第06讲 2.3直线的交点坐标与距离公式（知识清单+16类热点题型讲练+分层强化训练）-【精讲精练】2025-2026学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第06讲 2.3直线的交点坐标与距离公式 （2.3.1两条直线的交点坐标+2.3.2两点间的距离公式 +2.3.3点到直线的距离公式+2.3.4两条平行线间的距离公式） 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 【即学即练1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）直线：与直线：的交点坐标为 . 【答案】 【分析】联立方程即可求解. 【详解】联立，解得，故交点为， 故答案为： 知识点02：两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 【即学即练2】（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式计算即得. 【详解】点和点之间的距离为. 故选：D. 知识点03：点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 【即学即练3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）点到直线的距离为 【答案】 【分析】根据点到直线距离公式计算即可. 【详解】点到直线的距离为. 故答案为： 知识点04：两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 【即学即练4】（24-25高二下·安徽芜湖·期末）直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 【答案】B 【分析】利用平行线间距离公式计算得解. 【详解】直线方程为，直线方程为， 所以所求距离为. 故选：B 知识点05：对称问题 1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式) 求点关于点的对称点 由： 2、点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ② 整理得： 【即学即练5】（24-25高二上·福建福州·期中）点关于直线的对称点坐标是 . 【答案】 【分析】利用中点关系和垂直关系可求对称点的坐标. 【详解】设所求对称点坐标为，则， 故，故对称点的坐标为， 故答案为： 3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 【即学即练6】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 4、直线关于直线对称问题 4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，两点求出直线 4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 【即学即练7】（2024高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【答案】. 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 【即学即练8】（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 【答案】 【分析】联立方程组求出两直线交点坐标，在直线任取一点，设出其关于对称点坐标，由垂直斜率的关系和中点坐标建立方程组，求得对称点坐标，由两点坐标求得对称直线方程. 【详解】联立，得，则两直线的交点为， 在直线上取点，设其关于的对称点为， 则，得，则. 故直线关于直线的对称直线为， 又，所以直线，即. 故答案为：. 第三部分 题型精讲 题型01求直线交点坐标 【典例1】（24-25高二下·河南·阶段练习）已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，求出边所在的直线方程，再联立直线，组成的方程组，方程组的解即为顶点的坐标. 【详解】因为，边所在直线的方程为， 设所在直线方程为，因为过， 所以，所以所在直线方程为， 由解得，即顶点的坐标为. 故选：A. 【典例2】（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设的坐标为，即可得到的中点坐标，再根据中点在中线上，点在角平分线上得到方程组，解得即可. 【详解】设的坐标为，则的中点坐标为， 则，解得，则点的坐标为. 故答案为： 【变式1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）过原点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线与的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】利用二倍角公式求出的斜率，可得其方程，然后联立的直线方程求解可得. 【详解】设直线的倾斜角为，则， 则直线的斜率， 又直线过原点，所以的方程为， 联立，解得，即直线与的交点坐标为. 故答案为： 【变式2】（24-25高二上·湖南长沙·期中）直线与直线的交点坐标为 【答案】 【分析】联立两条直线方程，即可求解. 【详解】联立，得， 所以交点坐标为. 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·福建·期中）已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为. (1)求边所在的直线方程； (2)求顶点的坐标. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用垂直关系求出直线的斜率，进而求出其方程. （2）求出直线的交点坐标即可. 【详解】（1）由边上的高所在直线的斜率为1，得直线的斜率为， 又直线过，所以直线的方程为，即. （2）由直线的方程为，而顶点为直线与直线的交点， 由，解得， 所以点. 题型02由方程组解的个数判断直线的位置关系 【典例1】（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【分析】先得到，从而得到方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；再假设是方程组的一组解，得到，在直线，与两点在上矛盾，C错误. 【详解】直线的斜率存在， ∴， 由题意， 则， 故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线， ∴不可能是方程组的一组解，C错误. 故选：B. 【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)平行 (3)重合 【分析】（1）联立直线方程得到方程组，求出方程组的解，即可得到两直线的交点坐标； （2）联立直线方程得到方程组，判断方程组无解，即可得到两直线平行； （3）联立直线方程得到方程组，得到方程组有无数解，即可判断. 【详解】（1）由，解得， 因此直线和相交，交点坐标为． （2）因为，， 由， 得，矛盾， 由此可知方程组无解，因此直线与平行． （3）由， 得， 说明方程②是方程①的倍，方程①的解都是方程②的解． 因此直线与重合． 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)直线； (2)直线． 【答案】(1)相交，交点是 (2)答案见解析 【分析】（1）解方程组，可得交点坐标；根据方程组的解的个数判断位置关系； （2）分类讨论，解方程组可得答案. 【详解】（1）联立，解得， 所以两直线相交，交点坐标为. （2）当时，，， 联立，方程组有无数组解，故两直线重合， 当时，，， 联立，方程组无解，故两直线平行， 当，联立，解得， 所以两直线相交，交点坐标为. 综上所述：当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交，交点坐标为. 【变式2】（2024高二·江苏·专题练习）判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标： （1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； （2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 【答案】（1）相交，(－1，－1)；（2）平行. 【分析】两个直线方程列方程组求解，方程组有解即得交点坐标，方程组无解则两直线平行（有无数解，则两直线重合）． 【详解】（1）解方程组得所以直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1). （2）解方程组①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解.所以直线l1与l2无公共点，即l1//l2. 【变式3】（24-25高二·全国·阶段练习）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点. （1）l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; （2）l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; （3）l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 【答案】答案见解析. 