第二章 2.1.2 两条直线平行和垂直的判定（课件PPT）-【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

该高中数学课件聚焦两条直线平行与垂直的判定，从平面几何中平行直线被截形成的角关系入手，通过倾斜角关联过渡到解析几何中的斜率关系，帮助学生在已有知识基础上构建新知脉络。 其亮点在于通过分类讨论斜率存在性、强调前提条件等培养推理意识，结合直角梯形判定等实例发展几何直观，注重知识梳理与易错点提示。学生能深化对判定条件的理解，教师可借助典型例题与系统练习提升教学效率，落实数学核心素养。

2.1.2 第一章 <<< 两条直线平行和垂直的判定 1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件(重点). 2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题(难点). 学习目标 过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上，过山 车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两 条铁轨是相互平行的轨道，它们靠着一根根巨大的 柱形钢筋支撑着，为了使设备安全，柱子之间还有一些小的钢筋连接，这些钢筋有的互相平行，有的互相垂直，你能感受到过山车中的平行和垂直吗？两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢？本节课我们就来研究一下. 导 语 一、两条直线平行的判定 二、两条直线垂直的判定 课时对点练 三、平行与垂直的综合应用 随堂演练 内容索引 4 两条直线平行的判定 一 提示　两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补. 在平面几何中，两条平行直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角有什么关系？ 问题1 提示　两直线平行，倾斜角相等. 平面中的两条平行直线被x轴所截，形成同位角相等，而倾斜角是一对同位角，因此可以得出什么结论？ 问题2 对于斜率分别为k1，k2的两条直线l1，l2，有l1∥l2⇔ . k1＝k2 知识梳理 (1)l1∥l2⇔k1＝k2成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②l1与l2不重合. (2)k1＝k2⇒l1∥l2或l1与l2重合(斜率存在). (3)l1∥l2⇒k1＝k2或两条直线的斜率都不存在. 注 意 点 <<< 9 判断下列各题中的直线l1与l2是否平行： (1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－1)； 例 1 10 (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2)； 故l1∥l2或l1与l2重合. 11 (3)l1经过点A(0,1)，B(1,0)，l2经过点M(－1，3)，N(2,0)； 则有k1＝k2. 则A，B，M三点不共线.故l1∥l2. 12 (4)l1经过点A(－3,2)，B(－3,10)，l2经过点M(5，－2)，N(5,5). 由已知点的坐标，得l1与l2均与x轴垂直且不重合，故有l1∥l2. 13 已知A(－2，m)，B(m,4)，M(m＋2,3)，N(1,1)，若AB∥MN，则m的值为______. 延伸探究 0或1 14 当m＝－2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m＝－1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意； 当m＝0或1时，经检验，两直线不重合. 综上，m的值为0或1. 判断两条不重合的直线是否平行的方法 反 思 感 悟 16 二 两条直线垂直的判定 提示　k1·k2＝－1. 平面中，两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，则两条直线的方向向量分别为a＝(1，k1)，b＝(1，k2)，当两条直线互相垂直时，可以得出什么结论？ 问题3 对应关系 l1与l2的斜率都存在，分别为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1与l2中的一条斜率 ，另一条斜率为零，则l1与l2的位置关系是l1⊥l2 图示     不存在 知识梳理 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的条件是两条直线的斜率都存在. (2)当直线l1⊥l2时，有k1k2＝－1或其中一条直线垂直于x轴，另一条直线垂直于y轴；而若k1k2＝－1，则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时，若这两条直线有垂直关系，则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率，即k1＝ 注 意 点 <<< 20 已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，求m的值. 例 2 21 若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1， 若∠B为直角，则AB⊥BC，∴kAB·kBC＝－1， 若∠C为直角，则AC⊥BC，∴kAC·kBC＝－1， 综上所述，m＝－7或m＝3或m＝±2. 22 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可；若有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直. 判断两条直线是否垂直的方法 反 思 感 悟 23 (多选)下列各对直线互相垂直的是 A.l1过点M(1,1)，N(1,2)，l2过点P(1,5)，Q(3,5) 跟踪训练 1 √ D.l1过点M(1,0)，N(4，－5)，l2过点P(－6,0)，Q(－1,3) √ √ 24 A中，l1与x轴垂直，l2与x轴平行，故两直线垂直； 25 平行与垂直的综合应用 三 已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接A，B，C，D四点，试判定四边形ABCD的形状. 例 3 27 A，B，C，D四点在坐标平面内的位置如图， ∴kAB＝kCD，由图可知AB与CD不重合，∴AB∥CD. 由kAD≠kBC，∴AD与BC不平行. 故四边形ABCD为直角梯形. 