第05讲 直线的一般式方程（知识清单+8类热点题型讲练+分层强化训练）-【精讲精练】2025-2026学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第05讲 直线的一般式方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 【即学即练1】（24-25高二下·湖南·开学考试）直线在轴的截距为（    ） A．-3 B． C． D．3 【答案】C 【分析】直接令即可得到答案. 【详解】令，得，所以直线在轴的截距为． 故选：C． 知识点02：直线的一般式方程与其它形式方程的互化 【即学即练2】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解. 【详解】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 知识点03：直线系方程 1．平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 【即学即练3】（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】设出直线的方程，利用待定系数法求出方程. 【详解】由直线与直线平行，设直线的方程为， 由直线经过点，得，解得， 所以直线的方程为. 故答案为： 2．垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 【即学即练4】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）经过点，且垂直于直线的直线的方程是 ． 【答案】 【分析】利用垂直直线系可求直线方程. 【详解】设所求直线方程为，代入点得， 故所求直线方程为， 故答案为：. 第三部分 题型精讲 题型01直线的一般式方程及其辨析 【典例1】（24-25高二下·上海·阶段练习）方程是直线的（    ）方程. A．点斜式 B．斜截式 C．一般式 D．点法式 【答案】D 【分析】依次化简方程为点斜式方程、斜截式方程、一般式方程可判断ABC选项，再根据求点法式方程的方法求出点法式即可检验D选项. 【详解】将方程化简为，此为点斜式方程，故A错误； 将方程化简为，此为斜截式方程，故B错误； 将方程化简为，此为一般式方程，故C错误； 由一般式方程可知直线的方向向量为，则法向量为， 又直线过点， 设直线上任意一点,则， 又，则，故D正确. 故选：D 【典例2】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知直线经过点，且它的一个方向向量为，则（   ） A．直线方程的点斜式为 B．直线方程的截距式为 C．直线方程的斜截式为 D．直线方程的一般式为 【答案】B 【分析】求出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程，然后化为其它形式，逐项判断即可. 【详解】因为直线经过点，且它的一个方向向量为， 则直线的斜率为， 对于A选项，直线方程的点斜式为，A错； 对于D选项，直线方程的一般式为，D错； 对于B选项，直线方程的截距式为，B对； 对于C选项，直线方程的斜截式为，C错. 故选：B. 【变式1】（24-25高二上·广东潮州·阶段练习）若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】化直线的方程为斜截式，由已知条件可得斜率和截距的正负，可得答案． 【详解】解：由题意可知 ，故直线的方程可化为 ， 由 ， 可得 ， 由斜率和截距的几何意义可知直线不经过第三象限． 故选：C． 【变式2】（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知直线l与直线夹角为45°，则l的倾斜角为（    ） A．°或75° B．15°或105° C．75°或165° D．30°或60° 【答案】C 【分析】求出直线斜率及倾斜角，再根据夹角为求出的倾斜角即可. 【详解】直线的斜率，则其倾斜角为， 由直线与直线夹角为，得的倾斜角为或. 故选：C 【变式3】（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 【答案】D 【分析】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断A；令，求出直线过点可判断B和C；根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量共线可判断D. 【详解】设直线的倾斜角为，， 对于A，直线的斜率为，所以，则，故A错误； 对于B，当时，，即直线过点，且倾斜角为， 所以直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B错误； 对于C，由B知，直线在轴上的截距为，故C错误； 对于D，当时，，即直线过点， 则，所以直线的一个方向向量为，故D正确. 故选：D. 题型02直线的一般式方程与其他形式的相互转化 【典例1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知直线在轴上的截距是，在轴上的截距是3，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先写出直线的截距式方程，再化为一般式. 【详解】直线在轴上的截距是，在轴上的截距是3， 则直线的截距式方程为，化成一般式方程为. 故选：C. 【典例2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）写出下列直线的方程，并化为一般式方程． (1)经过点，倾斜角是30°； (2)经过两点； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）由斜率与倾斜角关系求出斜率，写出点斜式方程，再化为一般式； （2）由两点坐标求出斜率，写出斜截式方程，再化为一般式． 【详解】（1）由已知直线的斜率为， 直线方程为，即； （2）由题意直线的斜率为， 直线方程为，即． 【变式1】（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线一般方程是 . 【答案】 【分析】设直线的方程为，根据条件列方程组求解即可. 