【分析】直接将两直线方程联立方程组，根据方程组解的个数判断两直线是否相交. 【详解】（1）方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，-1). （2）方程组有无数个解， 这表明直线l1和l2重合. （3）方程组无解， 这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 【点睛】本题考查了直线方程的解的个数与直线的位置关系，考查了运算求解能力，属于基础题目. 题型03由直线交点的个数求参数 【典例1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据两直线相交的条件即可求解. 【详解】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 【典例2】（2024·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 【答案】/ 【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件 【详解】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则 故答案为： 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知两条直线l1：（3＋m）x＋4y＋（3m－19）＝0，l2：2x＋（1＋m）y－8＝0，当实数m分别为何值时，l1与l2： (1)相交？ (2)平行？ (3)垂直？ 【答案】(1)m≠1且m≠－5 (2)－5 (3) 【详解】解：（1） 由（3＋m）（1＋m）≠4×2，得m≠1且m≠－5. （2） 由（3＋m）（1＋m）＝4×2，得m＝1（舍）或m＝－5. （3） 由2（3＋m）＋4（1＋m）＝0，得m＝－. 【变式2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 【答案】(1)且 (2) (3) 【分析】（1）根据两直线相交可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围； （2）根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （3）根据两直线重合可得出关于实数的方程，即可解得实数的值. 【详解】（1）解：已知，直线， 若与相交，则，即，解得且. （2）解：已知，直线， 若与平行，则，即，解得. （3）解：已知，直线， 若与重合，则，即，解得. 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 【答案】或 【分析】首先确定有一个交点，则若三条直线有且仅有两个交点，需或，由此可构造方程求得结果. 【详解】由得：，即有一个交点，或； 即或，解得：或. 题型04由直线的交点坐标求参数 【典例1】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】联立直线方程求出交点坐标，由题意可列出不等式组，即可求得答案. 【详解】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是， 故选：A 【典例2】（24-25高二上·天津南开·期中）若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是 . 【答案】 【分析】先求出直线在轴、轴的交点，再结合直线的斜率公式与图形，即可求解． 【详解】设直线在轴的交点为，在轴的交点为， 则,，， ，，， 过点的直线与直线的交点位于第一象限， 直线斜率的取值范围是． 故答案为：． 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，进而得是直线上的点，将点代入直线即可得解. 【详解】联立，解得， 所以是直线上的点， 代入直线得，解得. 故选：B. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【答案】B 【分析】根据两直线垂直可求出的值，将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，再将公共点的坐标代入直线的方程，可得出的值，由此可得出的值. 【详解】已知直线的斜率为，直线的斜率为． 又两直线垂直，则，解得． ，即， 将交点代入直线的方程中，得． 将交点代入直线的方程中，得． 所以，． 故选：B． 【变式3】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知三条直线，和. (1)若，求实数的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由两条直线平行的条件求解即可； （2）先由两条确定的直线求出交点坐标，然后带入含参直线求解即可. 【详解】（1）因为，且， 所以.解得. 经检验，时，. 所以. （2）由，解得即与的交点为， 因为三条直线相交于一点，所以点在上， 所以.解得. 题型05三线围成（不能围成）三角形问题 【典例1】（多选）（23-24高二上·河北张家口·期中）若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知可得出不能构成三角形的条件，分个讨论即可得到. 【详解】因为直线，，不能构成三角形， 所以存在，，过与的交点三种情况. 显然，.则直线的斜率分别为，，. 当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得； 当过与的交点时.先联立，解得，则与的交点为， 代入，得，解得． 综上：或或． 故选：ABD． 【典例2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ． 【答案】或1 【分析】由三条直线两两垂直，即两直线的斜率之积为，求解即可. 【详解】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点， 若与垂直，则； 若与垂直，则．所以或1． 故答案为：或1 【变式1】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【详解】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C 【变式2】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分线线平行和三线共点讨论即可. 【详解】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 【变式3】（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 【答案】 【分析】联立方程组解得交点坐标，列出直线不能围成三角形的条件，分别解出即可. 【详解】由解得，所以的交点坐标为， 过定点， 若直线不能围成三角形，只需经过点，或与平行，或与平行， 当经过点时，，解得； 当与平行时，，解得； 当与平行时，，解得. 故的值为. 故答案为：（只需写出其中一个即可）. 题型06直线交点系方程及其应用 【典例1】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【分析】设交点系方程，结合直线过求方程即可. 【详解】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 故答案为： 【典例2】（23-24高二·全国·假期作业）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 【变式1】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线相交设所求直线为，结合直线过原点求参数，即可得方程. 【详解】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为： 【变式2】（23-24高二·全国·课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】先设经过交点的直线系，应用斜率求出参数即可得直线方程. 【详解】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①． 又直线l的斜率为，则，解得． 将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程． 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 【答案】 【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 题型07求两点间的距离公式 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【答案】A 【分析】由中点坐标公式确定，坐标，再由两点间距离公式即可求解. 【详解】设，则， 即， 所以. 故选：A 【典例2】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）过点的直线的斜率为 ，则（    ） A．10 B． C． D．180 【答案】B 【分析】由斜率公式求得，再根据两点之间距离公式计算即可． 【详解】由题意得，，解得， 所以，所以， 故选：B 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知三点，且，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点间的距离公式可得出关于的等式，由此化简可得解. 