第02讲 2.1.2两条直线平行和垂直的判断（知识清单+5类热点题型讲练+分层强化训练）-【精讲精练】2025-2026学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第02讲 2.1.2两条直线平行和垂直的判断 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 【即学即练1】（24-25高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 【答案】平行或重合 【分析】求得直线与的斜率，进而可得结论. 【详解】直线的倾斜角为135°，故斜率． 由经过点，，得， 所以，所以直线与平行或重合． 故答案为：平行或重合． 知识点02：两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 【即学即练2】（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率即可得出两直线的关系. 【详解】由题意， 所以， 所以. 故选：A. 第三部分 题型精讲 题型01两直线平行关系的判定 【典例1】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【答案】(1)，理由见解析 (2)与不平行，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)与重合，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据直线是否平行与斜率以及截距的关系一一分析即可. 【详解】（1）设两直线，的斜率分别为，，在轴上的截距分别为，． 因为，，，，所以． （2）因为，，． 所以与不平行． （3）由两直线的方程可知，轴，轴，且两直线在轴上的截距不相等，所以． （4），因为，， 所以与重合． 【典例2】（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为，其中.试判断四边形OPQR是否为矩形. 【答案】四边形OPQR为矩形，理由见解析. 【分析】通过计算，,，得到四边形OPQR为矩形. 【详解】由斜率公式得， , 所以，， 从而OP∥RQ，OR∥PQ. 所以四边形OPQR为平行四边形. 又,所以， 故四边形OPQR为矩形. 【变式1】（2025高二·全国·专题练习）已知，试判断四边形的形状． 【答案】矩形 【分析】根据直线平行、垂直求得正确答案. 【详解】由题意，可得， ∴． ∴，． ∴四边形为平行四边形． 又， ∴直线与垂直，即． ∴四边形为矩形．    【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【答案】平行四边形，理由见解析 【分析】应用两点式求四边形各边所在直线斜率，由斜率及点的关系判断边之间的位置关系； 【详解】如下图示：   OA边所在直线的斜率，AB边所在直线的斜率， BC边所在直线的斜率，CO边所在直线的斜率． 由知：点O不在BC上，则OA与BC不重合，又，得． 同理，由且AB与CO不重合，得． 因此四边形OABC是平行四边形． 【变式3】（24-25高二·全国·阶段练习）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2)平行，理由见解析 (3)平行，理由见解析 【分析】（1）求出两直线的斜率以及两直线在轴上的截距，可判断出两直线的位置关系； （2）求出两直线的斜率以及两直线在轴上的截距，可判断出两直线的位置关系； （3）根据两直线与轴的位置关系及其在轴上的截距，可判断出两直线的位置关系. 【详解】（1）解：设两条直线、的斜率分别为、，在轴上的截距分别为、， 则由、的方程可知，且，所以． （2）解：设两条直线、的斜率分别为、，在轴上的截距分别为、． 因为、的方程分别可化为，， 所以，且，所以． （3）解：由、的方程可知，轴，轴，且两条直线、在轴上的截距不相同， 所以． 题型02两直线垂直关系的判定 【典例1】（23-24高二上·全国·课前预习）已知，，三点，试判断的形状. 【答案】直角三角形. 【分析】分别计算出和边所在直线的斜率，利用斜率成绩为即可判断的形状. 【详解】如图所示，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 由，得，即， 所以是直角三角形.      【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的顶点为，求证：四边形为正方形． 【答案】证明见解析 【分析】先根据平行且相等得出四边形是平行四边形，再根据相邻两边垂直得出平行四边形是长方形，最后因为对角线垂直得出长方形是正方形即可. 【详解】证明  ． 又， ， ∴四边形为平行四边形． 又， ∴四边形为矩形． ， ， 即矩形的对角线互相垂直， ∴四边形为正方形． 【变式1】（23-24高二上·全国·课前预习）已知，，，，试判断直线与的位置关系. 【答案】. 【分析】通过计算得到，由此作出判断. 【详解】直线的斜率，直线的斜率， 因为，所以. 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）已知正方形ABCD的边长为4，若E是BC的中点，F是CD的中点，求证:BF⊥AE. 【答案】证明见解析 【分析】建立平面直角坐标系,如图所示,再利用斜率相乘为-1，即可得到答案； 【详解】建立平面直角坐标系,如图所示,则,所以,又 所以. 题型03已知两直线平行关求参数 【典例1】（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则m的值是（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】由两直线平行得斜率相等，利用斜率公式列方程求解，注意验证是否重合. 【详解】过点和点的直线斜率为， 由两直线平行，则直线的斜率，解得， 验证，当时，，则直线的斜率为， 四点不共线，即两直线平行. 故选：D. 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线. (1)当为何值时，？ (2)当为何值时，？ 【答案】(1) (2) 【分析】根据两直线平行和垂直时，斜率与截距的关系列式即可得解. 【详解】（1）设直线的斜率分别为， 则.当时，有，解得. （2）当时，，即， 所以，所以. 【变式1】（24-25高二上·广东广州·期中）“”是“直线与直线平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，得到，求出答案. 【详解】由题意得且，解得. 故“”是“直线与直线平行”的充要条件. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】分直线与直线的斜率不存在与存在两类分别讨论，斜率存在时由斜率相等建立关于的关系式，解之即可. 【详解】当时，直线与直线的斜率均不存在，此时直线的方程为， 直线的方程为，故； 当时，，， 则，即，得， 综上，或1． 故选：B. 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知过点和的直线与斜率为的直线平行，求m的值． 【答案】 【分析】由两点的斜率公式表示出直线的斜率，再由两直线平行斜率相等列出等式，即可解出答案. 【详解】由题意可知，，解得． 题型04已知两直线垂直关求参数 【典例1】（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直关系得到直线的斜率，进而得到倾斜角. 【详解】由题意，直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为. 结合斜率与倾斜角的关系，得直线的倾斜角为. 故选：D. 【典例2】（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）已知点，直线AB与直线CD垂直，则 【答案】0或5 【分析】根据垂直得到，从而得到方程，求出答案. 【详解】直线AB与直线CD垂直，故， 其中， 故， 解得或5. 故答案为：0或5 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）直线，若的倾斜角为30°，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角和斜率的关系，以及两直线垂直，即可求解. 【详解】因为，且，所以. 故选：B 【变式2】（24-25高二上·新疆阿克苏·期中）直线的方向向量为，经过，两点的直线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件确定直线的斜率，根据直线与垂直可得，根据垂直关系列方程求 【详解】因为直线的方向向量为， 所以直线的斜率为， 因为经过，两点的直线与直线垂直， 所以，且， 所以. 故选：D. 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可求出结果； （2）根据可求出结果. 【详解】（1）因为直线AC与直线BD平行，所以， 所以，经检验两直线不重合， 所以 （2）因为直线AC与直线BC垂直，两直线斜率均存在， 所以， 所以， 题型05直线平行、垂直在几何中的应用 【典例1】（23-24高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【详解】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选:. 【典例2】（23-24高二上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【答案】证明见解析 【分析】利用斜率公式求得直线与的斜率，从而利用直线垂直的性质得到，再求得直线与的斜率之积，由此得证. 【详解】由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 因为，所以，即； 由点和点，知直线的斜率为， 由点和点，知直线的斜率为， 则直线与的斜率之积为， 所以. 【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】根据直线的斜率和图象进行判断. 【详解】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 【变式2】（23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【详解】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（24-25高二上·广东惠州·期末）已知点，直线与直线平行，则实数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两直线平行，斜率相等，已知直线上的两点，求出斜率即可得解. 【详解】由，则， 故选：B． 2．（24-25高二上·安徽·期末）平面中两条直线与垂直，已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线的倾斜角为，求出直线的斜率；再根据两直线与垂直，斜率积为，从而求出的斜率. 【详解】因，所以， 易知，故直线的斜率为. 故选：B. 3．（24-25高二上·陕西汉中·期末）若直线与直线平行，则实数（   ） A．2 B． C．-2 D． 【答案】B 【分析】由于两直线平行，可得其斜率相同，从而可求出答案. 【详解】因为直线与直线平行， 所以， 故选：B 4．（24-25高二上·北京·期末）如图，在直角三角形中，，边所在直线的倾斜角为，则直线的斜率为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线垂直求得对应的斜率. 【详解】边所在直线的倾斜角为，则斜率为， ，即，故， 解得. 故选：A. 5．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【分析】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【详解】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过点，，直线经过点，，且∥，则（    ） A．2 B． C．4 D．1 【答案】A 【分析】平面直角坐标系内两直线平行，其中一条斜率不存在，则另一条直线斜率也不存在. 【详解】由两点的坐标知的斜率不存在，又∥，所以的斜率也不存在，所以. 故选：A. 7．（多选）（24-25高二下·江西上饶·期中）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】AD 【分析】先由斜率定义写出直线的斜率，因为，则，由此解出，但要验证的解是否会使得直线的斜率不存在，由此可得答案. 【详解】由斜率的定义，直线的斜率， 因为，则，解得或， 代入验证或时，两点横坐标均不同，直线的斜率均存在， 故或均满足题意， 故选：AD. 8．（多选）（23-24高二上·甘肃兰州·期中）（多选）已知，若直线与直线平行，则m的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】AB 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，并分类讨论，即可求解. 