【详解】由题意，设直线的方程为， 则，解得， 所以直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式2】（24-25高二上·湖北·期中）经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为 . 【答案】或 【分析】分情况讨论直线是否过原点，然后根据不同情况求出直线方程. 【详解】当直线过原点时,因为直线过原点和点，则斜率. 直线方程为，即.   当直线不过原点时,设直线在轴上的截距为，则在轴上的截距为，直线的截距式方程为. 因为直线过点，将点的坐标代入截距式方程. 解得. 所以直线方程为，化为一般式为.   故所求直线方程为或. 故答案为：或. 【变式3】（24-25高二上·天津滨海新·期中）过点和点的直线一般式方程为 . 【答案】 【分析】利用截距式写出方程式整理即可 【详解】由直线过点和点，则直线截距式方程为， 化成一般式方程为. 故答案为： 题型03根据直线平行求参数 【典例1】（24-25高一下·重庆·期末）已知直线，，则的充要条件的是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行列方程求解，然后检验判断即可. 【详解】因为，所以且， 解得， 当时，直线，，显然， 所以的充要条件的是. 故选：A 【典例2】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线．若，则实数的值为 ． 【答案】2 【分析】由两直线平行的公式求参数可得结果. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，，符合题意. 当时，，两直线重合，不合题意. 综上，. 故答案为：2. 【变式1】（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）已知直线，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由直线一般式平行表示可得答案. 【详解】因，则. 当，， ，两直线互相平行. 则则“”是“”的充要条件. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与直线相互平行，则实数的值是（   ） A． B．1或 C． D．6 【答案】A 【分析】根据两直线平行列方程求解即可. 【详解】由题意，，解得或， 当时，，，满足； 当时，，即，， 两直线重合，不符合题意. 综上所述，. 故选：A. 【变式3】（24-25高二上·山西大同·阶段练习）若直线与平行，则a的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】B 【分析】根据两直线平行的充要条件即可求解. 【详解】由题意，所以， 解得. 故选：B. 题型04根据直线垂直求参数 【典例1】（24-25高二上·北京东城·期末）已知直线，，若，则实数a的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线垂直的公式计算可得结果. 【详解】∵， ∴，解得. 故选：C. 【典例2】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）若直线与直线垂直，则实数 . 【答案】/ 【分析】根据两直线垂直列方程，求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，即，解得， 故答案为：. 【变式1】（2024·北京丰台·二模）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】首先判断两直线的位置关系，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】直线与直线相互垂直， 则，所以不管为何值，两直线垂直， 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A 【变式2】（23-24高三上·河北·阶段练习）已知直线与直线垂直，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】根据直线的垂直关系可得，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，即，所以， 当且仅当或时等号成立． 即的最小值为4， 故选：B 【变式3】（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知直线：与：互相垂直，则实数（    ） A．1 B． C．1或 D．1或2 【答案】D 【分析】根据两条直线垂直的充要条件可得. 【详解】由题意知，不同时为，且也不同时为， 则两直线， 化简得，解得，或. 故选：D. 题型05由两条直线平行求方程 【典例1】（24-25高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线方程为，将代入化简即可得出答案. 【详解】设与直线平行的直线为：， 因为过点，所以，解得：. 故经过点且与直线平行的直线是， 即. 故选：A. 【典例2】（24-25高二下·上海崇明·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出直线斜率，由点斜式即可求得答案； （2）由两直线平行可设直线方程，求出参数，即得答案. 【详解】（1）由题意可得直线斜率为， 故直线方程为，即； （2）由题意可设直线方程为，，结合直线经过点， 可得，则直线方程为. 【变式1】（24-25高二下·全国·开学考试）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用直线平行设直线为，再应用点在线上计算求参即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以设直线的方程为． 因为直线过点，所以， 解得，所以直线的方程为． 故选:C． 【变式2】（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则以下方程不能表示直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由直线的点斜式方程代入计算，然后化简，即可得到结果. 