【详解】由题意可知， 即． 故选：A. 【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【分析】根据两点距离公式，结合直线方程即可求解. 【详解】， 表示平面上点与点，的距离和， 连接，与轴交于，此时直线方程为， 令，则 的最小值为，此时 故选：C． 【变式3】（23-24高二下·全国·课后作业）在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则顶点C的坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用中点坐标公式，即可求点C的坐标，得到答案. 【详解】设，则AC边的中点为，BC边的中点为， 因为点M在y轴上，所以，解得. 因为点N在x轴上，所以，解得，即. 故答案为:. 题型08距离公式的应用 【典例1】（23-24高二上·重庆·期末）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，分析的几何意义，结合两点间的距离公式即可求解. 【详解】由题意知， ， 设， 则的几何意义为的值， 如图，作点关于x轴的对称点，连接， 与x轴的交点即为所求点P，此时取得最小值，为. 而， 即的最小值为， 所以的最小值为. 故选：D 【典例2】（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【详解】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的最小值为 ． 【答案】5 【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案. 【详解】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 【变式2】（2023高一上·山东滨州·竞赛）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 . 【答案】 【分析】函数表示点到点和的距离之差，结合图形即可得解. 【详解】因为， 所以它表示点到点和的距离之差，如图所示： 因为， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知，，则S的最小值是 . 【答案】2 【分析】表示点到点与点的距离之和，利用数形结合法求解. 【详解】表示点到点与点的距离之和， 即，如图所示： 由图象知：， 当点在线段上时，等号成立. 所以取得最小值为2. 故答案为：2. 题型09求点到直线的距离 【典例1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直线的点斜式方程求出直线的方程，再代入点到直线距离公式即可. 【详解】易知直线的斜率为，又过点， 所以其方程为，即， 可得点到直线l的距离为. 故选：C 【典例2】（24-25高二下·上海宝山·期中）点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】由点到线的距离公式即可求解. 【详解】点到直线的距离为， 故答案为： 【变式1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直线点法式得直线方程，结合点到直线的距离公式即可求解. 【详解】根据题意，直线的法向量为， 所以直线的方程为， 即， 则原点到的距离. 所以选：C. 【变式2】（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知点，直线，则点到直线的距离为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】由点到直线距离公式计算 【详解】由已知所求距离为， 故选：B． 【变式3】（24-25高二上·重庆长寿·期末）点到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】由点到线的距离公式求解即可； 【详解】由得到， 所以点到直线的距离为， 故答案为： 题型10已知点到直线的距离求参数 【典例1】（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【答案】C 【分析】分在直线的同侧和分别在直线的两侧两种情况分析即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得； 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点， 则，解得． 故选：C 【典例2】（24-25高二上·浙江丽水·期中）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为2，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出交点坐标，由平行设的方程为，代入交点坐标求解可得． （2）分类讨论，判断斜率不存在的直线是否满足题意，斜率存在时设出直线方程，由点到直线距离公式求解． 【详解】（1）由，解得， 可得两直线和的交点为, 当直线与直线平行，设的方程为， 把点代入求得， 可得的方程为． （2）当的斜率不存在时，直线的方程为，满足点到直线的距离为2． 当的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则点到直线的距离为，求得， 故的方程为，即． 综上，直线的方程为或． 【变式1】（24-25高二上·陕西汉中·期中）在平面内作直线，使得点、点到直线的距离分别为1和2，则这样的直线有（   ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】当斜率存在时，设直线方程，根据点到直线的距离公式列方程组求解可得. 【详解】易知，当直线的斜率不存在时不满足题意； 过点作垂直于直线，垂直分别为， 则，所以，所以， 又，所以直线过原点， 设直线方程为，即， 由题知，，解得或或， 所以满足条件的直线有4条. 故选：A 【变式2】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．3 B． C．3或-6 D．3或 【答案】D 【分析】利用点到直线距离公式得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，解得或3. 故选：D 【变式3】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知直线及点. (1)若与垂直的直线过点，求与的值； (2)若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由垂直关系及点在线上列出等式求解即可； （2）由点到线的距离公式列出等式，求解即可. 【详解】（1）因为直线过点， 所以，解得， 因为与垂直， 所以. （2）因为点与点到直线的距离相等， 由点到直线的距离公式得. 解得， 当时，的斜截式方程为， 当时，的斜截式方程为. 题型11求点关于直线的对称点 【典例1】（24-25高二下·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点关于直线的对称点为，列出方程组，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 【典例2】（24-25高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用待定系数法结合直线对称的几何关系求解即可. 【详解】设对称点的坐标为则解得： 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据斜率关系以及中点关系，即可列方程求解. 【详解】设关于直线的对称点坐标为， 则，解得，故对称点坐标为， 故选：C 【变式2】（24-25高二上·福建·期中）点关于直线对称的点的坐标为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设对称点，根据线段中点在直线上，所在直线与直线垂直，即斜率相乘为，代入坐标即可求解. 【详解】设的对称点坐标为， 则对称点与已知点连线的中点为， 由题意可得，解得． 所以对称点坐标为． 答案：B 【变式3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）点关于直线对称的点的坐标为 ． 【答案】 【分析】若两点关于直线对称，其中点在已知直线上且两点所在的直线与已知直线垂直，列方程求点坐标. 【详解】若对称点为，则，可得，即对称点为. 故答案为： 题型12求到两点距离相等的直线方程 【典例1】（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】根据斜率公式以及中点坐标即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得． 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得． 故选：C 【典例2】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）点，到直线的距离相等，则 . 【答案】或 【分析】根据条件，利用点到直线的距离公式建立方程，即可求解. 【详解】由题有， 整理得到，解得或， 故答案为：或. 