【详解】当时，直线的方程为，满足直线与直线平行， 当时，，即，解得， 综上所述，m的值可能为0或1. 故选：AB. 9．（24-25高二上·全国·课后作业）以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为 ． 【答案】A 【分析】利用斜率公式计算AB,AC的斜率，通过计算从而可得，从而得解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以，所以以A点为直角顶点的直角三角形， 故答案为：A. 10．（24-25高二上·云南文山·期中）已知直线和，下列命题： ①的充要条件是； ②的充分条件是； ③的必要条件是；④的充要条件是； ⑤的充分条件是；⑥的必要条件是； 正确的是 . 【答案】⑤ 【分析】根据直线平行、垂直，以及充分和必要条件等知识确定正确答案. 【详解】若，则可能、的斜率都不存在，故不能得到； 若，则可能、重合，故不能得到， 所以①②③错误. 若，则可能的斜率不存在，的斜率为，故不能得到； 若，，则， 所以⑤正确，④⑥错误. 故答案为：⑤ 11．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，. (1)若点在轴上，且满足，求点的坐标； (2)若点在轴上，且，求直线的倾斜角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两直线垂直式斜率之间的关系，列式求解，即得答案； （2）由，可得，结合斜率公式即可求得答案. 【详解】（1）设，而，因为，故， 故，即， 即； （2）设，因为，故， 而，即得， 即，结合，故轴， 故直线的倾斜角为. 12．（23-24高二上·全国·课后作业）已知的顶点，，． (1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值． (2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值． (3)若为直角三角形，如何求解的值？ 【答案】(1)； (2)或； (3)或或 【分析】（1）依题意可得，则，利用斜率公式计算可得； （2）分或为直角顶点两种情况讨论，分别计算可得； （3）结合（1）（2）得解. 【详解】（1）因为为直角顶点，所以， 由题可知直线，的斜率存在，所以，即，解得． （2）由于为锐角顶点，为直角三角形，故或为直角顶点． 若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在， 所以，即，解得； 若为直角顶点，则，由题可知直线，的斜率存在， 所以，即，解得． 综上可知，或． （3）若为直角顶点，由（1）知； 若为直角顶点，由（2）知； 若为直角顶点，由（2）知． 综上可知，或或． B能力提升 1．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）已知点关于直线对称，则对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设点的坐标，根据斜率间关系及中点在对称直线上列方程求解计算即得. 【详解】设对称点坐标，由题意知直线与垂直， 结合的斜率为1，得直线的斜率为-1， 所以，化简得，① 再由的中点在直线上，，化简得，② 联立①②，可得，所以对称点的坐标为. 故选：A. 2．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A．1 B．2023 C．4043 D．4046 【答案】C 【分析】设，，进而根据题意得过点与点的直线与直线平行，再根据斜率公式计算求解即可. 【详解】解：设，，则所在直线的斜率为， 由题知过点与点的直线与直线平行， 所以，整理得 故选：C 3．（23-24高二上·山西大同·阶段练习）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则 ． 【答案】1 【分析】根据直线对称的性质，结合直线斜率公式、中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之间的关系进行求解即可. 【详解】设点为点，点为点，所以线段的中点为. 设点为点，设点为点，所以线段的中点为， 由题意可知， 于是有： ， 故答案为：1 【点睛】关键点睛：本题的关键是根据直线对称，得到斜率之间的关系. 4．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1） 设，根据求解即可； （2） 因为表示直线的斜率，求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率，由此即可得答案． 【详解】（1）如图，当点在第一象限时，，    设，则，解得， 故点的坐标为. （2）由题意得为直线的斜率，如图，    当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，． 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 2.1.2两条直线平行和垂直的判断 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：两条直线平行 对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有. 对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是： ①两条直线的斜率都存在； ②与不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是，则. (3)两条不重合直线平行的判定的一般结论是： 或，斜率都不存在. 【即学即练1】（24-25高二上·全国·课后作业）若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 知识点02：两条直线垂直 如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于；反之，如果它们的斜率之积等于，那么它们互相垂直，即. 对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点 (1)成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②且. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论为： 或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 【即学即练2】（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 第三部分 题型精讲 题型01两直线平行关系的判定 【典例1】（24-25高二上·全国·课堂例题）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【典例2】（24-25高二·全国·课后作业）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为，其中.试判断四边形OPQR是否为矩形. 【变式1】（2025高二·全国·专题练习）已知，试判断四边形的形状． 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，，．试判断四边形OABC的形状，并说明理由. 【变式3】（24-25高二·全国·阶段练习）判断下列各组直线是否平行，并说明理由： (1)，； (2)，； (3)，． 题型02两直线垂直关系的判定 【典例1】（23-24高二上·全国·课前预习）已知，，三点，试判断的形状. 【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知四边形的顶点为，求证：四边形为正方形． 【变式1】（23-24高二上·全国·课前预习）已知，，，，试判断直线与的位置关系. 【变式2】（23-24高二·全国·课后作业）已知正方形ABCD的边长为4，若E是BC的中点，F是CD的中点，求证:BF⊥AE. 题型03已知两直线平行关求参数 【典例1】（24-25高二上·广东湛江·阶段练习）若过点和点的直线与过点和点的直线平行，则m的值是（   ） A． B．1 C． D．5 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线. (1)当为何值时，？ (2)当为何值时，？ 【变式1】（24-25高二上·广东广州·期中）“”是“直线与直线平行”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2】（24-25高二上·全国·课后作业）已知点，，，，且直线AB与直线CD平行，则m的值为（   ） A．或0 B．0或1 C．1 D．2 【变式3】（23-24高二上·全国·课后作业）已知过点和的直线与斜率为的直线平行，求m的值． 题型04已知两直线垂直关求参数 【典例1】（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）已知点，直线AB与直线CD垂直，则 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）直线，若的倾斜角为30°，则的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·新疆阿克苏·期中）直线的方向向量为，经过，两点的直线与直线垂直，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 题型05直线平行、垂直在几何中的应用 【典例1】（23-24高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·全国·阶段练习）在平面直角坐标系中，设三角形的顶点分别为，，，点是线段上的一点（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点，若，求证： .    【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． . 【变式2】（23-24高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 1．（24-25高二上·广东惠州·期末）已知点，直线与直线平行，则实数等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽·期末）平面中两条直线与垂直，已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为（    ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高二上·陕西汉中·期末）若直线与直线平行，则实数（   ） A．2 B． C．-2 D． 4．（24-25高二上·北京·期末）如图，在直角三角形中，，边所在直线的倾斜角为，则直线的斜率为 （    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 6．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线经过点，，直线经过点，，且∥，则（    ） A．2 B． C．4 D．1 7．（多选）（24-25高二下·江西上饶·期中）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．5 8．（多选）（23-24高二上·甘肃兰州·期中）（多选）已知，若直线与直线平行，则m的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（24-25高二上·全国·课后作业）以点为顶点的直角三角形，其直角顶点为 ． 10．（24-25高二上·云南文山·期中）已知直线和，下列命题： ①的充要条件是； ②的充分条件是； ③的必要条件是；④的充要条件是； ⑤的充分条件是；⑥的必要条件是； 正确的是 . 11．（广东东莞·阶段练习）已知，，. (1)若点在轴上，且满足，求点的坐标； (2)若点在轴上，且，求直线的倾斜角. 12．（23-24高二上·全国·课后作业）已知的顶点，，． (1)若是以点为直角顶点的直角三角形，求实数的值． (2)若是以点为锐角顶点的直角三角形，求实数的值． (3)若为直角三角形，如何求解的值？ B能力提升 1．（23-24高二上·河北邯郸·阶段练习）已知点关于直线对称，则对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·山东日照·阶段练习）将一张画了直角坐标系（两坐标轴单位长度相同）的纸折叠一次，使点与点重合，点与点重合，则（    ） A．1 B．2023 C．4043 D．4046 3．（23-24高二上·山西大同·阶段练习）将一张坐标纸折叠一次，使得点与点重合，点与点重合，则 ． 4．（24-25高二上·山东潍坊·期中）已知坐标平面内三点． (1)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (2)若是线段上一动点，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$