【详解】因为直线，其斜率为，所求直线与平行， 所以直线的斜率也为，且直线经过点， 由直线的点斜式可得直线的方程为， 化简可得，进一步变形可得，再变形可得. 故选：B 【变式3】（24-25高二上·上海·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程是 ． 【答案】 【分析】根据直线平行可设，根据直线经过点可得结果. 【详解】设直线的方程为， ∵直线经过点，∴，解得， ∴直线的方程是. 故答案为：. 题型06由两条直线垂直求方程 【典例1】（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两直线垂直确定斜率，应用点斜式写出直线方程. 【详解】直线的斜率为，两直线垂直， 故所求直线方程为，则. 故选：B. 【典例2】（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）过点，且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】根据垂直关系求出直线的斜率，利用点斜式可得直线的方程，化为一般式方程即可. 【详解】直线的斜率为，由题意得直线的斜率为. 又因为直线过点， 所以直线的方程为，化为一般式，得. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二下·陕西商洛·阶段练习）直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解. 【详解】由直线与直线垂直，得直线的斜率，又直线过点， 所以直线的方程为，即. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·山西·期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直求出直线的斜率，再由点斜式方程可得答案. 【详解】直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 即. 故选：D. 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【答案】 【分析】由垂直关系求得斜率，再由点斜式即可求解. 【详解】由，可知其斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程为： ， 即， 故答案为： 题型07直线过定点问题 【典例1】（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线分离参数为，令，可得定点. 【详解】根据题意，直线， 即， 令，得， 故直线必过定点. 故选：B 【典例2】（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据分析直线过定点，当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，可得直线及其方程. 【详解】直线方程变形为：， 由解的：，即直线过定点， 当直线与直线垂直时，点到直线的距离最大，又 此时，则，则直线的方程为，即. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 【答案】 【分析】将直线方程变形为点斜式，即可得到直线恒过的定点. 【详解】将直线方程变形为， 由直线方程的点斜式可知直线恒过的定点是. 故答案为： 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 【答案】 【分析】根据已知直线方程化简列方程组计算求解即可. 【详解】由直线，化简可得对任意实数都成立， 所以，所以定点为. 故答案为：. 【变式3】（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知直线（）恒过定点M，则点M的坐标为 . 【答案】 【分析】提取，通过方程组即可得定点坐标. 【详解】直线，即， 联立，解得， 即点M的坐标为， 故答案为：. 题型08直线综合 【典例1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【分析】（1）令，解方程组即可得解； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解. 【详解】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 【典例2】（24-25高二上·四川南充·期中）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 【答案】(1)证明见详解 (2)的周长为，直线的方程 【分析】（1）将直线的方程变形为，令，解得即可； （2）首先求出直线在、轴上的截距，即可求出的范围，再由面积公式及基本不等式求出面积最小值及此时的值，从而求出直线的方程及三角形的周长. 【详解】（1）因为直线的方程，即， 令，解得， 所以直线恒过定点； （2）因为直线的方程，依题意，即， 令，得到；令，得到； 令，解得， 可得， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立 此时直线的方程为， 且，，，    所以当的面积最小时，的周长为，直线的方程. 【变式1】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两直线的交点，利用垂直得出斜率，点斜式可得方程； （2）求出点的对称点，利用两点之间直线最短可求答案. 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为.    【变式2】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由方程变形可得，列方程组，解方程即可； （2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数的不等式，解之即可； （3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值. 