图,连接OB、OC.∵ OA=OB=OC=OD, ∴ ∠A=∠OBA=65°,∠OCD=∠D=60°.∴ ∠1= 180°-2×65°=50°,∠3=180°-2×60°=60°.∵ ABD︵ 的 度数为150°,∴ ∠AOD=150°.∴ ∠2=∠AOD-∠1- ∠3=150°-50°-60°=40°.∴ BC︵ 的度数为40°. 典例2图 预学训练 1. B 2. D 3. B 4. B 5. 108° 6. 120° 7. 80° 8. 50° 9. 连接OC.∵ AC︵=BC︵,∴ ∠AOC=∠BOC.∵ CD⊥ OA,CE⊥OB,∴ ∠CDO=∠CEO=90°.在△COD 和 △COE 中, ∠CDO=∠CEO, ∠DOC=∠EOC, OC=OC, 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁􀪁 􀪁􀪁 ∴ △COD ≌ △COE. ∴ OD=OE.∵ AO=BO,∴ AO-OD=BO-OE,即 AD=BE. 10. (1) ∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB=CD. ∴ AB︵=CD︵.∵ M 为 AD︵ 的 中 点,∴ AM︵ =DM︵. ∴ AB︵+AM︵ =CD︵ +DM︵,即 BM︵ =CM︵.∴ BM = CM.(2) 连接 OA、OD.∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AB=BC=CD=DA.∴ AB︵=BC︵=CD︵=AD︵.∴ 易 得∠AOB=∠AOD=90°.∵ M 为AD︵ 的中点,∴ AM︵= DM︵.∴ ∠AOM = ∠DOM = 12 ∠AOD = 45°. ∴ ∠BOM=∠AOB+∠AOM=135°. 11. (1) 连接AF.∵ AB=AF,∴ ∠B=∠AFB.∵ 四边 形ABCD 为平行四边形,∴ AD∥BC.∴ ∠GAD=∠B, ∠AFB=∠DAF.∴ ∠GAD=∠DAF.∴ GE︵=EF︵. (2) ∵ BF︵ 的度数为70°,∴ ∠BAF=70°.∵ AB=AF, ∴ ∠B=∠AFB=12 (180°-∠BAF)=55°.∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,∴ AB∥CD.∴ ∠C=180°- ∠B=125°. 12. C 2.2 圆的对称性2 知识梳理 1. 过圆心的任意一条直线 2. 弦 两条弧 典例演练 典例1 如图,过点 O 作OF⊥CD,垂足为 F,连接 OD.∵ OF⊥CD,∴ ∠OFD=∠OFC=90°,CF= DF.∵ AE=2,EB=6,∴ AB=AE+EB=2+6=8. ∴ OA=4.∴ OE=OA-AE=4-2=2.∵ ∠DEB= 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈 􀥈