第07讲 2.4.1圆的标准方程（知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练）-【精讲精练】2025-2026学年高二数学同步学与练（人教A版选择性必修第一册）

第07讲 2.4.1圆的标准方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 知识点02：圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【即学即练1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用中点坐标公式求得圆心的坐标，利用两点间距离公式求得圆半径，由此可确定圆的方程. 【详解】根据题意，以为直径的圆的圆心为中点，半径为， 所以圆的方程为. 故选：B. 知识点03：点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即学即练2】（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆及点在圆外列不等式求参数范围即可. 【详解】圆的方程可化为，则，可得， 又点在圆外，则，可得， 所以. 故选：B 知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 【即学即练3】（24-25高二下·贵州遵义·期中）已知点满足，点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据函数解析式，分析出点的运动轨迹，判断线段最大值时点所在位置，求出长度. 【详解】 因为，变形得，所以轨迹是以为圆心，以为半径的圆的上半部分，如图所示，则当与点重合时线段长度最大， 可知当与点重合时，,在中根据勾股定理可知. 故选：C. 第三部分 题型精讲 题型01求圆的标准方程 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）半径为2的圆的圆心在第四象限，且与直线和均相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意设圆的圆心坐标,再根据直线与圆相切,求出,进而得到圆的标准方程. 【详解】设圆心坐标为，则圆心到直线的距离， 所以， 所以该圆的标准方程为． 故选:C． 【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为 . 【答案】 【分析】根据圆心在直线上设出圆心坐标，再根据圆过坐标原点及圆心与圆上任一点距离即为半径列等式即可，再进行配方即可得到半径最小时的圆心坐标，最后写圆的方程即可. 【详解】由题意圆心在直线上运动，设圆心坐标为. 又圆经过坐标原点，即，整理得. 当半径最小时，，则圆心为. 故圆的方程为. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·上海·阶段练习）圆心是且过点的圆的方程为 . 【答案】 【分析】求出圆的半径，即可得出所求圆的方程. 【详解】解析：由题可得圆的半径为， 又圆心为所以圆的方程为. 故答案为：. 【变式2】（2025·河南·模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 【答案】 【分析】先根据中点坐标公式和斜率公式求出两点的中点和斜率，进而得到垂直平分线的斜率和方程，再联立相关直线方程求出圆心坐标，最后根据圆心和圆上一点求出半径，从而确定圆的方程. 【详解】点和点的中点为， 点和点的斜率为， 则点和点的垂直平分线的斜率为， 可得点和点的垂直平分线的方程为 设圆心为，由题意联立方程： 解得，，半径，圆方程为. 故答案为：. 题型02由圆的方程求圆心或半径 【典例1】（24-25高二下·云南昆明·期中）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】化圆的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径. 【详解】圆： 的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，. 故选：B 【典例2】（2025·浙江台州·二模）已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（   ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 【答案】D 【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：D 【变式1】（2025·河北保定·一模）已知O为坐标原点，圆，则（    ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】求出圆心坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】圆的圆心，所以. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知圆，则其圆心和半径分别为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程的特点确定圆心和半径. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径为. 故选：C. 【变式3】（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将每一个点的坐标代入圆方程求解验证即可. 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误， 对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误， 对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误， 对于D，因为，所以在圆内，所以D正确. 故选：D 题型03点与圆的位置关系 【典例1】（23-24高二上·北京顺义·期中）已知圆的方程为，则点在（    ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】根据该点到圆心的距离与圆的半径进行比较即可. 【详解】圆心为，半径为， 因为， 所以在圆外， 故选：C 【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（　　） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 【答案】A 【分析】求出点到圆心的距离与半径比较大小即可得结论 【详解】圆的圆心，半径， 因为， 所以点在圆外， 故选：A 【变式1】（多选）（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知圆的方程为，则圆上的点有（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】将点的坐标代入方程，检验方程是否成立，即可判断. 