28 利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤 反 思 感 悟 29 已知点A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求点D的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A，B，C，D按逆时针方向排列). 跟踪训练 2 30 设所求点D的坐标为(x，y)， 如图所示，由于kAB＝3，kBC＝0， ∴kAB·kBC＝0≠－1，即AB与BC不垂直， 故AB，BC都不可作为直角梯形的直角腰. (1)若CD是直角梯形的直角腰，则BC⊥CD，AD⊥CD， ∵kBC＝0，∴CD的斜率不存在，从而有x＝3. 又kAD＝kBC， 故所求点D的坐标为(3,3). 31 (2)若AD是直角梯形的直角腰， 则AD⊥AB，AD⊥CD， 32 1.知识清单： (1)两直线平行的判定. (2)两直线垂直的判定. (3)两直线平行、垂直的应用. 2.方法归纳：分类讨论、数形结合. 3.常见误区：研究两直线平行、垂直关系时忽略直线斜率为0或斜率不存在的情况. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若过点P(3,2m)和点Q(－m,2)的直线与过点M(2，－1)和点N(－3,4)的直线平行，则m的值是 由题意知，直线PQ的斜率存在， √ 1 2 3 4 2.(多选)已知直线l1的斜率为a，l1⊥l2，则l2的斜率可以为 当a＝0时，l2的斜率不存在. √ √ 1 2 3 4 3.已知两点M(2,2)和N(5，－2)，点P在x轴上，且∠MPN为直角，则点P的坐标为 A.(1,0) B.(6,0) C.(1,0)或(6,0) D.不存在 √ 1 2 3 4 4.若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是____________. 直线l1的倾斜角为135°， 故斜率kl1＝tan 135°＝－1. 由l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)， 平行或重合 所以直线l1与l2平行或重合. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.下列说法正确的是 A.平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B.平行的两条直线的倾斜角一定相等 C.垂直的两条直线的斜率之积为－1 D.只有斜率相等的两条直线才一定平行 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为当两条直线的倾斜角为90°时，两条直线平行，但是没有斜率，故A不正确； 平行的两条直线的倾斜角一定相等，故B正确； 垂直的两条直线的斜率存在时，斜率之积为－1，当一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0时，两直线也垂直，故C不正确； 斜率不存在的两条直线也能够平行，故D不正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知三角形三个顶点的坐标分别为A(4,2)，B(1，－2)，C(－2,4)，则BC边上的高的斜率为 √ ∵B(1，－2)，C(－2,4)， 设BC边上的高的斜率为k，则k·kBC＝－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为 如图，直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l1⊥l2，则l2的倾斜角等于30°＋90°＝120°， √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若直线l1的斜率k1＝ ，直线l2经过点A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，则实数a的值为 A.1 B.3 C.0或1 D.1或3 √ 因为l1⊥l2， 所以k1·k2＝－1， 解得a＝1或a＝3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)设平面内四点P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四个结论正确的是 A.PQ∥SR B.PQ⊥PS C.PS∥QS D.PR⊥QS √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由斜率公式知， ∴PQ∥SR，PQ⊥PS，PR⊥QS.而kPS≠kQS， ∴PS与QS不平行，故ABD正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位长度，所得到的直线为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.小明研究一张坐标纸中A(－4，m)，B(1,0)，C(3,0)，D(2，n)四点的关系时，发现直线AB与CD的方向向量互相垂直，则mn＝_____. 由题意可知直线AB与CD的斜率存在， 因为直线AB与CD的方向向量互相垂直， 所以直线AB与CD的斜率之积为－1， 又A(－4，m)，B(1,0)，C(3,0)，D(2，n)， －5 整理得mn＝－5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若l1与l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝_____；若l1∥l2，则b＝______. 当l1∥l2时，k1＝k2，Δ＝9－4×2×(－b)＝0， 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(1)直线l1经过点A(3,2)，B(3，－1)，直线l2经过点M(1,1)，N(2,1)，判断l1与l2是否垂直； 直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为0，所以l1⊥l2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2,3)，直线l2经过点C(2,3)，D(－1，a－2)，若l1⊥l2，求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，知直线l2的斜率k2一定存在， 直线l1的斜率可能不存在. 当直线l1的斜率不存在时，3＝a－2， 即a＝5，此时k2＝0， 则l1⊥l2，满足题意. 当直线l1的斜率k1存在时，a≠5， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由l1⊥l2，知k1k2＝－1， 综上所述，a的值为0或5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知在▱ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4). (1)求点D的坐标； 设点D坐标为(a，b)，因为四边形ABCD为平行四边形，所以kAB＝kCD，kAD＝kBC， 所以D(－1,6). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)试判定▱ABCD是否为菱形？ 所以kAC·kBD＝－1， 所以AC⊥BD，所以▱ABCD为菱形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.(多选)已知点A(m,3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为 A.－1 B.0 C.1 D.2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当m＝0时，直线AB与直线CD的斜率均不存在且不重合，此时AB∥CD. ∴m＝0或1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.如图所示，在平面直角坐标系中，以O(0,0)，A(1,1)，B(3,0)为顶点构造平行四边形，下列各点中不能作为平行四边形顶点 坐标的是 A.(－3,1) B.(4,1) C.(－2,1) D.(2，－1) √ 如图所示，因为经过三点可构造三个平行四边形，即▱AOBC1，▱ABOC2，▱AOC3B.根据平行四边形的性质，可知B，C，D分别是点C1，C2，C3的坐标. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以a＋b＝1，又a>0，b>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长|AD|＝5 m，宽|AB|＝3 m，其中一条小路为AC，另一条小路过点D.在BC 上有一点M，使得两条小路AC与DM互相垂直，此时BM的长为_____m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以B为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,3)，D(5,3)，C(5,0)，设M(x,0)，0<x<5. 由题意可知直线AC和直线DM的斜率都存在，由于AC与DM互相垂直， 所以kAC·kDM＝－1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.直线l的倾斜角为30°，点P(2,1)在直线l上，直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m,2)，则m＝_______. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知M(1，－1)，N(2,2)，P(3,0). (1)求点Q的坐标，满足PQ⊥MN，PN∥MQ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设Q(x，y)，由已知得kMN＝3， 由PQ⊥MN，可得kPQ·kMN＝－1， 由已知得kPN＝－2， 由PN∥MQ，可得kPN＝kMQ， 联立①②求解得x＝0，y＝1，即Q(0,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若点Q在x轴上，且∠NQP＝∠NPQ，求直线MQ的倾斜角. 设Q(x,0)， ∵∠NQP＝∠NPQ，∴kNQ＝－kNP. 又∵M(1，－1)，∴MQ⊥x轴， 故直线MQ的倾斜角为90°.  k1＝＝1，k2＝＝，k1≠k2，l1与l2不平行.  k1＝1，k2＝＝1，k1＝k2，  k1＝＝－1，k2＝＝－1， 又kAM＝＝－2≠－1， 当m≠－2，且m≠－1时，kAB＝＝， kMN＝＝. 因为AB∥MN，所以kAB＝kMN，即＝，解得m＝0或m＝1. －. 即·＝－1，解得m＝－7； 即·＝－1，解得m＝3； 即·＝－1，解得m＝±2. B.l1的斜率为－，l2过点P(1,1)，Q C.l1的倾斜角为30°，l2过点P(3，)，Q(4,2) B中，l2过点P(1,1)，Q，kPQ＝，故两条直线垂直. C中，kPQ＝，故l1不与l2垂直. D中，l1过点M(1,0)，N(4，－5)，kMN＝－，l2过点P(－6，0)， Q(－1,3)，kPQ＝，故两条直线垂直. 由斜率公式可得kAB＝＝，  kCD＝＝，kAD＝＝－3，  kBC＝＝－， 又kAB·kAD＝×(－3)＝－1，∴AB⊥AD. ∴＝0，即y＝3，此时AB与CD不平行， 综上，D点坐标为(3,3)或. ∵kAD＝，kCD＝， ∴解得x＝，y＝， ∴D点坐标为. 得m＝－. 经检验知，m＝－符合题意. A. B.－ C.2 D.－2 由kPQ＝kMN，即＝， A. B.－ C.a D.不存在 当a≠0时，由k1·k2＝－1知，k2＝－， 设P点坐标为(x0,0)，则kPM＝，kPN＝，由于∠MPN＝90°，故kPM·kPN＝－1，即·＝－1，解得x0＝1或x0＝6，故P点坐标为(1,0)或(6,0). 得kl2＝＝－1，所以kl1＝kl2， A.2 B.－2 C. D.－ ∴kBC＝＝－2， ∴k＝. A.－ B. C.－ D. ∴l2的斜率为tan 120°＝－tan 60°＝－. 即×＝－1， kPQ＝＝－，kSR＝＝－，kPS＝＝， kQS＝＝－4，kPR＝＝， A.y＝－x＋ B.y＝－x＋1 C.y＝3x－3 D.y＝3x＋1 当直线y＝3x绕原点逆时针旋转90°时，所得直线斜率为－， 此时，该直线的方程为y＝－x， 再将该直线向右平移1个单位长度可得直线y＝－(x－1)， 即y＝－x＋. 所以·＝－1， － 当l1⊥l2时，k1k2＝－＝－1，得b＝2. 得b＝－. 由斜率公式，得k1＝＝，k2＝＝. 即·＝－1，解得a＝0. 所以解得 因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1， 当m≠0时，kAB＝，kCD＝， 则kAB＝kCD，即＝，得m＝1， 13.已知直线l1，l2的斜率分别为kl1＝，kl2＝，直线l1，l2互相垂直，且a，b>0，则＋的最小值为_________. 3＋2 由题得kl1·kl2＝·＝－1， 所以＋＝(a＋b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2， 当且仅当＝， 即a＝2－，b＝－1时等号成立. 所以＋的最小值为3＋2. 即·＝－1，解得x＝， 所以BM的长为 m. 4＋ ∴直线l1的斜率k1＝tan 60°＝. 由l1∥l2知，直线l2的斜率k2＝k1＝. ∴直线AB的斜率存在，且kAB＝－＝－. ∴＝＝－， 解得m＝4＋. 即×3＝－1. ① 即＝－2. ② 又∵kNQ＝，kNP＝－2， ∴＝2，即x＝1，∴Q(1,0). $