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线． (1)求证直线恒过定点，并求出该定点坐标； (2)是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析，； (2)存在，，面积取得最小值8. 【分析】（1）法一：直线化为，即可求定点；法二：直线化为点斜式确定定点； （2）根据直线与坐标轴交点特征求参数范围，应用三角形面积公式得到关于参数m的表达式，进而求最值. 【详解】（1）法一：由，得． 当，即时，直线恒过定点． 法二：由，得， 表示过点的点斜式，即直线恒过定点． （2）存在实数，由（1）知：直线恒过第一象限的点． 所以与轴和轴的交点分别为， 由题意，，所以，此时直线与轴和轴的正半轴都相交． ． 因为，所以． 当，即时，的面积取得最小值8． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（24-25高一下·重庆·期末）直线的一个方向向量是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出直线的斜率即可得解. 【详解】直线的斜率为，则该直线的一个方向向量是， 而选项BCD中对应向量与不共线，因此A是，BCD不是. 故选：A 2．（24-25高二下·河南濮阳·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两直线垂直得出所求直线的斜率，再利用点斜式方程可得结果. 【详解】由题意可知的斜率为， 所以与其垂直的直线斜率为， 由点斜式可知该直线方程为， 故选：D 3．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】令表示出，得到直线的纵截距．令表示出，得到直线的横截距，根据题意列方程求解． 【详解】直线， 令，解得，令，解得， 由题意得：，解得． 故选：B 4．（24-25高二上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两直线平行，斜率相等，所以与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可以设为Ax＋By＋＝0，代入经过的点，即可求出﹒ 【详解】令与直线平行的直线方程为， 由题意可得，点在直线上，所以 解得， 所以所求直线的方程为： 故选：B 5．（24-25高二上·安徽六安·期末）直线，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【分析】先求出两直线垂直时的值，进而可判断充分必要条件． 【详解】直线， 当时，有，解得或. 所以“”时“”成立，“”时“”不一定成立， 则“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6．（2025·上海·模拟预测）“”是“直线与直线相互平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【分析】根据直线平行的条件建立方程求出，再检验即可得解. 【详解】若直线与直线相互平行， 则，即，解得或， 当时，直线与直线相互平行，符合题意； 当时，直线即， 直线，两直线重合，不符合题意； 所以“”是“直线与直线相互平行”的充要条件. 故选：C 7．（多选）（24-25高一下·重庆·期末）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线在轴上的截距为，则 C．若直线与直线垂直，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 【答案】AB 【分析】求出直线过定点坐标即可判断A，将点坐标代入直线方程求解即可判断B，根据直线垂直的关系列式求解即可判断C，根据正切函数的单调性求解倾斜角范围判断D. 【详解】直线，令即，得， 所以直线恒过定点，故A正确； 若直线在轴上的截距为，则直线过点，代入直线方程得， 解得，故B正确； 若直线与直线垂直，则，解得，故C不正确； 设直线的倾斜角为，则， 又，所以由正切函数的单调性可知，故D不正确； 故选：AB 8．（多选）（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的是（ ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 【答案】BD 【分析】根据直线的点斜式方程、斜截式方程逐一判断即可. 【详解】因为直线经过第一､二､四象限， 所以有，因此点在第二象限，所以选项A不正确； 由，所以直线过定点， 因此选项B正确； 斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为， 所以选项C不正确； 过点且斜率为的直线的点斜式方程为， 所以选项D正确， 故选：BD 9．（2025·山东济南·模拟预测）已知直线与直线，若，则 【答案】 【分析】根据可得出关于的等式，计算可解得的值. 【详解】若，则， 所以或． 当时，，重合；当时，符合题意． 故答案为： 10．（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 【答案】 【分析】由条件转化为关于直线特征的不等式，即可求解. 【详解】直线的斜率，，直线与轴的交点为，， 由题意可知，，解得：或. 故答案为： 11．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 【答案】(1) (2) (3)和 【分析】根据题给条件设直线方程即可. （1）设与直线平行的直线方程为，代点即可求解. （2）根据点求中点坐标及其斜率，与线段的垂直的直线的斜率与，点斜式写直线方程即可. （3）设截距，考虑截距为和不为的情况，根据点斜式写直线方程即可. 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为，过，则，则，所以直线的一般方程为. （2）因为点，，中点为，， 则垂直平分线的斜率，则， 直线方程为，所以直线的一般方程为. （3）设直线在两坐标轴上的截距为，即直线过 当截距时，直线过，，则，即； 当截距时，直线斜率，则，即. 所以在两坐标轴上的截距相等的直线方程为和. 12．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知三个顶点是. (1)求BC边所在直线的方程； (2)若BC边上中线AD的方程为，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两点的斜率公式求出直线BC的斜率，即可求直线的点斜式方程，转化为一般式方程即可. （2）求得线段BC的中点，代入求得，又点在中线AD上，可求得点的坐标. 【详解】（1）， 直线BC的斜率为， 根据点斜式方程得， 边所在直线的一般方程为. （2）由题知，线段BC的中点，                                                                                         代入中线AD方程，得，解得.                                                                                         点在中线AD上， ， 解得，                                                                                                                                             点的坐标是. B能力提升 1．（2025高三·全国·专题练习）设、为不同的两点，直线，，以下命题中不正确的为（ ） A．存在实数，使得点在直线上； B．若，则过的直线与直线平行； C．若，则直线经过的中点； D．若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 【答案】A 【分析】由分母不为0可判断A；分和两种情况讨论可得两直线的位置关系判断B；由已知可得，可判断C；由已知可得，且，进而可判断D. 【详解】对于A选项，若点在直线上则， 不存在实数，使点在直线上，故A不正确； 对于B选项，当时，若，则，整理得， 此时直线垂直于轴，直线也垂直于轴，由于不在直线上， 故过、两点的直线与直线平行； 当时，若，则，整理得， 此时若成立，则，与、为不同的两点矛盾， 故，所以， 即， 所以过、两点的直线与直线平行，综合可知，B正确； 对于C选项，若，则 即，， 直线经过线段的中点，即C正确； 对于D选项，若，则， 或， 所以，且， 所以点在直线的同一侧且到直线的距离不相等， 所以直线与线段不平行．故D正确． 故选：A． 2．（24-25高二上·云南·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出的重心和外心后可得欧拉线的方程. 【详解】的重心坐标为即， 中垂线的方程为：，中垂线的方程为：， 故外心坐标为，故欧拉线的方程为：， 整理得到：， 故选：C. 3．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】求得、，再根据两直线的位置关系的判断可得，即有,从而得,再结合基本不等式求解即可. 【详解】解：因为，即， 由，解得，所以直线过定点； 同理可得直线过定点； 又因为，所以， 即有，所以， 所以， 当且仅当时，取等号. 所以的最大值为4. 故选：D. 4．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知点分别在直线上移动.若为原点，，则直线斜率的取值范围是 . 【答案】 【分析】将点坐标代入到直线方程得到等式，将两个等式相减得到与的等式，由直线斜率公式得到直线的斜率，由利用函数单调性求出斜率的取值范围. 【详解】因为点分别在直线上移动， 所以， 两式相减得 所以直线的斜率， 因为，所以，所以， 即直线斜率的取值范围是. 故答案为： 5．（24-25高二上·广东惠州·期中）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 【答案】(1)或； (2)（ⅰ）；（ⅱ）24， 【分析】（1）由题意可得恒过定点，结合直线的截距式方程计算即可求解； （2）（i）由题意可得，解不等式组即可； （ii）由（i）可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】（1）将整理可得， 令，可得，所以直线过定点， 若直线在两坐标轴上截距都为零，可得直线的方程为； 若直线在两坐标轴上截距不为零且相等，设直线的截距式方程为， 代入点即可得，解得； 此时直线的方程为； 综上可知直线的方程为或； （2）（ⅰ）显然，求得：， 依题意得：， 解得； （ⅱ）由（ⅰ）得三角形的面积为； 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 此时直线的方程为. 6．（24-25高二上·广东·期中）现定义：在平面直角坐标系中，在坐标轴正半轴上的点称为“正直点”，横纵坐标均为整数的点称为“整数点”，已知，均为“正直点”. (1)求的取值范围； (2)求的面积取得最小值时对应的周长； (3)若A，也为“整数点”，求直线的一般式方程. 【答案】(1) (2) (3)或或或. 【分析】（1）列出关于的不等式组，解之即可求得的取值范围； （2）利用均值定理即可求得的面积的最小值，进而求得对应的周长； （3）先求得A，为“整数点”时的值，再确定出A，两点的坐标，进而求得直线的一般式方程. 【详解】（1）由题意可得，解得. 故的取值范围为； （2）由（1），， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时，， 的周长为. （3）由题意可知，均为整数， 所以均为整数， 又，则，，. 所以，即. 所以，，0或2， 当时，，，直线的一般式方程为； 当时，，，直线的一般式方程为； 当时，，，直线的一般式方程为； 当时，，，直线的一般式方程为， 所以直线的一般式方程为 或或或. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 直线的一般式方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：直线的一般式方程 定义:关于,的二元一次方程都表示一条直线.我们把关于,的二元一次方程(其中 ,不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式. 说明： 1．、不全为零才能表示一条直线，若、全为零则不能表示一条直线. 当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线． 当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线． 由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线． 2．在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程. 3.解题时,如无特殊说明,应把最终结果化为一般式. 【即学即练1】（24-25高二下·湖南·开学考试）直线在轴的截距为（    ） A．-3 B． C． D．3 知识点02：直线的一般式方程与其它形式方程的互化 【即学即练2】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（    ） A． B． C． D． 知识点03：直线系方程 1．平行直线系方程 把平面内具有相同方向的直线的全体称为平行直线系.一般地，与直线平行的直线系方程都可表示为 (其中为参数且≠C)，然后依据题设中另一个条件来确定的值. 【即学即练3】（24-25高二上·河北廊坊·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程为 ． 2．垂直直线系方程 一般地，与直线垂直的直线系方程都可表示为(其中为参数），然后依据题设中的另一个条件来确定的值. 【即学即练4】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）经过点，且垂直于直线的直线的方程是 ． 第三部分 题型精讲 题型01直线的一般式方程及其辨析 【典例1】（24-25高二下·上海·阶段练习）方程是直线的（    ）方程. A．点斜式 B．斜截式 C．一般式 D．点法式 【典例2】（24-25高二上·天津·阶段练习）已知直线经过点，且它的一个方向向量为，则（   ） A．直线方程的点斜式为 B．直线方程的截距式为 C．直线方程的斜截式为 D．直线方程的一般式为 【变式1】（24-25高二上·广东潮州·阶段练习）若，，则直线不经过的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（24-25高二下·河北张家口·开学考试）已知直线l与直线夹角为45°，则l的倾斜角为（    ） A．°或75° B．15°或105° C．75°或165° D．30°或60° 【变式3】（24-25高二上·江西赣州·期末）对于直线，下列选项正确的是（   ） A．直线倾斜角为 B．直线经过第四象限 C．直线在轴上的截距为 D．直线的一个方向向量为 题型02直线的一般式方程与其他形式的相互转化 【典例1】（24-25高二上·浙江宁波·期中）已知直线在轴上的截距是，在轴上的截距是3，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）写出下列直线的方程，并化为一般式方程． (1)经过点，倾斜角是30°； (2)经过两点； 【变式1】（24-25高二上·广东肇庆·阶段练习）过点，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线一般方程是 . 【变式2】（24-25高二上·湖北·期中）经过点，且在轴上的截距为轴上截距的2倍的直线方程为 . 【变式3】（24-25高二上·天津滨海新·期中）过点和点的直线一般式方程为 . 题型03根据直线平行求参数 【典例1】（24-25高一下·重庆·期末）已知直线，，则的充要条件的是（    ） A． B． C．或 D． 【典例2】（24-25高一下·浙江宁波·期末）已知直线．若，则实数的值为 ． 【变式1】（24-25高三下·陕西咸阳·阶段练习）已知直线，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线与直线相互平行，则实数的值是（   ） A． B．1或 C． D．6 【变式3】（24-25高二上·山西大同·阶段练习）若直线与平行，则a的值为（   ） A．0 B．2 C．3 D．2或3 题型04根据直线垂直求参数 【典例1】（24-25高二上·北京东城·期末）已知直线，，若，则实数a的值为（   ） A．3 B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·河北张家口·阶段练习）若直线与直线垂直，则实数 . 【变式1】（2024·北京丰台·二模）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【变式2】（23-24高三上·河北·阶段练习）已知直线与直线垂直，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式3】（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知直线：与：互相垂直，则实数（    ） A．1 B． C．1或 D．1或2 题型05由两条直线平行求方程 【典例1】（24-25高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·上海崇明·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 【变式1】（24-25高二下·全国·开学考试）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·海南海口·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则以下方程不能表示直线的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·上海·期末）已知直线经过点，且与直线平行，则直线的方程是 ． 题型06由两条直线垂直求方程 【典例1】（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·山东菏泽·开学考试）过点，且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 【变式1】（24-25高二下·陕西商洛·阶段练习）直线过点，且与直线垂直，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·山西·期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·上海浦东新·期中）过点且与直线垂直的直线的一般式方程为 . 题型07直线过定点问题 【典例1】（24-25高二下·上海静安·期中）直线必过定点（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·北京·期中）动直线与一点．当点到直线的距离最大时，直线的方程为 ． 【变式1】（23-24高二上·甘肃白银·期中）在直线方程中，当k变化时，可得无数条直线，这些直线恒过的定点是 . 【变式2】（24-25高二上·上海·期末）对任意实数，直线总经过定点 ．（写出该定点坐标） 【变式3】（24-25高二上·河北沧州·阶段练习）已知直线（）恒过定点M，则点M的坐标为 . 题型08直线综合 【典例1】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【典例2】（24-25高二上·四川南充·期中）直线方程为． (1)证明：无论为何值，直线过定点； (2)已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于A，两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程． 【变式1】（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【变式2】（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线． (1)求证直线恒过定点，并求出该定点坐标； (2)是否存在实数，使得直线与轴和轴的正半轴都相交？若存在，求出的范围，并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在，请说明理由． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（24-25高一下·重庆·期末）直线的一个方向向量是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南濮阳·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）直线在两坐标轴上的截距之和为，则实数（   ） A． B． C． D．2 4．（24-25高二上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·安徽六安·期末）直线，则“”是“”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 6．（2025·上海·模拟预测）“”是“直线与直线相互平行”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 7．（多选）（24-25高一下·重庆·期末）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．若直线在轴上的截距为，则 C．若直线与直线垂直，则 D．若，则直线的倾斜角的取值范围为 8．（多选）（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）下列说法正确的是（ ） A．若直线经过第一､二､四象限，则点在第三象限 B．直线过定点 C．斜率为，在轴上的截距为的直线的方程为 D．过点且斜率为的直线的点斜式方程为 9．（2025·山东济南·模拟预测）已知直线与直线，若，则 10．（24-25高二下·上海·期中）直线 经过平面直角坐标系的第一、第二与第四象限，则实数 的取值范围是 . 11．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）据下列条件分别写出直线的方程．并化为一般式方程． (1)求经过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知点，．求线段的垂直平分线的方程； (3)求经过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 12．（24-25高二上·贵州黔东南·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知三个顶点是. (1)求BC边所在直线的方程； (2)若BC边上中线AD的方程为，求点的坐标. B能力提升 1．（2025高三·全国·专题练习）设、为不同的两点，直线，，以下命题中不正确的为（ ） A．存在实数，使得点在直线上； B．若，则过的直线与直线平行； C．若，则直线经过的中点； D．若，则点在直线l的同侧且直线l与线段的延长线相交； 2．（24-25高二上·云南·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）直线与直线相交于点P，对任意实数m，直线分别恒过定点，则的最大值为（   ） A．2 B． C． D．4 4．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）已知点分别在直线上移动.若为原点，，则直线斜率的取值范围是 . 5．（24-25高二上·广东惠州·期中）已知直线过定点． (1)求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)若直线交轴正半轴于点，交轴负半轴于点． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）若三角形的面积为（为坐标原点），求的最小值并求此时直线的方程． 6．（24-25高二上·广东·期中）现定义：在平面直角坐标系中，在坐标轴正半轴上的点称为“正直点”，横纵坐标均为整数的点称为“整数点”，已知，均为“正直点”. (1)求的取值范围； (2)求的面积取得最小值时对应的周长； (3)若A，也为“整数点”，求直线的一般式方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$