【详解】因为圆， 对于A：，所以点不在圆上； 对于B：，所以点在圆上； 对于C：，所以点不在圆上； 对于D：，所以点在圆上； 故选：BD 【变式2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则这个圆的半径是 . 【答案】3 【分析】化圆的方程为标准形式，进而求出圆半径. 【详解】圆的方程化为：， 所以圆的半径为3. 故答案为：3 【变式3】（24-25高二上·青海海南·期中）点在圆的 ．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 【答案】外部 【分析】根据点与圆的位置关系分析判断即可. 【详解】因为，所以点在圆C的外部． 故答案为：外部. 题型04与圆有关的最值问题 【典例1】（2025·安徽·模拟预测）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】先根据垂径定理得出，即可得出点的轨迹为圆，则问题转化为求圆上的动点到定直线的距离的最小值. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 因为点为线段的中点，， 则， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 点在直线上， 可得圆心到直线的距离， 所以的最小值为. 故选：A    【典例2】（23-24高二下·河南周口·阶段练习）已知A为圆上的动点，B为圆上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出圆关于对称的圆，数形结合得到三点共线时，取得最小值，求出答案. 【详解】设关于直线的对称点为， 则圆关于对称的圆的方程为， 要使的值最小， 则（其中为关于直线的对称圆上的点）三点共线， 且该直线过两点，其最小值为． 故答案为： 【变式1】（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用目标函数的几何意义，结合圆上的点与定点距离的最大值求解即可. 【详解】圆的圆心，半径， 目标函数表示圆上的点与定点距离的平方， 而， 所以的最大值为36. 故选：D 【变式2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线，圆，为上一动点，则到的最小距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】求圆心到直线的距离，判断直线与圆的位置关系，再求到的最小距离. 【详解】圆的圆心的坐标为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相离， 所以圆上动点到的最小距离为. 故选：A. 【变式3】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆上一点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】记原点为，易知原点在圆上，结合距离的几何意义与圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】记原点为，易知原点在圆上，则， 故的最大值为圆的直径，故的最大值为. 故答案为：. 题型05与圆有关的对称问题 【典例1】（23-24高二上·云南昆明·期中）已知圆的一条对称轴是直线，则 . 【答案】1 【分析】根据圆的对称轴经过圆心的性质，将圆心代入直线方程，即可求得答案. 【详解】由于圆的一条对称轴是直线， 故圆心在直线上，故， 故答案为：1 【典例2】（24-25高二上·北京·期中）过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程 . 【答案】 【分析】根据圆的对称性先判定直线过圆心，利用两点式计算直线方程即可. 【详解】因为直线将的面积分为相等的两部分， 所以该直线过圆心，由两点式知该直线方程为. 故答案为： 【变式1】（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则 ． 【答案】/ 【分析】直线是圆的对称轴，则直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程即可求解. 【详解】圆的圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在此直线上， 所以，解得. 故答案为： 【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知a，b为正实数，直线将圆平分，则的最小值是 . 【答案】8 【分析】根据圆的性质，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】因为直线过圆心，所以， 因为a、b为正实数， 所以，当且仅当时取等号，即时取等号， 故答案为：8 题型06轨迹方程 【典例1】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式以及圆的方程，可得答案. 【详解】设，，由为的中点，则，即， 由点在圆上，则，即， 化简可得. 故选：D. 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，圆交轴于两点，且点在点的左侧，若直线上存在点，使得，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求出点的轨迹方程为，再由直线与圆的位置关系求解的取值范围. 【详解】由题意得，，设， 则由，得， 即， 因为圆与直线有交点， 则，解得． 故的取值范围为． 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·贵州黔西·期中）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式求出点的轨迹可得. 【详解】设点， 因为，所以， 整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 所以点到直线的最大距离． 故选：B． 【变式2】（2025·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，点，动点满足，记点的轨迹为，直线与交于两点，若，则的值为 . 【答案】或 【分析】设，根据写出动点的轨迹方程，设圆心到直线的距离为，根据弦长公式求得，再由点到直线距离公式即可求解. 【详解】设，则由，得， 化简整理得，圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为， 因为，所以，， 所以，解得或. 故答案为：或. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（2025·北京海淀·二模）圆心为且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到半径，即可得到圆的方程. 【详解】因为圆心为且与轴相切，所以半径， 则圆的方程为. 故选：D 2．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）若圆的圆心为，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据圆的标准方程求出圆心坐标，再利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为圆， 所以圆心的坐标为 则圆心到直线的距离为. 故选：D. 3．（24-25高二上·北京昌平·期末）以，为直径的两个端点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的标准方程待定系数计算即可． 【详解】易知该圆圆心为的中点，半径， 所以该圆方程为：． 故选：D． 4．（24-25高二上·河北保定·期末）过三点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】得到三角形是直角三角形，故只需求出三角形外接圆圆心、半径即可. 【详解】因为，所以三角形是直角三角形， 其外接圆圆心为的中点，半径为， 故所求为. 故答案为：D. 5．（24-25高二下·河南周口·期中）已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆心坐标，得到，再由点在圆上，代入即可求解. 【详解】设圆心坐标为： 由题意可知圆的标准方程为：， 由圆过点， 所以，解得：， 所以圆的标准方程为， 故选：C 6．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点关于轴的对称点为，分析可知，点、、圆心三点共线，结合可求得的值. 【详解】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由对称性可知，点、、圆心三点共线，则，即，解得. 故选：A. 7．（2025·辽宁·模拟预测）已知点，，过点作直线交圆：于，两点，的中点为，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】依题意可得，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，从而求出的最小值. 【详解】因为为的中点，所以，设，因为， 所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故的最小值为. 故选：B. 8．（24-25高二上·广东潮州·期末）已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由中点坐标公式求得圆，两点间距离公式求得半径，即可求解 【详解】由线段的中点坐标公式，求得圆心.直径. 故以为直径的圆的标准方程为. 故选：C 9．（多选）（24-25高三下·全国·开学考试）已知圆经过点和，且圆被轴，轴截得的弦长相等，则圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设圆心为，由题意列出相应方程，求出圆心坐标和半径，即得答案. 【详解】设圆心为，由题意可得，且， 解得或 则，即圆方程为或, 故选：BC 10．（多选）（24-25高二上·河南·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（   ） A．为直角三角形 B．为等腰三角形 C．的外接圆方程为 D．的重心位于直线上 【答案】ABC 【分析】首先通过斜率判定三角形边关系判断三角形类型；接着利用外接圆方程的一般形式，将三个顶点坐标代入求解方程；最后根据重心坐标公式求出重心坐标，判断其是否在直线上. 【详解】因为，所以，则是以为直角顶点的直角三角形，故A正确； 因为两点间的距离公式计算得到，所以是等腰三角形，故B正确； 由知的外接圆是以线段为直径的圆，其圆心为，半径，所以外接圆方程为，故C正确； 的重心坐标为，即，显然不在直线上，故D错误． 故选：ABC． 11．（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是 ． 【答案】 【分析】设圆的方程为，由条件列方程求可解. 【详解】因圆心在直线上，设圆心坐标为， 圆标准方程为：， 则，解得：， 所以圆C的标准方程为． 故答案为： 12．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知P为圆上的动点，点，，若为常数，则 . 【答案】 【分析】利用动点坐标来表示距离之比，通过距离之比为常数，可得对应系数成比例，从而可求解. 【详解】设动点，则有， 由， 由于为常数,所以， 解得或，因为，所以， 故答案为：. 13．（24-25高二上·河南安阳·期中）（1）求圆心在轴上，并且过原点和的圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解； （2）求出已知圆的圆心关于对称点的坐标，进而可求圆的方程. 【详解】（1）设圆方程：， 由已知，解得， 圆的方程为. （2）设圆的圆心关于直线对称的点为， 则，解得， 即所求圆的圆心为， 故所求圆的方程为. 14．（23-24高二上·河北承德·阶段练习）已知点，，直线的方程为：． (1)求直线关于点对称的直线的方程； (2)求经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线上任意一点关于点的对称点为，得到，代入即可求解； （2）设圆心，根据，求得，得到圆心和半径，即可求得圆的标准方程. 【详解】（1）解：设直线上任意一点关于点的对称点为，则， 因为，所以， 整理得，即直线的方程． （2）解：设圆心， 由，则，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为． B能力提升 1．（2025·江西鹰潭·一模）已知直线：和：相交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得两直线位置关系以及其所过定点，根据圆的方程，可得答案. 【详解】由，则， 由，则直线过定点， 由，则直线过定点， 易知动点的轨迹为为直径的圆，圆心，半径， 由题意易知直线的斜率存在，则交点不能是， 则动点的轨迹方程为. 故选：C. 2．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知定点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据中点关系，即可将代入圆的方程求解. 【详解】设，则，由于在上运动， 故，化简得， 故选：D. 3．（24-25高二上·全国·期末）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为 . 