【变式1】（23-24高二上·湖南·期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】分别研究位于直线同侧以及位于直线两侧时的情况，即可得出答案. 【详解】当位于直线同侧时，只有时，且两平行线之间的距离为时，满足条件，这样的直线有2条； 又， 所以位于直线两侧时，只有当直线恰为直线的中垂线时，满足条件，此时的直线有1条. 综上所述，满足条件的直线共有3条. 故选：C． 【变式2】（多选）（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知点与到直线的距离相等，则的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据点到直线的距离相等，可得过的中点，或的斜率与的斜率相等，进而两种情况进行判断. 【详解】由题知，过的中点，或的斜率与的斜率相等， 又的中点为， 则过点的直线为AD选项； 又的斜率为，则B选项符合条件. 故选：ABD 【变式3】（多选）（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】当直线的斜率不存在时不满足题意，当直线的斜率存在时，设出直线方程，利用距离相等列方程求解即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，显然不满足题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 由已知得， 所以或， 所以直线的方程为或. 故选：AC. 题型13直线关于直线对称 【典例1】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，设所求直线上任一点M（x，y）且M关于直线的对称点，，利用轴对称的性质列出方程组解出用、表示、的式子，再由点在直线上代入，化简即得所求对称直线方程； 【详解】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，， 则，解出 点在直线上， 将式代入，得， 化简得，即为关于对称的直线方程． 故选：C 【典例2】（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】利用数形结合计算l的斜率结合直线与的交点计算即可. 【详解】    易知与纵轴交于，交横轴于点， 联立直线与方程，得两直线交点为， 如上图所示网格中构造直角三角形，易知， 即， 又， 所以， 即为两直线与夹角的平分线， 所以直线符合题意，易知其方程为； 当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为. 故答案为：或. 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于直线对称的直线方程是 . 【答案】 【分析】在直线上任取一点，求该点关于的对称点的坐标，并代入直线即可得出所求方程. 【详解】设所求直线上任一点的坐标为，该点关于的对称点的坐标为， 则,得对称点的坐标为， 又点在直线上， 所以，即. 所以所求直线方程为. 故答案为：. 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是 . 【答案】 【分析】设点，根据中点公式和斜率关系可得，代入即可. 【详解】设所求直线上任意一点， 点P关于的对称点为, 如图所示： 则有，得 ∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上， ∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0， 即x－2y＋3＝0. 故答案为： 【变式3】（23-24高二·江苏·课后作业）已知直线，求： (1)直线l关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线l对称的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设直线关于的对称直线上任意一点为，求得点关于点的对称点，代入直线，即可求解； （2）由，两直线的交点坐标为，再在直线上取一点，求得关于直线的对称点，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】（1）解：设直线关于的对称直线上任意一点为， 则点关于点的对称为， 则，解得，即, 将点代入直线，可得， 整理得，即对称直线的方程为. （2）解：由，解得， 即直线与的交点坐标为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 又由，所以直线的方程为， 整理得， 即直线关于直线l对称的直线的方程为. 题型14平行线间的距离问题 【典例1】（24-25高二下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据直线平行得到方程，求出，利用两平行线距离公式得到答案. 【详解】直线与直线平行， 则，解得， 直线，即， 与的距离为. 故选：B 【典例2】（24-25高三下·上海·阶段练习）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为 ． 【答案】 【分析】先用直线平行解出，再利用平行线间的距离公式求解. 【详解】直线与直线平行， 则，解得， 故直线，直线， 这两条直线间的距离为：． 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·湖南·阶段练习）直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据平行直线间的距离公式计算即可. 【详解】可变为，则两条平行直线间的距离为． 故选：C. 【变式2】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两条平行直线间的距离公式即可. 【详解】可变为， 则两条平行直线间的距离为. 故选：B 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知平行直线，则与的距离是 . 【答案】/ 【分析】利用两平行线间的距离公式计算即可. 【详解】由题意，根据两平行线间的距离公式可得. 故答案为：. 题型15直线关于点对称的直线 【典例1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【答案】B 【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。 【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点， 则关于对称点为， 又因为在上， 所以，即。 故选：B 【典例2】（23-24高二上·山东·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 ． 【答案】 【分析】在直线上取点、，求出这两点关于点的对称点的坐标，并求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程中的换为，换为，即可得到关于原点对称的直线方程. 【详解】解：对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）求直线关于点对称的直线l的方程． 【答案】． 【分析】解法一设，得到对称点坐标，再代入直线即可得到答案；解法二在直线上取两特殊点，得到其关于的对称点，则得到直线l方程；解法三根据对称特点设l的方程为，代入一个具体的对称点坐标即可得到答案. 【详解】解法一:设直线l上任意一点M的坐标为， 则此点关于点的对称点为， 且在直线上， 所以， 即． 所以所求直线l的方程为． 解法二：在直线上取两点， 则点关于点的对称点为，即 点关于点的对称点为， ，所以直线的方程为 化简得， 即所求直线l的方程为． 解法三：由平面几何知识易知所求直线l与直线平行， 则可设l的方程为． 在直线上取一点， 则点关于点的对称点在直线上， 所以，所以， 所以所求直线l的方程为． 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）已知点的坐标为，直线的方程为，求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可； （2）根据相关点法分析运算即可. 【详解】（1）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. （2）在直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 题型16将军饮马问题 【典例1】（24-25高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点为，则最短路程为.根据点关于 直线的对称问题，列方程组，可求得，再应用两点间的距离公式求即可. 【详解】如图，作点关于直线的对称点为，    则，解得， 所以. 则“将军饮马”的最短总路程为. 故选：C. 【典例2】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【分析】求出点关于直线对称点的坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：    【变式1】（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】先求出点关于直线的对称点为，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， ，又点 故“将军饮马”的最短总路程为． 故选：A．      【变式2】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】根据两点间线段最短，结合中点坐标公式、互相垂直直线斜率的性质进行求解即可. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 故选：C 【变式3】（23-24高二上·贵州安顺·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 【答案】 【分析】根据点关于直线的对称，进而根据两点距离公式即可求解. 【详解】过作关于直线对称的点， 设，所以，解得， 所以，故最短距离为. 故答案为：    第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（24-25高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行可得参数，进而确定平行线间距离. 【详解】有已知直线与直线平行， 则，即， 此时直线与直线，即满足平行， 则两直线间距离， 故选：D. 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】根据点到直线的距离公式列出等式，由此能求出． 【解答】两点和到直线距离相等， ，解得，或． 故选：B． 3．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知点，点在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】的最小即点到直线的距离，代入公式即可. 【详解】由题意，的最小值是点到直线的距离， 即. 故选：A. 4．（24-25高二上·吉林·期末）平行直线与之间的距离为，则，的可能值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将直线化为，再由距离公式得到方程，从而得到，结合选项判断即可. 【详解】将直线化为，显然， 依题意可得，即，只有满足题意. 故选：A. 5．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式理解所求式，将问题转化成点到直线上的点的距离最小问题，即当时，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】可理解为动点到定点的距离， 而动点在直线上， 故当且仅当时，取得最小值， 即，故的最小值是. 故选：D. 6．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知点在直线上的运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】表示点与距离的平方，求出到直线的距离，即可得到答案. 【详解】表示点与距离的平方， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为． 故选：C 7．（24-25高二上·山东济南·阶段练习），函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据距离公式，利用的几何意义求最小值. 【详解】表示的几何意义为平面内的点到定点的距离， 表示的几何意义为平面内的点到定直线的距离， 所以表示的几何意义是动点到定点和到定直线的距离和， 如图，过点作直线的垂线，垂足为点，当点在线段时，最小，最小值为. 故选：C 8．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，则为直线与直线的交点时，满足条件，进而可求得答案. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则中点在直线上，即①， 直线与直线垂直，即②， 解得，即点关于直线的对称点为， 又，所以， 所以直线的方程为，即， 由，解得，， 所以当取得最小值时，点的坐标为． 故选：B． 9．（多选）（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）对于直线，．以下说法错误的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 【答案】AC 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为，， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，故C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时， 到直线的距离最大，最大值为， 故D正确， 故选：AC. 10．（多选）（24-25高二上·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的有（   ） A．直线过定点 B．点关于直线的对称点为 C．两条平行直线与之间的距离为 D．当实数时，直线和互相垂直 【答案】BCD 【分析】对于A，由直线过定点，按参数整理，令参数的系数为0求解即可；对于B，利用点关于直线的对称的性质求解；对于C，利用平行线之间的距离公式求解；对于D，利用直线垂直的系数关系判定即可. 【详解】对于A，，，故直线过定点，故A错误； 对于B，设点关于直线的对称点为,则 即点关于直线的对称点为，B正确； 对于C， ，，故C正确； 对于D， 时，，故直线和互相垂直，故D正确； 故选：BCD. 11．（24-25高二下·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则 . 【答案】 【分析】根据给定的定义，利用平行线间距离公式求解即得. 【详解】直线的方程化为：，显然， 所以. 故答案为： 12．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 【答案】 【知识点】求点关于直线的对称点后可求线段差的最小值. 【详解】如图，设关于直线的对称点为，则， 解得，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 13．（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用垂直的性质可设斜截式直线方程，利用待定系数法求解直线即可； （2）利用截距为0和不为0分类讨论，再结合过原点直线方程和截距式直线方程求解即可. 【详解】（1）由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； （2）联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，假设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，假设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为，即 综上所述：所求直线方程为或． 14．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. 【答案】(1)且. (2) 【分析】（1）根据给定的直线方程，利用两直线相交的充要条件列式求解. （2）由两直线平行列式求出，再利用平行线间距离公式求解. 【详解】（1）由直线与直线相交， 得，即，解得且， 所以实数的取值为且. （2）由直线与平行，得，即，解得， 此时，即，直线， 所以直线与间距离. B能力提升 1．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立直角坐标系，设点P的坐标，可得P关于直线BC的对称点的坐标， 和P关于y轴的对称点的坐标，由四点共线可得直线的方程， 由于过三角形的重心，代入可得关于a的方程，解得P的坐标， 即可求得PB的长和直线方程，进而求得面积. 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 【点睛】关键点点睛：根据题干设出点P 的坐标，根据对称性和光的反射原理可知 四点共线，进而求出点的坐标，和直线的方程，进而求出点Q的坐标，即可求得结果. 2．（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求两直线的交点，再在直线取点，求点关于直线的对称点，依据两点，，可得所求直线的方程. 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 3．（24-25高二上·山西大同·期中）已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据题意，结合两平行直线距离公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得，是直线上的点， 是直线上的点，则两直线平行， 的最小值是平行直线之间的距离的平方， 可得最小值为. 故选：D 4．（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线l过点，分别与直线：，：交于A，B两点，圆C：过A，B两点，则△ABC面积的最大值为 ；当△ABC面积取最大值时，直线l的方程为 【答案】 1 或 【分析】由题意作图，根据三角形的面积计算，结合正弦函数的性质，可得面积最值，根据等腰直角三角形的性质，可得的值，分直线的斜率存在与不存在两种情况，联立方程求交点，由两点距离公式，建立方程，可得答案. 【详解】 由，则其圆心，半径，设， 易知，则当时，取得最大值为， 在等腰中， 当直线的斜率不存在时，直线， 代入直线，解得，则； 代入直线，解得，则； 所以，显然此时取得最大值为. 当直线的斜率存在时，可设直线， 联立可得，解得，，则； 联立可得，解得，，则； ， 由，则，解得，即直线， 所以取得最大值为，则直线或. 故答案为：；或. 5．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 . 【答案】 . 【分析】由图，求出B关于l的对称点为的坐标，当A，，Q三点共线时，可求的最大值及相应Q坐标. 【详解】如图，设B关于l的对称点为，因， 则，即. 连接，则所在的直线方程为. 由得与l的交点为，记此点为Q，又在直线任取一点M， 连接BM，，由对称性，，则 当A，，M三点共线时，即M与Q重合时， 此时的值最大且为. 故答案为：； 6．（24-25高二上·福建莆田·期中）数学家莱昂哈德▪欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的重心、外心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则外接圆的半径 ，顶点的坐标为 . 【答案】 【分析】第一空，由欧拉线定义可得AB中垂线与其交点即为外心，然后由外心坐标可得外接圆半径；第二空，设，由重心坐标公式及欧拉线方程可得纵坐标，然后由外接圆半径可得横坐标. 【详解】第一空，因，，则AB中点坐标为，， 则AB中垂线方程为：， 则其与交点为，即外心坐标为， 则外接圆半径； 第二空，设，结合，，可得重心坐标为：， 因其在上，则，则.又，外心坐标为， 则或3（与B重合，舍去），则. 故答案为：； C综合素养 1．（24-25高二上·吉林·期末）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转化为点到点的距离的平方，等价于在直线上找一点，使得它到图象的距离的平方最小，利用函数图象的对称性即可得解. 【详解】可看成点到点的距离的平方， 点在直线的图象上，点在反比例函数的图象上， 问题转化为在图象上找一点，使得它到直线的距离的平方最小. 注意到反比例函数的图象关于直线对称，直线也关于对称， 观察图象知点P到直线的距离最短，， 最短距离为，所以的最小值为. 故选：C. 【点睛】本题考查两点之间的距离，利用化归与转化思想，将问题转化为在直线上找一点使得它到图象的距离的平方最小，借助函数图象的对称性解决问题. 2．（24-25高二上·四川广安·期中）已知直线与直线交于点，点关于直线对称的点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程组求出点坐标，可得，分、、讨论，代入利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】由，解得，可得， 所以，即， 当时，，则无意义； 当时， ，当且仅当即等号成立； 当时， ，当且仅当即等号成立； 综上，，或. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是求出点坐标，代入利用基本不等式求最值. 3．（24-25高二上·重庆·期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出的（如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过），所以在“曼哈顿几何中”，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”；即，因此：“曼哈顿两点间距离”：若，，则，在平面直角坐标系中，我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“新椭圆”，“新椭圆”上任意一点设为. (1)已知，，求的值； (2)分别求，的取值范围； (3)若，，求“新椭圆”围成的面积. 【答案】(1) (2)的取值范围为；的取值范围为 (3)6 【分析】（1）根据定义直接运算求解即可； （2）设“新椭圆”上任意一点为，可得，分类讨论去绝对值，作出图象，即可得，的范围； （3）根据（2）中图象，代入，即可得面积. 【详解】（1）因为，，所以. （2）设“新椭圆”上任意一点为， 根据“新椭圆”的定义，可得，即， 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得，即； 当时，可得；当时，可得； 当时，可得；当时，可得；当时，可得； 作出“新椭圆”的图象，如图所示， 结合图象可知：的取值范围为；的取值范围为. （3）设“新椭圆”的图象，围成的六边形为， 若，，由（2）可知：， 所以“新椭圆”围成的面积为. 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”,明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论 ； （2）重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法，归纳“举例”提供的分类情况. 4．（24-25高二上·福建福州·期中）“曼哈顿距离”是一种度量距离的方式，定义如下：在平面直角坐标系内，任意两点，的曼哈顿距离为.对于动点，若存在定点使得（为大于的常数），则称动点的轨迹为“”曲线. (1)已知，若，求； (2)已知曲线是“”曲线（是原点），，点是上一点， （i）写出曲线的方程并画出图形，求的最大值； （ii）已知点在直线上，求的最小值. 【答案】(1)或 (2)（i），图象见解析，最大值为；（ii） 【分析】（1）根据“曼哈顿距离”的定义，结合条件，即可求解； （2）（i）根据“曼哈顿距离”的定义，得到，再对与的大小分类讨论，即可作出图形，再根据条件，得到，结合图形，即可求解；（ii）设，，则，根据题设得，再对与的大小分类讨论，从而得到间的关系，再利用绝对值不等式的意义，即可求解. 【详解】（1）因为，则，解得或. （2）（i）因为曲线是“”曲线（是原点），设曲线上任意一点， 则，所以曲线的方程为， 当时，由，得到， 当时，由，得到， 当时，由，得到， 当时，由，得到，所以图象如图1， 因为，又易知， 所以， 令，则，由图1易知的最小值为，所以的最大值为. （ii）如图2，因为点在直线上，设，，则， 因为，当时，， 所以， 易知，，不妨把看成一个常量， 当时，，当时，，当时，， 由一次函数的性质知，此时在处取到最小值为，且时取等号， 当时，，所以， 易知，，不妨把看成一个常量， 当时，，当时，，当时，， 由一次函数的性质知，此时在处取到最小值为，且时取等号， 当时，由，得到， 所以， 易知，，不妨把看成一个常量， 当时，，当时，，当时，， 由一次函数的性质知，此时在处取到最小值为，且时取等号， 当时，由，得到， 所以， 易知，，不妨把看成一个常量， 当时，，当时，，当时，， 由一次函数的性质知，此时在处取到最小值为，且时取等号， 综上，的最小值为. 【点睛】方法点晴：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 5．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于、两点），与边交于（其中点异于、两点），若设直线的斜率为. (1)试用来表示点和的坐标； (2)求的面积关于直线的斜率的函数关系式； (3)当为何值时，取得最大值？并求此最大值. 【答案】(1)， (2) (3)当时，取最大值为 【分析】（1）由直线与线段有公共点，可得的取值范围，联立直线可得交点坐标； （2）根据点到直线的距离及两点间距离可得三角形面积； （3）设，结合基本不等式可得最值. 【详解】（1）如图所示， 设直线， 又直线与线段，均相交， 则， 直线方程为， 直线方程为， 联立，解得，即， 联立，解得，即； （2）又，又，则， 点到直线，即点到直线的距离， 所以的面积， （3）由（2）得， 设，即， 则， 又，当且仅当时等号成立， 即，当且仅当时等号成立， 即当时，取最大值为. 侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 2.3直线的交点坐标与距离公式 （2.3.1两条直线的交点坐标+2.3.2两点间的距离公式 +2.3.3点到直线的距离公式+2.3.4两条平行线间的距离公式） 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 【即学即练1】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）直线：与直线：的交点坐标为 . 知识点02：两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 【即学即练2】（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 知识点03：点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 【即学即练3】（23-24高二上·重庆·阶段练习）点到直线的距离为 知识点04：两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 【即学即练4】（24-25高二下·安徽芜湖·期末）直线与直线间的距离是（    ） A． B． C． D．１ 知识点05：对称问题 1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式) 求点关于点的对称点 由： 2、点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ② 整理得： 【即学即练5】（24-25高二上·福建福州·期中）点关于直线的对称点坐标是 . 3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 【即学即练6】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 4、直线关于直线对称问题 4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，两点求出直线 4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 【即学即练7】（2024高三·全国·专题练习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为 ． 【即学即练8】（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线关于直线对称的直线方程 .（用一般式方程表示）. 第三部分 题型精讲 题型01求直线交点坐标 【典例1】（24-25高二下·河南·阶段练习）已知矩形的边所在直线的方程为，顶点，则顶点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·上海·阶段练习）在中，已知点边上的中线所在直线的方程为，的角平分线所在直线方程为，则点的坐标为 . 【变式1】（24-25高三上·广东深圳·阶段练习）过原点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线与的交点坐标为 ． 【变式2】（24-25高二上·湖南长沙·期中）直线与直线的交点坐标为 【变式3】（24-25高二上·福建·期中）已知的顶点，边上的高所在直线为，为中点，且所在直线方程为. (1)求边所在的直线方程； (2)求顶点的坐标. 题型02由方程组解的个数判断直线的位置关系 【典例1】（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各对直线的位置关系．如果相交，求出交点坐标． (1)直线； (2)直线． 【变式2】（2024高二·江苏·专题练习）判断下列各对直线的位置关系.若相交，求出交点坐标： （1）l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0； （2）l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0. 【变式3】（24-25高二·全国·阶段练习）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点. （1）l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; （2）l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; （3）l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 题型03由直线交点的个数求参数 【典例1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为 ． 【典例2】（2024·上海奉贤·二模）若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是 . 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）已知两条直线l1：（3＋m）x＋4y＋（3m－19）＝0，l2：2x＋（1＋m）y－8＝0，当实数m分别为何值时，l1与l2： (1)相交？ (2)平行？ (3)垂直？ 【变式2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知直线，直线，根据下列条件分别求实数的值： (1)与相交； (2)与平行； (3)与重合. 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）三条直线､､有且只有两个交点，求实数的值. 题型04由直线的交点坐标求参数 【典例1】（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·天津南开·期中）若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是 . 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）三条直线相交于两点.已知，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【变式3】（23-24高二上·河南洛阳·阶段练习）已知三条直线，和. (1)若，求实数的值； (2)若三条直线相交于一点，求实数的值. 题型05三线围成（不能围成）三角形问题 【典例1】（多选）（23-24高二上·河北张家口·期中）若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（    ）． A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ． 【变式1】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·福建莆田·期末）已知直线，若直线不能围成三角形，写出一个符合要求的实数的值 ． 题型06直线交点系方程及其应用 【典例1】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【典例2】（23-24高二·全国·假期作业）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【变式1】（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【变式2】（23-24高二·全国·课堂例题）若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ． 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为 . 题型07求两点间的距离公式 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点在轴上，点在轴上，线段的中点的坐标是，则（    ） A．10 B．5 C．8 D．6 【典例2】（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）过点的直线的斜率为 ，则（    ） A．10 B． C． D．180 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知三点，且，则有（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·江苏宿迁·期末）我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，根据上述观点，当取得最小值时，实数的值为（    ） A． B．3 C． D．4 【变式3】（23-24高二下·全国·课后作业）在中，已知，，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，则顶点C的坐标为 . 题型08距离公式的应用 【典例1】（23-24高二上·重庆·期末）的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2025高三·全国·专题练习）已知函数，则的最小值为 ． 【变式2】（2023高一上·山东滨州·竞赛）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 . 【变式3】（2024高二上·全国·专题练习）已知，，则S的最小值是 . 题型09求点到直线的距离 【典例1】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线l过点且倾斜角为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·上海宝山·期中）点到直线的距离为 ． 【变式1】（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·天津滨海新·期末）已知点，直线，则点到直线的距离为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【变式3】（24-25高二上·重庆长寿·期末）点到直线的距离为 ． 题型10已知点到直线的距离求参数 【典例1】（24-25高二下·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（   ） A．4 B． C．4或 D．或 【典例2】（24-25高二上·浙江丽水·期中）直线经过两直线和的交点． (1)若直线与直线平行，求直线的方程； (2)若点到直线的距离为2，求直线的方程． 【变式1】（24-25高二上·陕西汉中·期中）在平面内作直线，使得点、点到直线的距离分别为1和2，则这样的直线有（   ）条 A．4 B．3 C．2 D．1 【变式2】（24-25高二上·广东深圳·期中）已知两点到直线的距离相等，则（    ） A．3 B． C．3或-6 D．3或 【变式3】（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知直线及点. (1)若与垂直的直线过点，求与的值； (2)若点与点到直线的距离相等，求的斜截式方程. 