第03讲 2.2.1直线的点斜式方程和斜截式方程（知识清单+4类热点题型讲练+分层强化训练）-【精讲精练】2025-2026学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第03讲 2.2.1直线的点斜式方程和斜截式方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以. 2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是. 【即学即练1】（24-25高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 知识点02：直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. 2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0. 3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为. 【即学即练2】（24-25高二上·山东泰安·期中）直线在轴上的截距是（    ） A． B． C． D． 第三部分 题型精讲 题型01直线的点斜式方程 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知直线的一个方向向量为，若过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知平面内两点． (1)求过点且与直线平行的直线的点斜式方程； (2)求过点且与直线垂直的直线的点斜式方程． 【变式1】（24-25高二上·吉林·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 题型02直线的斜截式方程 【典例1】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【典例2】（24-25高二上·天津北辰·期中）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025·天津红桥·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·天津滨海新·期中）直线的倾斜角30°，过点，则直线的斜截式方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二下·上海松江·期末）直线 的倾斜角是 . 题型03直线的图象 【典例1】（23-24高三下·福建厦门·强基计划），和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，画出经过点，且斜率分别为3与的直线． 【变式1】（23-24）高二下·河南平顶山·阶段练习）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二·全国·阶段练习）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 题型04直线的位置关系的应用 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高. (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【变式1】（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）已知的三个顶点． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 【变式2】（24-25高二上·重庆·期中）在中，、、，线段的中点为，且. (1)求实数的值； (2)求边上的中线所在的直线方程. 【变式3】（24-25高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求直线的斜率； (2)求中线的方程. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（24-25高二上·福建厦门·期末）直线l与直线垂直，则l的斜率是（   ） A．3 B． C． D． 2．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）已知直线l过点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·湖南长沙·期末）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·广东广州·期中）已知直线l倾斜角为，且过点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·广东河源·期中）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·河北张家口·期末）已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 8．（21-22高二上·北京昌平·期中）经过点，且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知直线的方程是，的方程是，则下列各图中，可能正确的（    ） A． B． C． D． 10．（多选）（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线，则（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高二下·上海崇明·期末）已知点、，则线段的垂直平分线方程为 ． 12．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）将直线绕点顺时针旋转得到的直线方程是 ． 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，且与直线在轴上的截距相同，求的值． 14．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）在三角形中，. (1)求边的中线所在直线的一般式方程； (2)求边上的高所在直线的点斜式方程. B能力提升 1．（24-25高二上·北京·期中）在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l过点，与两坐标分别交于A，B两点，设三角形OAB面积为，则下列选项中是真命题的是（   ） A．存在正实数m，使得满足条件的直线直线l恰有一条． B．存在正实数m，使得满足条件的直线直线l恰有两条． C．若存在三条直线，使得三角形ABO面积为m，则． D．若存在四条直线，使得三角形ABO面积为m，则． 3．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为 .    4．（24-25高二上·天津和平·阶段练习）已知，，．求： (1)BC边上的中线所在的直线方程； (2)AB边垂直平分线方程； (3)过点A且倾斜角为直线倾斜角2倍的直线方程： 5．（2024高二·全国·专题练习）如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 2.2.1直线的点斜式方程和斜截式方程 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：直线的点斜式方程 已知条件（使用前提） 直线过点和斜率（已知一点+斜率） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.点斜式方程中的点只要是这条直线上的点,哪一个都可以. 2.当直线与轴平行或重合时,方程可简写为.特别地,轴的方程是;当直线与轴平行或重合时,不能应用点斜式方程.此时可将方程写成.特别地,轴的方程是. 【即学即练1】（24-25高二上·福建泉州·期末）倾斜角为的直线过点，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据直线的倾斜角求斜率，利用点斜式可得直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以其斜率为. 根据点斜式可得直线方程为：，即. 故选：D 知识点02：直线的斜截式方程 已知条件（使用前提） 直线的斜率为且在轴上的纵截距为（已知斜率+纵截距） 图示 点斜式方程形式 适用条件 斜率存在（注直线若斜率不存在不可使用该形式直线方程） 1.直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况. 2.截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和0.当直线过原点时,它在轴上的截距和在轴上的截距都为0. 3.由直线的斜截式方程可直接得到直线的斜率和在轴上的截距,如直线的斜率,在轴上的截距为. 【即学即练2】（24-25高二上·山东泰安·期中）直线在轴上的截距是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线的斜截式可直接得解. 【详解】对于直线，它在轴上的截距为. 故选：A. 第三部分 题型精讲 题型01直线的点斜式方程 【典例1】（2025高三·全国·专题练习）已知直线的一个方向向量为，若过点，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的方向向量求出直线的斜率，再由点斜式得到直线方程. 【详解】因直线的一个方向向量为，则直线的斜率， 又因直线过点， 故直线的方程为． 故选：C 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知平面内两点． (1)求过点且与直线平行的直线的点斜式方程； (2)求过点且与直线垂直的直线的点斜式方程． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）求出直线的斜率，由平行关系得到，由点斜式求出直线方程； （2）在（1）的基础上，由垂直关系得到，由点斜式求出直线方程. 【详解】（1）因为，所以． 因为直线与直线平行，所以． 又直线过点， 所以直线的点斜式方程为． （2）由（1）知． 因为直线与直线垂直，所以， 又直线过点， 所以直线的点斜式方程为． 【变式1】（24-25高二上·吉林·期末）过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线垂直斜率之积为可得所求直线斜率，利用点斜式可得结果. 【详解】∵直线的斜率为， ∴所求直线斜率为， ∴直线方程为. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且一个方向向量为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方向向量得到直线斜率，再用点斜式计算即可. 【详解】由题可得．又直线过点，代入点斜式方程得． 故选：C. 【变式3】（24-25高二上·全国·课后作业）写出满足下列条件的直线的点斜式方程： (1)经过点，斜率为； (2)经过点，倾斜角是； (3)经过点且与轴垂直． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接将点的坐标和斜率代入点斜式方程即可得出结果； （2）利用倾斜角计算出直线斜率，再代入点斜式方程即可； （3）由直线与轴垂直，斜率不存在，不能使用点斜式方程. 【详解】（1）直线的点斜式方程为：. （2）由倾斜角是，则直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为：. （3）由于直线与轴垂直，斜率不存在， 所以该直线的方程为． 题型02直线的斜截式方程 【典例1】（24-25高二上·福建厦门·阶段练习）直线的倾斜角为，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】利用直线斜截式方程及斜率的定义求解即得. 【详解】直线的倾斜角为，因此该直线的斜率，又， 所以. 故选：C 【典例2】（24-25高二上·天津北辰·期中）直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线的斜率为，由，，得到， 所以直线的倾斜角为， 故选：C. 【变式1】（2025·天津红桥·模拟预测）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线的斜截式方程求出直线的斜率，最后根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可. 【详解】直线的斜率为1，则直线的倾斜角为. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·天津滨海新·期中）直线的倾斜角30°，过点，则直线的斜截式方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线倾斜角得斜率，利用过点可得直线的斜截式方程. 【详解】∵直线的倾斜角30°，∴直线的斜率， ∵直线过点，∴直线的斜截式方程为. 故选：A. 【变式3】（24-25高二下·上海松江·期末）直线 的倾斜角是 . 【答案】 【分析】根据直线斜率和倾斜角的关系，求得的倾斜角，即可得答案. 【详解】由，设斜率为，倾斜角为， 因为直线斜率为，则，又因直线的倾斜角， 所以. 故答案为： 题型03直线的图象 【典例1】（23-24高三下·福建厦门·强基计划），和围成的三角形内部和边上的整点有（    ）个. A．35 B．36 C．37 D．38 【答案】C 【分析】做出直线的图像，依据图像进行求解. 【详解】 显然直线，上无整点， 当，，有1个点； 当，，有1个点； 当，，有2个点； 当，，有3个点； 当，，有3个点； 当，，有4个点； 当，，有5个点； 当，，有5个点； 当，，有6个点； 当，，有7个点； 得到37个整点. 故选：C. 【点睛】利用数形结合的方法进行求解. 【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，画出经过点，且斜率分别为3与的直线． 【答案】见解析 【分析】利用点斜式写出直线方程，然后画图即可. 【详解】经过点，且斜率分别为3的直线，即 化简得： 经过点，且斜率分别为的直线即 化简得： 图像如下：    【变式1】（23-24）高二下·河南平顶山·阶段练习）直线l1：y＝ax＋b与直线l2：y＝bx＋a(ab≠0，a≠b)在同一平面直角坐标系内的图象只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线的斜率和纵截距的正负进行判断． 【详解】对B，斜率为正，在轴上的截距也为正，故不可能有斜率为负的情况.故B错. 当时， 和斜率均为正，且截距均为正.仅D选项满足. 故选：D 【变式2】（23-24高二·全国·阶段练习）已知，，则下列直线的方程不可能是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与轴上的截距的关系判断选项即可得解. 【详解】， 直线的方程在轴上的截距不小于2，且当时，轴上的截距为2， 故D正确，当时，, 故B不正确，当时，或，由图象知AC正确. 故选：B 【变式3】（2024高二·全国·专题练习）分别求出经过点，且满足下列条件的直线方程，并画出图形． (1)斜率； (2)与x轴平行； (3)与x轴垂直． 【答案】(1)，图形见解析 (2)，图形见解析 (3)图形见解析 【分析】（1）由点斜式即可求解直线方程，进而可作出图形， （2）（3）由与坐标轴平行的直线的性质即可求解. 【详解】（1）由点斜式方程得，即 （2）与x轴平行时，， ∴，即 （3）与x轴垂直，斜率不存在，方程为 题型04直线的位置关系的应用 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线过点，且与直线平行，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行的斜率关系，再由点斜式方程即可得出结果. 【详解】由题意，直线与直线平行，故直线的斜率为2； 又直线过点，则直线的方程为， 即． 故选：D 【典例2】（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高. (1)求所在直线的方程； (2)求高所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）求出点的坐标，直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解. （2）由（1）求出直线的斜率，进而求出直线方程. 【详解】（1）由，边的中点，得点，又点， 则直线的斜率，直线的方程为，即， 所以所在直线的方程为. （2）由（1）知，直线的斜率， 所以高所在直线的方程为. 【变式1】（24-25高二上·安徽亳州·阶段练习）已知的三个顶点． (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)求边上的高所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的中点坐标，求出中线所在直线的斜率，代点斜式即可求解； （2）求出直线的斜率，即可得到边上的高线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解. 【详解】（1）由题意得，边的中点， 则中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即． （2）由题意得，，则边上的高所在直线的斜率， 所以边上的高所在直线的方程为，即． 【变式2】（24-25高二上·重庆·期中）在中，、、，线段的中点为，且. (1)求实数的值； (2)求边上的中线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点的坐标，由题意可得出，利用斜率公式可求出实数的值； （2）求出线段的中点的坐标，可求出直线的方程，再利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】（1）由题意，直线的中点为，则， 因为，则，即，解得. （2）由（1）知点，线段的中点为，所以，， 所以，边上的中线所在的直线方程为. 【变式3】（24-25高二上·北京·期中）已知的顶点坐标分别是，，，为边的中点. (1)求直线的斜率； (2)求中线的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用斜率坐标公式直接求出斜率. （2）求出及直线的斜率，再利用直线的点斜式求出方程. 【详解】（1）直线的斜率. （2）依题意，边的中点，则直线的斜率， 所以直线的方程是. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（24-25高二上·福建厦门·期末）直线l与直线垂直，则l的斜率是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】求出已知直线的斜率，利用两直线垂直的关系，即可求解. 【详解】直线l与直线垂直，且的斜率， 则直线l的斜率为． 故选：D. 2．（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）已知直线l过点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法可求直线l的方程. 【详解】因直线l与直线平行，可设直线l的方程为， 又直线l过点，所以，解得， 所以直线l的方程为. 故选：C. 3．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线的方程为. 故选：D 4．（24-25高二上·湖南长沙·期末）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的点斜式方程即可求解. 【详解】因为倾斜角为，所以， 由直线的点斜式方程得. 故选：B. 5．（24-25高二上·广东广州·期中）已知直线l倾斜角为，且过点，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率定义及点斜式直线方程即可得到选项. 【详解】由直线l倾斜角为，得直线l的斜率为， 又由直线l过点，则由点斜式直线方程可得：， 故选：C. 6．（24-25高二上·广东河源·期中）过点，倾斜角为的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角可得斜率，即可根据点斜式求解方程. 【详解】直线倾斜角为，斜率，直线点斜式方程为． 故选：D 7．（24-25高二上·河北张家口·期末）已知直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线的倾斜角，再由点斜式即可得出答案. 【详解】直线过点，将直线绕点逆时针旋转与轴重合， 所以直线的倾斜角为，所以， 直线的方程为：. 故选：D. 8．（21-22高二上·北京昌平·期中）经过点，且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】因为所求直线的倾斜角为，所以所求直线的斜率， 所以直线方程为，即，故ACD错误. 故选：B. 9．（多选）（24-25高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知直线的方程是，的方程是，则下列各图中，可能正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据直线的方程，确定的符号，看看是否矛盾，即可得到正确选项. 【详解】对A：由直线可知：，，由直线可知：，，故A正确； 对B：由直线可知：，，由直线可知：，，故B正确； 对C：由直线可知：，，由直线可知：，，故C错误； 对D：由直线可知：，，由直线可知：，，故D错误； 故选：AB 10．（多选）（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】找到斜率之间的关系,即可判断平行与垂直. 【详解】设的斜率分别为， 结合题意易得：， 因为，所以 因为且，所以. 故选：BD. 11．（24-25高二下·上海崇明·期末）已知点、，则线段的垂直平分线方程为 ． 【答案】 【分析】由线段的斜率可计算出线段的垂直平分线的斜率，又有的中点是线段的垂直平分线经过的一个点，使用点斜式即可得到线段的垂直平分线方程. 【详解】线段的斜率为，故线段的垂直平分线的斜率为， 线段的中点为，故线段的垂直平分线经过， 由点斜式知，线段的垂直平分线方程为：，即. 故答案为：. 12．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）将直线绕点顺时针旋转得到的直线方程是 ． 【答案】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系，先确定所求直线的斜率，在用点斜式写出直线方程，化简即可. 【详解】因为直线的斜率为1，所以其倾斜角为. 将其顺时针旋转，所得直线的倾斜角为，所以所求直线的斜率为：. 所以所求直线方程为：即. 故答案为： 13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线垂直，且与直线在轴上的截距相同，求的值． 【答案】 【分析】根据直线垂直及截距相同列出方程组计算即可求参. 【详解】由题意得 解得或， 所以． 14．（24-25高二上·黑龙江鸡西·期中）在三角形中，. (1)求边的中线所在直线的一般式方程； (2)求边上的高所在直线的点斜式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得中点，进而可求解； （2）由垂直关系求得斜率，进而可求解. 【详解】（1）由，可得其中点坐标为， 此时中线斜率为：， 所以边的中线方程为：，即； （2）因为， 由垂直关系可知：边上的高所在直线斜率为， 所以点斜式方程为：. B能力提升 1．（24-25高二上·北京·期中）在同一平面直角坐标系中，直线：和直线：有可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每个选项中与的图象，分别确定的取值即可判断. 【详解】对于A，直线单调递减，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，不成立，故A错误； 对于B，直线单调递减，与轴交于负半轴，则， 直线单调递减，与轴交于负半轴，则，成立，故B正确； 对于C，直线单调递增，与轴交于负半轴，则， 直线单调递增，与轴交于正半轴，则，不成立，故C错误； 对于D，直线单调递增，与轴交于正半轴，则， 直线单调递减，与轴交于正半轴，则，不成立，故D错误； 故选：B. 2．（多选）（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l过点，与两坐标分别交于A，B两点，设三角形OAB面积为，则下列选项中是真命题的是（   ） A．存在正实数m，使得满足条件的直线直线l恰有一条． B．存在正实数m，使得满足条件的直线直线l恰有两条． C．若存在三条直线，使得三角形ABO面积为m，则． D．若存在四条直线，使得三角形ABO面积为m，则． 【答案】BCD 【分析】根据直线的方程求出与坐标轴的交点坐标，然后求出的面积，作出函数的图象，利用数形结合，可确定的值的情况，即可判断各选项的正误. 【详解】由题意可知：直线l的斜率存在，且不为0， 设直线， 可知直线l与轴、轴交点的坐标分别为，， 显然，解得， 可得三角形OAB面积， 令，作出其图象如图所示， 由图可知：当时，有两解； 当时，有三解； 当时，有四解； 结合选项可知：A错误，BCD正确； 故选：BCD. 3．（24-25高一下·湖北武汉·期末）如图，四个边长均相等的等边三角形有一条边在同一条直线上，边上有10个不同的点，，记，若，则等边三角形的边长为 .    【答案】3 【分析】建立平面直角坐标系，求出直线的方程，将代入直线的方程，并用向量的坐标表示出，和上式联立，即可得出，最后求出等边三角形的边长. 【详解】设等边三角形边长为，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，，， 直线的斜率为：，方程为：， 设，因为在上，所以， 且，依题意，，所以，解得（负的舍去），即等边三角形的边长为3.    故答案为：3. 4．（24-25高二上·天津和平·阶段练习）已知，，．求： (1)BC边上的中线所在的直线方程； (2)AB边垂直平分线方程； (3)过点A且倾斜角为直线倾斜角2倍的直线方程： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求中点的坐标，再求直线的斜率，利用点斜式表示直线，再化成一般式即可； （2）利用直线垂直的充要条件求出直线的方程； （3）利用直线的倾斜角的关系利用三角函数关系式求出直线的斜率，进一步求出直线的方程． 【详解】（1）由于，，则中点坐标为， 直线的斜率， 所以BC边上的中线所在的直线方程为，整理得； （2）由于，，所以中点，直线的斜率， 所以直线的垂直平分线的斜率， 所求的垂直平分线的方程为，整理得； （3）由于，，所以直线的斜率，设其倾斜角为，故， 所求直线的倾斜角为直线的倾斜角的2倍，所求直线的斜率， 故所求的直线的方程为，整理得． 5．（2024高二·全国·专题练习）如图，在路边安装路灯，路宽14m，在路边的点处立有一根高为灯柱，灯杆长1m，且与灯柱成．路灯采用锥形灯罩（灯罩顶点在点处），灯罩轴线与灯杆垂直．当灯柱高约多少时，灯罩轴线正好与道路路面的中线相交？（精确到0.01m，其中）    【答案】10.12m 【分析】建立如图所示坐标系，利用垂直关系得到斜率关系从而得到直线方程，再代入点即可求出； 【详解】如图，记路面宽，以灯柱底端为原点，，分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点的坐标为，的中点的坐标为． 因为，所以直线的倾斜角为， 由，得点的坐标为，即． 又因为，所以， 所以直线的方程为． 又直线过点，所以，解得． 故灯柱高约为10.12m．    学科网（北京）股份有限公司 $$