【答案】6 【分析】由点的坐标特点可得点在直线：上运动，则求点关于直线的对称点，则由求解即可. 【详解】设，则， 所以点在直线：上， 又圆的圆心，半径， 设圆心关于直线对称点， 则，解得， 所以， 所以圆：关于直线对称圆：， 如图： 连接交直线于点，则， 连接交圆于，则， 所以，故的最小值为6. 故答案为：6. 4．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． 【答案】(1) (2)最小值是，最大值是 【分析】（1）设，由，整理可得； （2）由圆心，半径是2，先判断即在圆外，故的最小值为，最大值为. 【详解】（1） 设动点，则， 即，整理得， 故动点的轨迹的方程为，该轨迹是以为圆心，以为半径的圆. （2） 由（1）可知：，半径是2，圆心． 因，故在圆外， 故的最小值是，最大值是. C综合素养 1．（24-25高二上·云南保山·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．9 【答案】A 【分析】根据两点距离公式计算可得根据圆的方程与两点距离公式，根据三角形三边关系求最值即可. 【详解】化简整理得 ∴点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆； 而表示的是圆上的动点与圆外一定点间的距离， ∴的最小值即为的最小值， 而，∴的最小值为. 故选：A． 2．（24-25高二上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，若点为圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设为圆上任意一点，利用向量的坐标运算得，进而利用的几何意义可求得的最大值. 【详解】设为圆上任意一点， 因为，，所以，， 所以，所以， 表示点到点的距离， 又的圆心到点的距离为， 又圆的半径为， 所以到点的距离的最大值为， 所以的最大值为. 故选：D. 3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知圆：上两动点，满足为等腰直角三角形，为坐标原点，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可设，，利用向量的坐标运算求得，再利用余弦函数的性质求解最值即可. 【详解】由题可知圆：上两动点，满足为等腰直角三角形， 不妨设，即， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为． 故选：C． 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知实数满足，则的最大值和最小值之和为 . 【答案】4 【分析】应用三角换元，令，，且，结合三角恒等变换有，即可求. 【详解】由题设，令，，且， 所以，且， 所以的最大、最小值分别为、，故它们的和为4. 故答案为：4. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与圆交于两点，则面积最大时的一个值为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】因为是圆上的点，所以是等腰三角形，面积，当且仅当时面积最大，此时圆心到直线的距离为，由点到直线的距离公式可得，此外，也可以从平行线的角度考虑，求出到直线的距离为且与单位圆有交点的平行线，进而求得，从而得到的一个值. 【详解】法一： 由题知的圆心坐标为，半径为．易知是等腰三角形， 所以的面积，则当且仅当时，面积最大， 此时圆心到直线的距离为，即， 即，得，任选一个值填写即可，如． 法二：圆心在单位圆上． 当面积最大时，圆心到直线的距离等于， 不妨设到直线的距离为的直线的方程为，则圆心为该直线与单位圆的交点． 由平行直线之间的距离公式得，解得或（舍去）， 所以圆心所在直线为，所以，即符合题意． 故答案为：（答案不唯一）. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 2.4.1圆的标准方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 知识点02：圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【即学即练1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知点，，则以为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 知识点03：点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即学即练2】（24-25高二上·福建福州·期中）已知点在圆外，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D．∪ 知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 【即学即练3】（24-25高二下·贵州遵义·期中）已知点满足，点，则的最大值为（   ） A．3 B． C． D．6 第三部分 题型精讲 题型01求圆的标准方程 【典例1】（2026高三·全国·专题练习）半径为2的圆的圆心在第四象限，且与直线和均相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）若圆经过坐标原点，且圆心在直线上运动，当半径最小时，圆的方程为 . 【变式1】（24-25高二下·上海·阶段练习）圆心是且过点的圆的方程为 . 【变式2】（2025·河南·模拟预测）已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，，则圆的方程是 . 题型02由圆的方程求圆心或半径 【典例1】（24-25高二下·云南昆明·期中）已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【典例2】（2025·浙江台州·二模）已知圆M：，则圆心坐标和半径分别为（   ） A．，4 B．，4 C．，2 D．，2 【变式1】（2025·河北保定·一模）已知O为坐标原点，圆，则（    ） A．2 B．3 C． D．5 【变式2】（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知圆，则其圆心和半径分别为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 题型03点与圆的位置关系 【典例1】（23-24高二上·北京顺义·期中）已知圆的方程为，则点在（    ） A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．不确定 【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（　　） A．