题型11求点关于直线的对称点 【典例1】（24-25高二下·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·北京·期末）点关于直线的对称点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·浙江杭州·期中）点关于直线的对称点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·福建·期中）点关于直线对称的点的坐标为（      ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）点关于直线对称的点的坐标为 ． 题型12求到两点距离相等的直线方程 【典例1】（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 【典例2】（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）点，到直线的距离相等，则 . 【变式1】（23-24高二上·湖南·期中）已知，，若，到直线的距离都等于，则满足条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【变式2】（多选）（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知点与到直线的距离相等，则的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（多选）（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 题型13直线关于直线对称 【典例1】（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）两直线方程为，，则关于对称的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为 . 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于直线对称的直线方程是 . 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是 . 【变式3】（23-24高二·江苏·课后作业）已知直线，求： (1)直线l关于点对称的直线的方程； (2)直线关于直线l对称的直线的方程． 题型14平行线间的距离问题 【典例1】（24-25高二下·广西河池·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C．2 D． 【典例2】（24-25高三下·上海·阶段练习）若直线与直线平行，则这两条直线间的距离为 ． 【变式1】（24-25高二下·湖南·阶段练习）直线与直线间的距离为（   ） A． B． C． D．1 【变式2】（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2025高三·全国·专题练习）已知平行直线，则与的距离是 . 题型15直线关于点对称的直线 【典例1】（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为（    ） A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0 C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0 【典例2】（23-24高二上·山东·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 ． 【变式1】（23-24高二·全国·课后作业）关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）求直线关于点对称的直线l的方程． 【变式3】（23-24高二·全国·课后作业）已知点的坐标为，直线的方程为，求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于点的对称直线的方程． 题型16将军饮马问题 【典例1】（24-25高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为 . 【变式1】（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【变式2】（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 【变式3】（23-24高二上·贵州安顺·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 1．（24-25高二下·浙江·期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知点，点在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·吉林·期末）平行直线与之间的距离为，则，的可能值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南·阶段练习）已知点为直线上任意一点，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D． 6．（24-25高三上·山东临沂·阶段练习）已知点在直线上的运动，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·山东济南·阶段练习），函数的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 8．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知，，点是直线上的一点，则当取得最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）对于直线，．以下说法错误的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 10．（多选）（24-25高二上·江苏宿迁·期末）下列说法中正确的有（   ） A．直线过定点 B．点关于直线的对称点为 C．两条平行直线与之间的距离为 D．当实数时，直线和互相垂直 11．（24-25高二下·上海奉贤·期末）若点在曲线上，点在曲线上，定义.已知有两条直线分别为：，：，则 . 12．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 13．（24-25高二上·广东清远·期中）已知直线． (1)求经过点且与直线垂直的直线方程； (2)求经过直线与的交点，且在两坐标上的截距相等的直线方程． 14．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线，直线， (1)若与相交，求实数的值； (2)若与平行.求实数的值并求出此时两直线间的距离. B能力提升 1．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山西大同·期中）已知实数满足， ， 则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2025·福建漳州·模拟预测）已知直线l过点，分别与直线：，：交于A，B两点，圆C：过A，B两点，则△ABC面积的最大值为 ；当△ABC面积取最大值时，直线l的方程为 5．（24-25高二上·湖北荆门·期中）已知直线：及点，点Q在l上，当的值最大时，点的坐标为 ，的最大值为 . 6．（24-25高二上·福建莆田·期中）数学家莱昂哈德▪欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的重心、外心、垂心在同一条直线上，这条直线被称为欧拉线.已知的顶点，，其欧拉线方程为，则外接圆的半径 ，顶点的坐标为 . C综合素养 1．（24-25高二上·吉林·期末）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川广安·期中）已知直线与直线交于点，点关于直线对称的点为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·期中）“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出的（如图是抽象的城市路网，其中线段是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过），所以在“曼哈顿几何中”，这两点最短距离用表示，又称“曼哈顿距离”；即，因此：“曼哈顿两点间距离”：若，，则，在平面直角坐标系中，我们把到两定点，的“曼哈顿距离”之和为常数的点的轨迹叫“新椭圆”，“新椭圆”上任意一点设为. (1)已知，，求的值； (2)分别求，的取值范围； (3)若，，求“新椭圆”围成的面积. 4．（24-25高二上·福建福州·期中）“曼哈顿距离”是一种度量距离的方式，定义如下：在平面直角坐标系内，任意两点，的曼哈顿距离为.对于动点，若存在定点使得（为大于的常数），则称动点的轨迹为“”曲线. (1)已知，若，求； (2)已知曲线是“”曲线（是原点），，点是上一点， （i）写出曲线的方程并画出图形，求的最大值； （ii）已知点在直线上，求的最小值. 5．（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知点、，设过点的直线与的边交于点（其中点异于、两点），与边交于（其中点异于、两点），若设直线的斜率为. (1)试用来表示点和的坐标； (2)求的面积关于直线的斜率的函数关系式； (3)当为何值时，取得最大值？并求此最大值. 侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$