在圆外 B．在圆上 C．在圆内 D．与a的值有关 【变式1】（多选）（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知圆的方程为，则圆上的点有（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则这个圆的半径是 . 【变式3】（24-25高二上·青海海南·期中）点在圆的 ．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 题型04与圆有关的最值问题 【典例1】（2025·安徽·模拟预测）已知点，为圆上两点，，点为线段的中点，点为直线上的动点，则的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D． 【典例2】（23-24高二下·河南周口·阶段练习）已知A为圆上的动点，B为圆上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为 ． 【变式1】（24-25高二上·重庆长寿·期末）已知点是圆上任意一点，则的最大值为（   ） A．5 B．6 C．25 D．36 【变式2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知直线，圆，为上一动点，则到的最小距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知圆上一点，则的最大值为 . 题型05与圆有关的对称问题 【典例1】（23-24高二上·云南昆明·期中）已知圆的一条对称轴是直线，则 . 【典例2】（24-25高二上·北京·期中）过点的直线将的面积分为相等的两部分，求直线方程 . 【变式1】（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）若直线是圆的一条对称轴，则 ． 【变式2】（2024·湖南长沙·模拟预测）已知a，b为正实数，直线将圆平分，则的最小值是 . 题型06轨迹方程 【典例1】（2025·江苏连云港·模拟预测）已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2026高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，圆交轴于两点，且点在点的左侧，若直线上存在点，使得，则的取值范围为 ． 【变式1】（24-25高二下·贵州黔西·期中）在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（    ） A．2 B． C． D． 【变式2】（2025·山东枣庄·二模）在平面直角坐标系中，点，动点满足，记点的轨迹为，直线与交于两点，若，则的值为 . 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（2025·北京海淀·二模）圆心为且与轴相切的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）若圆的圆心为，则点到直线的距离为（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25高二上·北京昌平·期末）以，为直径的两个端点的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·河北保定·期末）过三点的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·河南周口·期中）已知圆心在轴上的圆过点且与轴相切，则该圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数（   ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁·模拟预测）已知点，，过点作直线交圆：于，两点，的中点为，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 8．（24-25高二上·广东潮州·期末）已知点和点，则以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高三下·全国·开学考试）已知圆经过点和，且圆被轴，轴截得的弦长相等，则圆的方程可以是（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（24-25高二上·河南·期末）在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，则（   ） A．为直角三角形 B．为等腰三角形 C．的外接圆方程为 D．的重心位于直线上 11．（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知圆C的圆心在直线上，且圆C经过点，，则圆C的标准方程是 ． 12．（24-25高二下·河南濮阳·期末）已知P为圆上的动点，点，，若为常数，则 . 13．（24-25高二上·河南安阳·期中）（1）求圆心在轴上，并且过原点和的圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 14．（23-24高二上·河北承德·阶段练习）已知点，，直线的方程为：． (1)求直线关于点对称的直线的方程； (2)求经过两点，且圆心在直线上的圆的标准方程． B能力提升 1．（2025·江西鹰潭·一模）已知直线：和：相交于点，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽六安·期末）已知定点，点A在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·期末）已知点是坐标原点，点是圆上的动点，点，则当实数变化时，的最小值为 . 4．（24-25高二上·江西上饶·期末）已知，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)求的最小值和最大值． C综合素养 1．（24-25高二上·云南保山·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（    ） A． B．6 C． D．9 2．（24-25高二上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，已知点，，若点为圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知圆：上两动点，满足为等腰直角三角形，为坐标原点，则最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知实数满足，则的最大值和最小值之和为 . 5．（2025高三·全国·专题练习）已知直线与圆交于两点，则面积最大时的一个值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $